姚鈺鵬，王 京

(北京科技大學(xué)冶金工程研究院，北京，100083)

金屬板帶材廣泛應(yīng)用于家用電器、食品包裝、汽車制造以及航空航天等領(lǐng)域，其對(duì)板帶材的質(zhì)量如厚度、寬度、板形等精度要求很高，尤其是對(duì)板帶材的板形質(zhì)量要求更高[1]。通過預(yù)測(cè)控制可對(duì)板形值進(jìn)行預(yù)報(bào)，提前修正控制參數(shù)以改善控制器性能，故帶材板形值預(yù)測(cè)控制方法一直是國內(nèi)外研究的熱點(diǎn)。

近年來，在預(yù)測(cè)板形值的智能算法研究方面，Carlstedt等[2]提出最小二乘法擬合板形識(shí)別方法和基于BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的板形模式識(shí)別方法；Nandan[3]、Chakraborti等[4]利用遺傳算法對(duì)帶鋼指標(biāo)綜合函數(shù)的預(yù)測(cè)進(jìn)行了優(yōu)化；Liu等[5]采用遺傳反向傳播神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)來建立板形誤差指標(biāo)和板形控制參數(shù)之間的傳遞矩陣，并將其應(yīng)用到900 mm HC冷連軋機(jī)上；John等[6]用人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)建立輸入?yún)?shù)和帶鋼平直度模型，并利用遺傳算法對(duì)控制參數(shù)進(jìn)行了優(yōu)化。但上述研究在智能算法上存在泛化能力一般且尋優(yōu)容易陷入局部極值的問題，為此李琳等[7]提出支持向量機(jī)(SVM)算法是一種基于結(jié)構(gòu)風(fēng)險(xiǎn)最小化學(xué)習(xí)訓(xùn)練的方法，與上述算法相比具有較好的泛化能力和全局最優(yōu)性而成為近年來板形控制的研究重點(diǎn)，如陳愛玲等[8]提出利用SVM算法對(duì)30MnSi鋼變形抗力進(jìn)行預(yù)測(cè)；陳治明等[9]提出一種基于混沌優(yōu)化的支持向量機(jī)算法來優(yōu)化板形預(yù)測(cè)模型。然而除了參數(shù)對(duì)SVM算法有影響外，支持向量機(jī)的許多特性是由核函數(shù)來決定的[10]，為此Steinwart等[11]對(duì)多類具有固定形式的核函數(shù)進(jìn)行了研究，Smits等[12]提出了一種將經(jīng)典核函數(shù)進(jìn)行線性混合得到新的核函數(shù)的構(gòu)造方法；吳濤等[13]提出一種基于Shepard插值的核函數(shù)構(gòu)造方法來增強(qiáng)算法泛化能力。但固定形式的核函數(shù)組合依然存在局限性，而Shepard插值僅通過向量歐氏距離倒數(shù)作為加權(quán)值，還無法反映出數(shù)據(jù)之間的關(guān)聯(lián)與不確定性。

為此，本文基于RBF核的LS-SVR模型，采用實(shí)驗(yàn)變差函數(shù)計(jì)算插值算法權(quán)值，對(duì)權(quán)系數(shù)與各訓(xùn)練樣本內(nèi)積值相乘所反映樣本空間結(jié)構(gòu)和相互間關(guān)聯(lián)度的插值核函數(shù)進(jìn)行構(gòu)造，提出了一種通過Kriging空間散亂插值方法利用樣本數(shù)據(jù)構(gòu)造出的插值核函數(shù)與RBF核函數(shù)進(jìn)行組合而成的核方法，并將其應(yīng)用于最小二乘支持向量回歸機(jī)來預(yù)測(cè)板形值。

1 基于RBF核的LS-SVR算法

基礎(chǔ)的支持向量機(jī)對(duì)于線性可分的訓(xùn)練樣本集有較好的分類和回歸效果[14]，然而工業(yè)現(xiàn)場(chǎng)的很多樣本數(shù)據(jù)是線性不可分的，在線性不可分的情況下存在著一些樣本不能被最優(yōu)分類面正確分類的情況[7]。故訓(xùn)練集為非線性時(shí)，可通過某一非線性函數(shù)f(·)將訓(xùn)練集數(shù)據(jù)x映射到一個(gè)高維線性特征空間，在這個(gè)維數(shù)可能為無窮大的線性空間中構(gòu)造回歸估計(jì)函數(shù)f(x)，即：

f(x)=wφ(x)+b

(1)

式中：w為權(quán)矢量，其維數(shù)為特征空間維數(shù)。

(2)

引入拉格朗日乘子得到對(duì)偶最優(yōu)化問題：

L(w,b,ξ,a)=

b+ξi-yi)

(3)

通過式(3)對(duì)各系數(shù)偏導(dǎo)為0，可將優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為求解線性方程：

(4)

式中：K(xi,xj)為核函數(shù)；ai為拉格朗日乘子；b為估計(jì)修正量；C為懲罰參數(shù)，用于控制模型復(fù)雜度與訓(xùn)練誤差在目標(biāo)函數(shù)中的比重。

通過求解上述線性矩陣問題，得到估計(jì)函數(shù)系數(shù)ai和修正量b，然后代入式(1),從而得到回歸預(yù)測(cè)函數(shù)。

核函數(shù)方法是在非線性可分的情況下使用非線性變換φ(·)，將輸入模式空間中的數(shù)據(jù)映射到高維特征空間，在其內(nèi)構(gòu)造新的分類函數(shù)以實(shí)現(xiàn)線性可分。核函數(shù)形式和參數(shù)的變化會(huì)隱式地改變輸入空間到特征空間的映射，影響支持向量回歸性能[12]。核函數(shù)從訓(xùn)練與測(cè)試性能上劃分主要有局部性和全局性兩類[10]。RBF核函數(shù)是一種常用的經(jīng)典核函數(shù)，通過研究可知其為局部性核函數(shù)。圖1為當(dāng)Δ分別取0.1～0.4的四種參數(shù)，-0.3為測(cè)試輸入時(shí)RBF核函數(shù)的計(jì)算結(jié)果曲線。由圖1可看出，RBF核函數(shù)僅在測(cè)試點(diǎn)附近小范圍內(nèi)有較大取值，而在范圍之外取值都是呈指數(shù)性減小。在訓(xùn)練階段，由于訓(xùn)練數(shù)據(jù)包括輸入?yún)?shù)和實(shí)際輸出，通過RBF核函數(shù)進(jìn)行已知量回歸能較準(zhǔn)確找到以式(3)為限定條件的極值點(diǎn)而產(chǎn)生良好的學(xué)習(xí)效果。但對(duì)于測(cè)試樣本，數(shù)據(jù)只包含輸入?yún)?shù)沒有實(shí)際輸出結(jié)果，若測(cè)試向量與已有訓(xùn)練向量的歐氏距離較大，則會(huì)出現(xiàn)兩端數(shù)值極小的情況，這也影響了最小二乘支持向量尋優(yōu)的效果。

圖1 不同寬度參數(shù)下RBF核函數(shù)的計(jì)算結(jié)果

Fig.1RBFcalculationresultsatdifferentvaluesofthewidthparameter

由此可知，RBF核函數(shù)屬于局部性核函數(shù)，其在訓(xùn)練過程中有較強(qiáng)的學(xué)習(xí)能力，但在測(cè)試過程中其回歸預(yù)測(cè)的泛化能力較弱。而全局性核函數(shù)的特點(diǎn)即使遠(yuǎn)離測(cè)試點(diǎn)的值也有一定的核函數(shù)輸出，但不同輸入的輸出間差值較小，學(xué)習(xí)擬合能力較差。故考慮通過尋找一個(gè)全局性核函數(shù)與RBF核函數(shù)進(jìn)行組合形成新的核函數(shù)來互補(bǔ)全局性和局部性核函數(shù)各自弱點(diǎn)，以改善預(yù)測(cè)性能。

2 基于插值的組合核函數(shù)描述

為選取一種全局性核函數(shù)，考慮選用Kriging插值方法來構(gòu)造插值核函數(shù)，再將其與RBF核函數(shù)形成組合核函數(shù)。與傳統(tǒng)核函數(shù)不同，插值核函數(shù)是一種基于訓(xùn)練樣本數(shù)據(jù)得出的核函數(shù)映射，它是隨訓(xùn)練樣本變化而改變的全局性核函數(shù)[13]。

2.1 訓(xùn)練樣本內(nèi)積值確定

在支持向量回歸算法中，通常所采用的核函數(shù)必須滿足Mercer條件[15]，其要求通過核函數(shù)計(jì)算生成的矩陣k=K(xi,xj) (i,j=0,1,…,n)在所有的訓(xùn)練集上半正定。接下來通過下面定理定義內(nèi)積運(yùn)算k(x,xi)使對(duì)于任意測(cè)試樣本x，其核函數(shù)值構(gòu)成的gram矩陣是半正定的。

定理[13]設(shè)K=(kij)m×m是一個(gè)m維的半正定矩陣且滿足下列條件：

(5)

若對(duì)稱函數(shù)k(x,xi) 具有如下形式：

(6)

(7)

(8)

核函數(shù)是樣本向量間的一種內(nèi)積表達(dá)，為了實(shí)現(xiàn)內(nèi)積值能反映出樣本間區(qū)別，可暫時(shí)用分類問題的思想來處理回歸問題，因二者在訓(xùn)練過程中的尋優(yōu)算法本質(zhì)是一樣的，區(qū)別僅在于它們的決策函數(shù)不同與輸出的取值范圍不同，分類問題的輸出只允許取兩個(gè)值，而回歸問題的輸出可取任意實(shí)數(shù)[16]。設(shè)最優(yōu)分類超平面的兩邊為兩類，在特征空間中兩邊的訓(xùn)練樣本屬于各自不同的子空間，此時(shí)可用向量間的夾角等效于內(nèi)積值代替歐氏距離來判別樣本子空間的歸屬，定義同類樣本向量相互平行，異類樣本向量相互垂直，則內(nèi)積值為

(9)

2.2 Kriging法構(gòu)造插值核函數(shù)

通過選取的訓(xùn)練樣本數(shù)據(jù)可得由內(nèi)積值k(xi,xj)構(gòu)建的矩陣K的各元素值，而接下來就需要利用插值的方法估計(jì)出訓(xùn)練樣本與測(cè)試樣本間的內(nèi)積值k(x,xj)。由于訓(xùn)練樣本數(shù)據(jù)是多維且散亂排布的，故選用散亂數(shù)據(jù)插值中的Kriging插值方法來構(gòu)造插值核函數(shù)。

在空間散亂點(diǎn)插值方法中，簡單地用距離倒數(shù)作為權(quán)值無法反映實(shí)際插值曲面的數(shù)據(jù)分布特性，而Kriging方法通過采用以距離為自變量的實(shí)驗(yàn)變差函數(shù)來計(jì)算權(quán)值，由于實(shí)驗(yàn)變差函數(shù)可以反映變量的空間結(jié)構(gòu)特性和隨機(jī)分布特性，故該散亂點(diǎn)插值方法可以有較好的估計(jì)效果[17]。

(10)

其對(duì)λi的偏導(dǎo)數(shù)為

(11)

(12)

式中：λi為Kriging方程系數(shù)，Cij與Ci0為協(xié)方差函數(shù)，即：

Cij=E[Z(xi)Z(xj)]-

E[Z(xi)]E[Z(xj)]

(13)

此時(shí)為簡化算法設(shè)訓(xùn)練樣本數(shù)據(jù)滿足本征假設(shè)，即可得到如下關(guān)系：

E[Z(xi)][Z(xj)]

(14)

可得變差函數(shù)y(x)為

yij=E[Z(xi)-Z(xj)]2=-2Cij

(15)

此時(shí)系數(shù)求取方程組為

(16)

而在板形預(yù)測(cè)樣本中數(shù)據(jù)散亂分布，但不是隨機(jī)變量，故用改進(jìn)的實(shí)驗(yàn)變差函數(shù)代替變差函數(shù)，原始實(shí)驗(yàn)變差函數(shù)為[17]

Z(xi+h)]2

(17)

式中：hij為偏差向量；N(hij)為偏差向量總數(shù)。

由于訓(xùn)練樣本維數(shù)較多，幾乎每組樣本都不相同而導(dǎo)致偏差向量數(shù)量較多、計(jì)算量較大。又因?yàn)閷?shí)驗(yàn)變差函數(shù)是樣本間關(guān)聯(lián)程度的一種表示，設(shè)軋制參數(shù)生成的時(shí)間差為一個(gè)關(guān)聯(lián)程度指標(biāo)，通過將樣本生成時(shí)間差tij代替hij得到改進(jìn)實(shí)驗(yàn)變差函數(shù)：

(18)

式中：tmax為最后一個(gè)樣本的生成時(shí)間點(diǎn)(初始時(shí)間為0)。

通過訓(xùn)練樣本中已知的核函數(shù)數(shù)據(jù)可得到改進(jìn)實(shí)驗(yàn)變差函數(shù)值r(tij)代替變差函數(shù)y(h)，得到新的求加權(quán)系數(shù)的方程組：

(19)

進(jìn)而解出各加權(quán)系數(shù)λi(i=1，2，…，n)得到改進(jìn)的插值核函數(shù)構(gòu)造方法：

(20)

式中：k(xi,xj)為已提到的只有0、1二值的簡化內(nèi)積值；n為訓(xùn)練樣本數(shù)量。

2.3 組合核函數(shù)

由于插值構(gòu)造核函數(shù)的方法可實(shí)現(xiàn)遠(yuǎn)離測(cè)試輸入點(diǎn)的樣本數(shù)據(jù)對(duì)核函數(shù)的值有影響，屬于全局性核函數(shù)，其泛化能力強(qiáng)但學(xué)習(xí)能力較弱[13]。而由圖1可知，徑向基核函數(shù)是局部性核函數(shù)，其形式為

(21)

式中：σ為其寬度參數(shù)。σ越小,核函數(shù)的學(xué)習(xí)能力越強(qiáng)，但會(huì)加大計(jì)算難度。而σ的選取不當(dāng)可能會(huì)導(dǎo)致核函數(shù)學(xué)習(xí)能力大幅下降，即局部性影響加強(qiáng)，損失了泛化能力。因此將基于訓(xùn)練樣本數(shù)據(jù)的插值核函數(shù)與有固定形式的傳統(tǒng)核函數(shù)進(jìn)行組合，通過選取一個(gè)局部核函數(shù)來與插值核函數(shù)進(jìn)行互補(bǔ)，以優(yōu)化數(shù)據(jù)回歸預(yù)測(cè)的性能。

對(duì)兩類核函數(shù)進(jìn)行組合的實(shí)質(zhì)就是在同樣的訓(xùn)練樣本和測(cè)試樣本進(jìn)行回歸預(yù)測(cè)條件下，分別計(jì)算出兩類核函數(shù)的取值，然后通過加權(quán)線性組合的方法將每個(gè)測(cè)試樣本核函數(shù)值進(jìn)行計(jì)算，得出一組與測(cè)試樣本同數(shù)量的結(jié)果即為組合核函數(shù)的取值。其組合形式為

KSUM=ωK0+(1-ω)KRBF

(22)

式中：ω為組合核函數(shù)的分配系數(shù)，在仿真實(shí)驗(yàn)中通過等步長搜索方法對(duì)其進(jìn)行尋優(yōu)。

3 仿真實(shí)驗(yàn)與結(jié)果分析

實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)取自某熱連軋項(xiàng)目，在數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)存儲(chǔ)的限制下經(jīng)過初步的機(jī)理分析，可作為訓(xùn)練樣本的參數(shù)有F1～F4機(jī)架軋制力、F1～F4機(jī)架間的三個(gè)張力值、F1～F4機(jī)架段軋制速度、F1～F4機(jī)架彎輥力和板形凸度實(shí)際值共16個(gè)指標(biāo)，而除去實(shí)際凸度值，其余指標(biāo)數(shù)據(jù)可作為測(cè)試樣本數(shù)據(jù)。故訓(xùn)練樣本矩陣為一定數(shù)量的16維向量所組成的數(shù)據(jù)矩陣，測(cè)試樣本矩陣為15維矩陣。為了避免鋁帶軋制初始與結(jié)束階段的擾動(dòng)影響，實(shí)驗(yàn)選取了某廠熱連軋精軋a道次的2.583～3.083 min共3000個(gè)樣本作為訓(xùn)練樣本，其數(shù)據(jù)表達(dá)為3000×16的矩陣；a道次3.583～3.808 min共1350個(gè)樣本作為測(cè)試樣本A；b道次3.0～3.225 min共1350個(gè)樣本作為測(cè)試樣本B；b道次的2.667～2.892 min共1350個(gè)樣本作為測(cè)試樣本C，三個(gè)測(cè)試樣本數(shù)據(jù)表達(dá)均為1350×15的矩陣。

3.1 實(shí)驗(yàn)1

首先測(cè)試算法的預(yù)測(cè)效果。由于帶材同一位置上凸度的影響因素發(fā)生時(shí)間不同，本實(shí)驗(yàn)對(duì)樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行了時(shí)序初始化，保持出口側(cè)數(shù)據(jù)不變，對(duì)樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行時(shí)間軸不變而數(shù)據(jù)相對(duì)后移的時(shí)序調(diào)整，依照精軋入口到F1再到F4的順序減小調(diào)整量。本文通過數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)反饋的入口側(cè)、四個(gè)機(jī)架和出口側(cè)的各自相鄰距離與它們間的帶材軋制速度相除得到相鄰時(shí)間修正分量：

(23)

式中：Δti,i-1為相鄰時(shí)間修正分量；Si,i-1為入口側(cè)、各機(jī)架間、出口側(cè)之間的相鄰距離；下標(biāo)值中，“i-1=0”表示入口側(cè)，“1～4”為F1～F4的四個(gè)精軋機(jī)架，“i=5”表示出口側(cè)；vi(T)為T時(shí)刻的帶材軋制速度值。

在得到相鄰時(shí)間修正量后，將其按式(24)進(jìn)行累加得到入口側(cè)的時(shí)序調(diào)整量ΔT0和四個(gè)機(jī)架的時(shí)序調(diào)整量ΔT1～ΔT4，從而完成時(shí)序初始化工作。即：

(24)

本組實(shí)驗(yàn)選取測(cè)試樣本A作為測(cè)試數(shù)據(jù)，通過算法仿真來比較單RBF方法與組合核方法的預(yù)測(cè)結(jié)果。圖2為單RBF方法與組合核方法預(yù)測(cè)結(jié)果的對(duì)比。

(b)組合核方法

Fig.2PredictionsbythemethodofRBFandthatofmixturesofkernels

通過交叉驗(yàn)證尋優(yōu)，本組實(shí)驗(yàn)中懲罰因子C取2000，RBF核寬度σ取6，核分配系數(shù)ω取0.3。由圖2可看出，由于局部性核函數(shù)泛化能力較弱，在單RBF核函數(shù)下的回歸預(yù)測(cè)結(jié)果能勉強(qiáng)跟上實(shí)際板形值，但整體結(jié)果有較大幅值的高頻振蕩，無法為現(xiàn)場(chǎng)軋制過程提供有效預(yù)測(cè)修正；而在基于組合核函數(shù)的回歸預(yù)測(cè)中，估計(jì)結(jié)果較好地跟蹤上了實(shí)際板形值，其預(yù)測(cè)趨勢(shì)正確且振蕩幅值不大，可以保證預(yù)測(cè)結(jié)果有能力對(duì)現(xiàn)場(chǎng)軋制的參數(shù)有一定的預(yù)測(cè)修正作用。

本組實(shí)驗(yàn)對(duì)兩種方法的訓(xùn)練樣本自回歸和測(cè)試樣本回歸的各項(xiàng)性能指標(biāo)進(jìn)行了對(duì)比，從而考察組合核方法的學(xué)習(xí)能力和測(cè)試能力。表1為基于不同核函數(shù)回歸算法的學(xué)習(xí)訓(xùn)練性能對(duì)比。由表1可看出，基于組合核的訓(xùn)練效果相比于RBF核函數(shù)有一定提升，其誤差小于3%的數(shù)據(jù)命中率有4.72%的提升，其相對(duì)誤差減小的程度為0.13%，誤差控制效果提升不大；基于組合核的回歸方法較于基于單RBF核的回歸方法訓(xùn)練能力有小幅改善。

表2為基于不同核函數(shù)的回歸算法的測(cè)試性能對(duì)比。由表2可看出，基于組合核算法較于基于單RBF核算法在誤差小于3%的數(shù)據(jù)命中率有21.11%的提升，相對(duì)誤差減小的程度為1.06%，測(cè)試誤差控制效果有一定提升。由此看出，基于組合核的回歸算法較于基于單RBF核的回歸算法在測(cè)試性能上有一定改善。

表1 不同核函數(shù)選取下的學(xué)習(xí)訓(xùn)練性能指標(biāo)Table 1 Performance indexes of learning and training with different kernels

表2 不同核函數(shù)選取下的回歸測(cè)試性能指標(biāo)Table 2 Performance indexes of regression testing with different kernels

3.2 實(shí)驗(yàn)2

對(duì)于支持向量回歸算法，除了保證當(dāng)前道次板形回歸預(yù)測(cè)的準(zhǔn)確度，還需要對(duì)泛化能力提出要求。只有泛化能力良好的回歸預(yù)測(cè)算法才能有效地應(yīng)用于板形值估計(jì)，故其是本研究的一項(xiàng)重要衡量指標(biāo)。

通過在相同樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行學(xué)習(xí)訓(xùn)練的情況下，選取包括與樣本數(shù)據(jù)在同一卷和不同卷鋁帶的數(shù)據(jù)作為測(cè)試樣本，用不同卷鋁帶預(yù)測(cè)相對(duì)誤差值與同卷鋁帶預(yù)測(cè)相對(duì)誤差值作差法得到的偏差值來表示基于不同核函數(shù)的回歸算法泛化能力，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為

(25)

本組實(shí)驗(yàn)選取實(shí)驗(yàn)1的訓(xùn)練樣本，選取測(cè)試樣本A和與其不同道次的測(cè)試樣本B(板形波動(dòng)較小)、測(cè)試樣本C(板形波動(dòng)較大)的軋制參數(shù)作為測(cè)試樣本集。在基于不同核函數(shù)的支持向量回歸算法下觀察各組相對(duì)誤差偏差值，得出兩種算法的泛化能力對(duì)比結(jié)果如表3所示。

表3 基于不同核函數(shù)回歸算法的泛化能力對(duì)比Table 3 Generalization abilities of regression algorithms based on different kernels

本組實(shí)驗(yàn)參數(shù)選取同實(shí)驗(yàn)1。由表3可看出，基于組合核函數(shù)的支持向量回歸算法對(duì)與訓(xùn)練樣本不同道次的測(cè)試樣本測(cè)試誤差增加量小于基于單RBF核函數(shù)的回歸算法的誤差增加量。不難看出，基于新核函數(shù)的回歸算法的泛化能力有一定提高。

4 結(jié)語

(1)針對(duì)熱連軋板形測(cè)量滯后而影響板形控制效果的問題，提出了一種基于樣本數(shù)據(jù)的插值方法來構(gòu)造非固定形式的核函數(shù)，并將其與經(jīng)典的RBF核函數(shù)進(jìn)行線性組合得到新的組合核函數(shù)應(yīng)用到板形預(yù)測(cè)中。

(2)由于板形訓(xùn)練樣本維數(shù)多且散亂分布，故在插值算法的選取上采用了可完成空間散亂插值的Kriging插值方法。實(shí)驗(yàn)表明，通過Kriging插值方法構(gòu)造基于數(shù)據(jù)的核函數(shù)對(duì)局部性的RBF核函數(shù)有較好的全局性補(bǔ)充，其二者組合可應(yīng)用于支持向量回歸。

(3)通過與傳統(tǒng)RBF方法的比較，本方法在學(xué)習(xí)訓(xùn)練性能上較為接近；測(cè)試性能上有所改善，均方誤差減小，預(yù)測(cè)命中率提高；泛化能力有所增強(qiáng)，板形預(yù)測(cè)精確度有了一定程度的提高，為基礎(chǔ)自動(dòng)化的板形預(yù)測(cè)控制系統(tǒng)提供了良好的先驗(yàn)信息。

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