崔 挺,嚴(yán)運(yùn)兵,肖小城

(1.武漢科技大學(xué)汽車與交通工程學(xué)院，湖北 武漢，430081；2.奇瑞新能源汽車技術(shù)有限公司，安徽 蕪湖，241002)

倒立擺系統(tǒng)是一個(gè)典型的非線性、強(qiáng)耦合、多變量、不穩(wěn)定的系統(tǒng)，是進(jìn)行控制理論研究的典型實(shí)驗(yàn)平臺(tái)。倒立擺系統(tǒng)控制是控制理論發(fā)展中的一個(gè)典型問題，其控制實(shí)驗(yàn)可以驗(yàn)證許多新的控制理論[1]。目前，通過倒立擺系統(tǒng)驗(yàn)證過的許多控制方法在航天、機(jī)器人以及一般工業(yè)過程領(lǐng)域均有著廣泛的應(yīng)用，如航天飛機(jī)的姿態(tài)控制、機(jī)器人行走過程中的平衡控制等，故倒立擺系統(tǒng)控制實(shí)驗(yàn)已成為控制理論界學(xué)者研究的熱點(diǎn)。

對(duì)于控制系統(tǒng)而言，控制律的形成需要系統(tǒng)的狀態(tài)變量，而狀態(tài)變量需要通過量測(cè)裝置進(jìn)行觀測(cè)，但量測(cè)裝置中存在著隨機(jī)干擾。LQG/LTR控制是一種現(xiàn)代多變量頻域的設(shè)計(jì)方法，它能有效處理有附加噪聲影響或狀態(tài)變量不能直接量測(cè)的線性系統(tǒng)控制問題，其良好的魯棒性和解耦特性使得該控制方法在魯棒控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)中得到廣泛應(yīng)用，有著很高的工程實(shí)用價(jià)值[2]。為此，本文以二級(jí)倒立擺系統(tǒng)為例，采用LQR狀態(tài)反饋與卡爾曼狀態(tài)估計(jì)相結(jié)合的方法，通過回路傳輸恢復(fù)技術(shù)(LTR)彌補(bǔ)LQG設(shè)計(jì)的不足，完成了LQG/LTR全狀態(tài)反饋控制器的設(shè)計(jì)，并運(yùn)用MATLAB語(yǔ)言進(jìn)行仿真分析，將其仿真結(jié)果與LQR控制器進(jìn)行對(duì)比，以期驗(yàn)證該設(shè)計(jì)方法的有效性。

1 LQG/LTR控制理論

1.1 LQG設(shè)計(jì)原理

線性二次型高斯(LQG)問題是指系統(tǒng)模型用狀態(tài)空間形式給出的線性系統(tǒng)，其性能指標(biāo)為基于被控對(duì)象和控制輸入的二次型函數(shù)，所研究的干擾噪聲、量測(cè)噪聲均為獨(dú)立的高斯密度函數(shù)，且噪聲以相加的方式加入狀態(tài)空間模型之中。綜合線性二次型控制器(LQR)和卡爾曼濾波器的設(shè)計(jì)過程，就可設(shè)計(jì)出LQG動(dòng)態(tài)控制器。

假設(shè)對(duì)象模型的狀態(tài)方程為

(1)

若這些信號(hào)均為零均值的高斯過程，則其統(tǒng)計(jì)特性為

E[w(t)wT(t)]=Ξ≥0

(2)

E[v(t)vT(t)]=Θ≥0

(3)

E[w(t)vT(t)]=0

(4)

LQG問題是尋找一個(gè)最優(yōu)反饋控制律，使得最優(yōu)控制指標(biāo)函數(shù)式(5)取最小值。即：

(5)

式中：z(t)=Mx(t)為狀態(tài)變量x(t)的某種線性組合；Q為對(duì)稱半正定矩陣；R為對(duì)稱正定矩陣，即Q=QT≥0，R=RT>0。

LQG問題的求解，可分為最優(yōu)狀態(tài)估計(jì)器Kf和最優(yōu)狀態(tài)反饋控制律Kc，其控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖1所示。

圖1 LQG控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖Fig.1 Structure of LQG control system

被控對(duì)象傳遞函數(shù)G(s)與控制系統(tǒng)傳遞函數(shù)Gc(s)分別為

G(s)=C(sI-A)-1B

Gc(s)=Kc(sI-A+BKc+KfC)-1Kf

(6)

根據(jù)分離原理，可將LQG控制器設(shè)計(jì)分為兩步：①選取Kf、Kc中的一個(gè)參數(shù)設(shè)計(jì)目標(biāo)回路，使其滿足系統(tǒng)的設(shè)計(jì)要求；②調(diào)整另一個(gè)參數(shù)使整個(gè)閉環(huán)回路的性能恢復(fù)到目標(biāo)回路的性能。

Kf=PfCTΘ-1

(7)

式中：Pf為濾波器Riccati方程，并滿足：

PfAT+APf-PfCTΘ-1CPf+ΓΞΓ=0

(8)

ATPc+PcA-PcBR-1BTPc+Q=0

(9)

MATLAB語(yǔ)言中的魯棒控制工具箱Kalman和LQR函數(shù)可用于解決Riccati方程[3]。

1.2 LTR設(shè)計(jì)原理

如果加權(quán)矩陣Q、R值選擇不當(dāng)，采用卡爾曼濾波器方法與直接反饋獲得開環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)會(huì)出現(xiàn)不同，解決問題的有效方法是在控制策略中引入LTR技術(shù),這樣在LQG結(jié)構(gòu)下的開環(huán)傳遞函數(shù)就會(huì)盡可能接近直接采用狀態(tài)反饋的傳遞函數(shù)。

在設(shè)計(jì)模型輸入端加入與任意正數(shù)q呈正比的虛擬過程噪聲，即

W=W0+qΣ,V=I

(10)

式中：W0為實(shí)際過程噪聲方差的估計(jì)值；Σ=ΣT≥0；q為恢復(fù)增益。

選擇合適的卡爾曼濾波器Kf,調(diào)節(jié)恢復(fù)增益q，使系統(tǒng)開環(huán)回路Gc(s)G(s)當(dāng)q→∞時(shí)，在所考慮的頻率范圍內(nèi)逼近目標(biāo)回路Kc(sI-A)-1B曲線，即:

(sI-A)-1B=Kc(sI-A)-1B

(11)

這表明當(dāng)恢復(fù)增益q→∞時(shí)，LQG控制器Gc所擁有的魯棒特性在被控對(duì)象的輸入端得到了恢復(fù)。但在實(shí)際應(yīng)用中，q值不應(yīng)該選擇過大，否則會(huì)引起截?cái)嗾`差，破壞系統(tǒng)的魯棒性。一般情況下，q=1010即可。

根據(jù)LQG/LTR理論，回路傳輸恢復(fù)后，系統(tǒng)能夠獲得對(duì)外界干擾和量測(cè)噪聲更好的魯棒性，具有增益欲度無窮大和不少于60°相位欲度。

2 仿真與分析

二級(jí)倒立擺系統(tǒng)是目前應(yīng)用相當(dāng)廣泛的控制系統(tǒng)平臺(tái),一個(gè)典型的二級(jí)倒立擺系統(tǒng)主要由機(jī)電裝置和控制裝置兩部分組成[4]。機(jī)電裝置由小車、下擺桿、上擺桿及連接軸等構(gòu)成。圖2為二級(jí)倒立擺模型，其工作原理是，用一種控制輸入作用在小車上，使小車以一定的規(guī)律來回跑動(dòng)，上下擺桿在垂直平面內(nèi)左右擺動(dòng)，以實(shí)現(xiàn)擺桿的動(dòng)態(tài)平衡。假設(shè)系統(tǒng)中的每一根擺桿都是勻質(zhì)剛體，則可忽略擺桿運(yùn)動(dòng)中的動(dòng)摩擦。設(shè)定小車質(zhì)量為m,下擺桿質(zhì)量為M1，上擺桿質(zhì)量為M2，下擺桿角位移為θ1，上擺桿角位移為θ2，小車與地面的摩擦系數(shù)為f,下擺桿長(zhǎng)度為L(zhǎng)，上、下擺桿轉(zhuǎn)動(dòng)中心到擺桿中心的距離分別為l1、l2，擺桿按順時(shí)針旋轉(zhuǎn)為正。

圖2 二級(jí)倒立擺模型Fig.2 Model of double inverted pendulum

2.1 系統(tǒng)建模

倒立擺在平衡位置時(shí)，θ1、θ2均取0，通過平衡位置線性化后，可得：

(1)小車運(yùn)動(dòng)方程為

(12)

(2)下擺桿運(yùn)動(dòng)方程為

(13)

(3)下擺桿運(yùn)動(dòng)方程為

(14)

(15)

其中：

2.2 倒立擺系統(tǒng)穩(wěn)定性分析

倒立擺線性系統(tǒng)穩(wěn)定性可通過計(jì)算系統(tǒng)矩陣A的特征值來判斷，如果特征值均處于s復(fù)平面的左半平面，則系統(tǒng)穩(wěn)定。在MATLAB語(yǔ)言中，用函數(shù)eig(A)計(jì)算矩陣的特征值，經(jīng)計(jì)算得線性定常系統(tǒng)特征值為[-11.829 -5.8745.874 11.829 0 0]T,系統(tǒng)顯然不穩(wěn)定，需設(shè)計(jì)控制器使其穩(wěn)定。

要設(shè)計(jì)最優(yōu)控制器，首先保證系統(tǒng)是可控的。在MATLAB語(yǔ)言中采用rank(ctrb(A,B))，rank(obsv(A,C))求取系統(tǒng)可控性以及可觀性矩陣的秩。經(jīng)計(jì)算，系統(tǒng)可控可觀。因此，上述系統(tǒng)可以采用LQG控制器進(jìn)行控制，使系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定。

2.3 LQG/LTR控制器設(shè)計(jì)

在系統(tǒng)輸入端和輸出端分別加入外界干擾w(t)和量測(cè)噪聲v(t)，由于w(t)和v(t)是白噪聲信號(hào)，可在仿真模塊中選擇白噪聲模塊，分別作為模型不確定性和輸出噪聲。假設(shè)這些噪聲都是零均值的Gauss過程，則選擇Kalman濾波器噪聲強(qiáng)度權(quán)函數(shù)為

Ξ=mI6×6,Θ=nI6×6

(16)

根據(jù)式(7)、式(8)，利用MATLAB語(yǔ)言中的care函數(shù)求出Pf,再使用inv函數(shù)得到卡爾曼濾波器Kf。不斷調(diào)節(jié)m和n,使得卡爾曼濾波器回比函數(shù)GkF=C(sI-A)-1Kf的奇異值滿足魯棒性能要求。同時(shí)，不斷調(diào)節(jié)狀態(tài)變量Q、R值，使Gc(s)G(s)奇異值曲線在頻率范圍內(nèi)足夠逼近卡爾曼回比函數(shù)GkF=C(sI-A)-1Kf的奇異值曲線，這樣整個(gè)系統(tǒng)的性能得到了保證。倒立擺系統(tǒng)仿真結(jié)構(gòu)如圖3所示。

2.4 仿真分析

在仿真過程中，初始條件設(shè)定為x=[011000]T，LQG/LTR控制效果如圖4所示，LQR仿真效果如圖5所示。由圖4、圖5可看出，兩種控制方式都較好地跟蹤了輸入，采用LQG/LTR控制的各性能指標(biāo)均優(yōu)于LQR控制。即使有外界干擾和噪聲的情況下，小車位移和擺角均在2 s內(nèi)達(dá)到穩(wěn)定，超調(diào)比LQR控制明顯降低;LQR控制下的位移和擺角均圍繞0值附近范圍內(nèi)波動(dòng)。由此可以驗(yàn)證，卡爾曼濾波器的引入明顯減少了外界干擾和測(cè)量噪聲對(duì)控制系統(tǒng)的影響。

圖3 控制系統(tǒng)仿真結(jié)構(gòu)圖Fig.3 Simulation structure of control system

(a)小車位移 (b)下擺角角度 (c)上擺角角度

圖4LQG/LTR控制效果

Fig.4SimulationresultswithLQG/LRT

(a)小車位移 (b)下擺角角度 (c)上擺角角度

圖5LQR仿真效果

Fig.5SimulationresultswithLQR

3 結(jié)語(yǔ)

(1)針對(duì)二級(jí)倒立擺擺動(dòng)過程中外界干擾和傳感器量測(cè)噪聲的存在，采用魯棒控制理論中的LQG/LTR方法設(shè)計(jì)了帶有卡爾曼濾波器全狀態(tài)反饋的LQG控制器。

(2)對(duì)LQG控制器進(jìn)行回路傳輸恢復(fù)后，得到LQG/LTR控制器，系統(tǒng)能夠獲得對(duì)外界干擾和量測(cè)噪聲更好的魯棒性，具有增益欲度無窮大和不少于60°相位欲度，滿足了系統(tǒng)控制要求。

(3)將LQG/LTR控制器與LQR控制器進(jìn)行仿真對(duì)比發(fā)現(xiàn)，在二級(jí)倒立擺系統(tǒng)中LQG/LTR控制器有效解決了在外界干擾和量測(cè)噪聲等情況下出現(xiàn)的不穩(wěn)定問題，并具有較好的魯棒性。

[1] 葉建斌，郭鴻武. 三級(jí)倒立擺的LQG最優(yōu)控制應(yīng)用研究[J].計(jì)算技術(shù)與自動(dòng)化，2011，30(4)：9-13.

[2] 章萌，章衛(wèi)國(guó)，孫勇. 基于閉環(huán)準(zhǔn)則的LQG/LTR飛行控制律優(yōu)化設(shè)計(jì)[J].飛行力學(xué)，2011，29(5)：49-53.

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[4] 王春民，欒卉，楊紅應(yīng). 倒立擺的設(shè)計(jì)與仿真[J].吉林大學(xué)學(xué)報(bào)：信息科學(xué)版，2009，27(3):242-247.

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