王 勇, 陳 鵬, 耿子海, 王萬波, 李士偉

(1. 中國空氣動力研究與發(fā)展中心 空氣動力學國家重點實驗室, 四川 綿陽 621000; 2. 中國空氣動力研究與發(fā)展中心 低速空氣動力研究所, 四川 綿陽 622762)

0 引 言

在空氣動力學領域的很多實際工程應用中，人們經(jīng)常關注于流場中壓強分布信息的獲取。其原因在于，壓強是流場中運動物體產(chǎn)生升力和阻力的主要來源，同時壓強脈動也是誘發(fā)結構振蕩和產(chǎn)生噪聲的主要原因[1-2]。

迄今為止，較為成熟的壓強測量技術包括在物體表面布設測壓孔測定壁面壓強，或者利用皮托管類型的探針(如五孔或七孔探針)測量流場中某些感興趣區(qū)域(如邊界層)的壓強。這些壓強測量技術主要存在以下三個方面的缺陷：一是接觸式測量，導致對原有流場的干擾；二是非瞬時測量，測量得到的壓強值是一段時間內(nèi)的平均值或者延遲值；三是有限點測量，即只能得到流場中若干測量位置處的壓強值而不能得到較大范圍內(nèi)的壓強分布。另一方面，空氣動力學研究的很多領域期望能夠?qū)簭妶龊退俣葓鲞M行同步測量，如湍流研究中雷諾應力輸運方程的速壓梯度張量的確定，但目前還缺乏這方面的實驗技術。

近幾十年來，粒子圖像成像技術[3-4](Particle Image Velocimetry, PIV)作為一種非接觸式流場測量和流動顯示技術得到了快速的發(fā)展。通過PIV測量可以得到較大范圍流場的瞬時速度分布，并可以據(jù)此得到諸如渦量等氣動量或顯示流場結構。PIV的諸多優(yōu)點觸發(fā)研究人員探索基于PIV的速度場測量發(fā)展空間壓強場重構技術，以實現(xiàn)壓強場的非接觸式、高時間分辨率、較大范圍、與速度場同步的測量。國外的一些仿真計算和風洞實驗已經(jīng)證明了該方法的可行性和有效性。例如，Gurka等[5]利用PIV測量得到的管道流動中的定常速度場獲得了管道中的壓強分布；Baur和K?ngeter[6]利用高時間分辨率的PIV數(shù)據(jù)重構壓強場，解決了壁掛式障礙物上脫落渦中的局部壓強減少問題。此外，該方法還在單氣泡[7]、燃燒室[8]、微管[9]、空腔[10-12]、圓柱[13]、方柱[14-16]、桿-翼組合體[17-20]以及可壓縮流動[21-22]的研究中得到了廣泛的應用。因此，這一領域的研究應引起國內(nèi)同行的高度重視。

本文將綜述基于PIV速度場測量重構空間壓強場的基本原理、關鍵技術并介紹相關的研究成果和進展，進而探討其發(fā)展方向，以期為該技術的進一步發(fā)展提供一定的參考。

1 基本原理

基于PIV速度場測量重構壓強場技術具有堅實的理論基礎，經(jīng)典的不可壓Navier-Stokes方程(密度為常數(shù))：

(1)

其中DU/Dt是物質(zhì)加速度，p是靜壓，經(jīng)過變換可得到兩種形式的壓強梯度與速度場數(shù)據(jù)的關系，即拉格朗日(Lagrangian)形式[23-25]：

(2)

其中xp(t)和Up(t)分別是粒子質(zhì)點在t時刻的位置和速度；以及歐拉(Eulerian)形式[6,26]

(3)

由上述兩種形式可以看出，當由PIV測量得到速度場U后，可通過計算速度場的物質(zhì)加速度DU/Dt和粘性項v2U得到流場的壓強梯度變化。其中，粘性項v2U理論上可以通過估計粘性系數(shù)v和計算2U得到，但大量研究表明，對于高雷諾數(shù)流動而言，在遠離邊界區(qū)域，物質(zhì)加速度要遠大于粘性項，因而粘性項可忽略。例如，Liu[27]和Thomas等[28]在湍流的近尾跡流動實驗中發(fā)現(xiàn)，雷諾平均的粘性項是物質(zhì)加速度峰值的10-5。Liu和Katz[23]對空腔剪切流的研究表明，瞬時粘性項的值約比物質(zhì)加速度低3個數(shù)量級，包含和不包含粘性項得到的壓強分布之間的差異只有動壓的0.008%。van Oudheusden等[21]對正方形圓柱的非定常渦流的研究也表明粘性項比物質(zhì)加速度低2個數(shù)量級。Koschatzky等[12]對空腔流動的研究表明，在靠近空腔壁面的位置粘性項有較高的幅值，但仍比總加速度項低2個數(shù)量級。因此，忽略粘性項對計算的影響，壓強梯度可表示為：

(4)

或

(5)

一旦通過PIV速度場測量數(shù)據(jù)計算出壓強梯度后，理論上可以通過求解一個最小二乘問題得到壓強場。對一定的采樣網(wǎng)格，每個結點處的物質(zhì)加速度和壓強通過一個離散的微分方程組聯(lián)系在一起，但是該方程組形成的矩陣方程是超定的。在求解該類矩陣方程的3種主要方法中：矩陣迭代法[29]的結果對初始值的設定很敏感并且松弛因子的選擇也依賴于經(jīng)驗；而直接的矩陣求逆[30]和奇異值分解[31]則必須在計算過程中調(diào)用整個數(shù)值矩陣，該數(shù)值矩陣的最大存儲需求可能高達18GB[23](對應于一個典型的具有2K×2K相機和220×220網(wǎng)格結點的PIV系統(tǒng))，遠遠超出當前的計算機技術水平而使得這兩種方法變得不可行。為避免這些問題，空間壓強場的分布可通過對2D流動使用平面Poisson公式得到[5,32]或?qū)簭娞荻炔捎每臻g推進的侵蝕算法(spatial marching erosion)[6,33]進行直接空間積分，分別稱為平面Poisson法和直接空間積分法。

平面Poisson法對壓強梯度的平面散度公式(6)*向量函數(shù)g的平面散度公式為xy·g=?gx/?x+?gy/?y，其中gx和gy分別為g在x和y方向的成分。進行標準的5點離散化和高斯消元，并結合Dirichlet邊界條件、Neumann邊界條件計算空間的壓強分布：

(6)

其中divxy=?u/?x+?v/?y是流場的平面散度(in-planedivergence)，Neumann邊界條件中給定的壓強梯度通常由式(4)或式(5)給出。公式(6)中前2個花括號中的量可以通過傳統(tǒng)的平面PIV(planarPIV)測量結果直接計算得到，第3個花括號中的量包含z向的速度分量和導數(shù)，需要采用三維體測量技術(volumetrictechnique)進行求解。在嚴格的2D流動假設條件下，第3個速度分量及其速度梯度可以忽略；同時，根據(jù)連續(xù)性方程，不可壓縮流體的速度場滿足無散條件，即平面散度divxy=0，此時平面Poisson公式具有簡單的形式：

(7)

直接空間積分法直接從給定的壓強參考點(Dirichlet邊界條件)開始對壓強梯度進行積分得到壓強分布，其中Dirichlet邊界條件通過直接測量或由Bernoulli方程:

(8)

對無粘外流進行計算得到。

2 關鍵技術及進展

基于PIV速度場測量重構壓強場技術雖然原理簡單，在操作上也完全可行，但是在實際應用中仍面臨諸多困難。概括來說，為了從PIV速度場數(shù)據(jù)計算得到準確可靠的空間壓強場分布需要綜合協(xié)調(diào)3個方面的關鍵問題：速度場測量、壓強梯度計算、壓強分布計算。

2.1速度場測量

基于PIV的壓強場重構技術根據(jù)PIV得到的速度場數(shù)據(jù)來計算流場中的壓強分布，速度場數(shù)據(jù)作為輸入?yún)⒘?，其測量的精度直接決定著壓強分布計算的精度，是該技術成功與否的第一個關鍵點。Liu和Katz[23]的分析認為，速度測量的精度對壓強分布計算的影響比其它過程對壓強計算的影響至少高1個數(shù)量級。

通常，由PIV設備根據(jù)一定的采集間隔Δt=1/facq(其中facq為PIV的采集頻率)獲取示蹤粒子的若干瞬時圖像后，在一定的查詢窗大小(interrogation window-size)和重疊因子(overlap factor)條件下計算得到PIV速度場，在計算過程中還需剔除噪點對計算的影響。de Kat和van Oudheusden[32]的研究表明，為從PIV數(shù)據(jù)成功地計算壓強分布，查詢窗的大小相對流動結構要足夠小(約小5倍)；大的重疊因子會增加壓強計算的質(zhì)量，但是當查詢窗足夠小時，重疊因子的影響減弱(如圖1所示)；PIV的采集頻率應比相應的流動頻率(如Eulerian方法中的Eulerian時間尺度和Lagrangian方法中的Lagrangian時間尺度)高10倍。對空間分辨率(grid resolution)和時間分辨率(time resolution)的研究表明：計算誤差依賴于流態(tài)和算法，并且分辨率并不是越高越好，而是有個適當?shù)淖顑?yōu)值。但在實際操作中，應采用較高的空間分辨率進行測量。de Kat和van Oudheusden的研究同時表明，噪聲是最大的誤差源，壓強分布的計算誤差隨噪聲量呈線性增長(見圖2)，因此降低速度場的噪聲水平能直接改進壓強計算。

圖1 壓強重構的峰值響應與PIV空間分辨率的關系圖[32]

圖2 壓強重構誤差與速度測量誤差的關系圖[32]

Charonko等[34]針對PIV速度場測量對壓強分布的影響進行了詳細的研究，結果表明1%的速度偏差即可導致至多16.9%的壓強梯度計算誤差和大約10%的壓強重構誤差。另一方面，他們的研究還發(fā)現(xiàn)壓強重構誤差與速度測量誤差近似呈線性增長趨勢。由于目前PIV測量誤差約為0.5%～5%，這將導致至多約60%的壓強重構誤差，這是不可接受的。因此，在計算壓強梯度之前有必要對PIV速度測量誤差進行適當?shù)念A處理。為此，Charonko等在同一個工作中考察了10階低通FIR(Finite-duration Impulse Response)濾波器、拉格朗日最小二乘光滑器和本征正交分解(Proper Orthogonal Decomposition，POD)[35-36]光滑器3種方法在消除或減小測量誤差影響方面的效果。結果表明(見圖3)：所有方法在速度場無測量誤差的情況下效果最好；當存在測量誤差時，不對速度場數(shù)據(jù)進行預處理時壓強計算的誤差最大，而采用POD光滑器對測量誤差進行預處理時能在所有考察誤差水平下得到最好的壓強計算。

(a)

(b)

2.2壓強梯度計算

由第一節(jié)可知，在忽略了粘性項的影響后，可以通過兩種方法來計算壓強梯度，即拉格朗日方法和歐拉方法。

2.2.1拉格朗日方法

由公式(4)的拉格朗日方法計算壓強梯度時，所有物理量是關于流場中某個確定的流體質(zhì)點的。因此，采用該方法時，需要重構流體質(zhì)點隨流場運動的軌跡并進而估計它們在各自軌跡點上的速度和加速度。

對于PIV測量來說，確定每個流體質(zhì)點在每幅圖像中的粒子位置是困難的。因此，在實際操作中，研究者們基于速度場數(shù)據(jù)設計了不同的偽追蹤算法(pseudo-tracking approach)來重構流動軌跡。

假設流體質(zhì)點在t時刻位于空間x點處的速度為U(x,t)，Liu和Katz[23]根據(jù)下式確定該流體質(zhì)點在t+Δt/2時刻位于x+UaΔt/2點處的物質(zhì)加速度：

(9)

其中，

Ua(x+UaΔt/2,t+Δt/2)

(10)

為流體質(zhì)點在t和t+Δt時刻之間的平均拉格朗日速度。de Kat和van Oudheusden[32]采用迭代算法重構2階粒子路徑并估計物質(zhì)加速度：

(11)

(12)

其中xp是粒子位置，上標k是迭代步，公式(11)是粒子位置在時刻t關于時間間隔Δt的2階展開。

在流場的邊界處，拉格朗日方法采用線性向前或向后差分計算物質(zhì)加速度。

2.2.2歐拉方法

由公式(5)的歐拉方法計算壓強梯度時，所有物理量是相對于流場空間的固定位置的。在歐拉方法中，當?shù)丶铀俣群蛯α骷铀俣瓤梢酝ㄟ^對時間和空間進行二階中心有限差分得到，即：

+O(Δt2)

(13)

+O(h2)

(14)

其中h是離散化網(wǎng)格間距，Δt是時間間隔，u是x方向的速度成分；對于y方向和z方向的當?shù)丶铀俣群蛯α骷铀俣瓤梢灶愃频氐玫?。采用上述二階中心有限差分計算x方向的壓強梯度?p/?x的截斷誤差為：

(15)

其它方向壓強梯度計算的截斷誤差可以類似地得到。公式(15)表明，為降低基于PIV的壓強計算技術的截斷誤差，PIV設備應具有較小的時間間隔或較高的采樣頻率，同時離散求解速度場時應采用較細的網(wǎng)格劃分以得到較小的網(wǎng)格間距。這也從理論上證明了de Kat和van Oudheusden[32]、Charonko等[34]的實驗觀察結果。

Liu和Katz[23]對2D空腔湍流場的研究表明，歐拉方法中當?shù)丶铀俣鹊闹蹈哂趯α骷铀俣?，因此是物質(zhì)加速度的主要貢獻項。在流場的邊界處，歐拉方法同樣采用線性向前或向后差分計算物質(zhì)加速度。

2.2.3拉格朗日方法與歐拉方法的對比

公式(4)和公式(5)是不可壓動量方程的兩種等價的表示形式，大量研究也表明基于公式(4)的拉格朗日方法和基于公式(5)的歐拉方法在計算壓強梯度方面都是可行的。但是，對于實際的工程應用問題，到底是采用拉格朗日方法還是采用歐拉方法來計算壓強梯度并沒有定論，兩種方法具有各自不同的優(yōu)點和缺點，但更傾向于采用拉格朗日方法。Jakobsen等[37]針對波的傳播問題對拉格朗日形式和歐拉形式確定物質(zhì)加速度進行了比較分析，結果表明對于該問題而言拉格朗日形式優(yōu)于歐拉形式，但是該結論只在一個很小的時間間隔范圍內(nèi)成立,并且當波撞擊到豎直壁面時，拉格朗日形式存在偏置效應(bias effects)從而性能上劣于歐拉形式。Christensen和Adrian[38]在對流湍流問題中的研究發(fā)現(xiàn)，空間中某點處的物質(zhì)加速度的量級約比速度的時間變化小1個數(shù)量級，因此更支持采用拉格朗日方法。de Kat和van Oudheusden[39]在仿真的高斯渦實驗和真實的正方形圓柱擾流上的研究表明，拉格朗日方法和歐拉方法得到的結果沒有明顯的區(qū)別，但是拉格朗日方法對噪聲和渦軸角度變化的敏感度低于歐拉方法，但受3D-PIV中z向照射范圍的影響較大。de Kat和van Oudheusden[32]針對高斯渦流動和湍流流動的研究表明，當高斯渦位于視場邊緣時，歐拉方法的效果較差而拉格朗日方法幾乎不受影響；歐拉方法對噪聲和平流運動更敏感，而拉格朗日方法由于難以重構復雜流動的運動軌跡，在流場中存在旋轉運動時會出現(xiàn)困難。Violato等[19]、Tenneks[40]和Koeltzsch[41]的對比研究發(fā)現(xiàn)：只有在PIV的時間分辨率非常高的情況下，由差分方法計算的當?shù)丶铀俣炔沤咏嬷担駝t將得出錯誤的結果。因此對于較大的PIV采集間隔時間，采用拉格朗日方法計算的壓強誤差比用歐拉方法的小。Violato等[19]的研究同時發(fā)現(xiàn)：拉格朗日方法對測量噪聲不敏感；當要求壓強梯度計算的相對精度誤差小于10%時，歐拉方法不再適用。綜合上述研究成果可以看出，相對于拉格朗日方法而言，歐拉方法對噪聲更敏感、對時間分辨率的要求也更高，而這些因素正是當前PIV技術無法避免或急需改進的地方，因此我們更傾向于選用拉格朗日方法計算壓強梯度。但是，當流動具有明顯的三維特征或較快的加速度時，粒子會“逃離”于PIV視場范圍以外，導致拉格朗日方法無法追蹤到粒子位置而使算法失效，此時采用歐拉方法更合適。

2.3壓強分布計算

由第一節(jié)可知，空間的壓強分布可以通過平面Poisson法或直接空間積分法對壓強梯度進行處理得到。對這兩種方法的大量對比研究表明，平面Poisson法略好于直接空間積分法。其原因在于，從數(shù)學優(yōu)化的角度來講，Poisson方法可以看作壓強梯度直接空間積分方法的全局最優(yōu)解[22-25]。另一方面，壓強場是一個標量場，對壓強梯度的積分必須獨立于積分路徑，然而直接空間積分法的計算通常依賴于積分路徑，為此Liu和Katz[23]通過對壓強梯度進行全向積分(omni-directional integration)來消除對積分路徑的依賴性，其本質(zhì)是沿著所有可能的路徑對壓強梯度進行積分然后再對結果進行平均化。de Kat等[26]在正方形圓柱擾流中對平面Poisson法和直接空間積分法的比較研究發(fā)現(xiàn)(如圖4所示)：兩種方法得到的壓強信號的功率譜在峰值位置和量級上都是一致的，而且兩種方法得到的平均壓強場也是一致的，但是兩種方法得到的壓強場均方根波動值有顯著的差異，在流場的尾跡區(qū)域，直接積分法的噪聲量比平面Poisson法多50%。de Kat等根據(jù)對直接空間積分法得到的圓柱下表面壓強分布圖(見圖5)中的壓強條紋的分析認為，直接空間積分法具有記憶特性(‘memory’-effect)，即它會沿著積分的行進方向傳播和累積誤差，從而導致其性能劣于平面Poisson法。

de Kat和van Oudheusden[39]在仿真的高斯渦實驗中進一步發(fā)現(xiàn)，直接空間積分法相比平面Poisson法而言，對高斯渦軸的方向依賴性更強、對噪聲的影響更敏感。然而，Charonko等[34]在仿真的渦流以及真實的擴散管內(nèi)振蕩流中對Liu和Katz[23]提出的全向直接空間積分法和平面Poisson法的對比研究發(fā)現(xiàn)：全向直接空間積分法在仿真流動和真實流動上的結果都一致地好于平面Poisson法，因此，他們認為對壓強分布計算而言，沒有唯一的或最優(yōu)的方法，PIV確定空間壓強分布的有效性依賴于流動類型。

3 研究展望

基于PIV速度場測量重構空間壓強場技術經(jīng)過十幾年特別是近五年來的發(fā)展，已經(jīng)取得了很大的進展并在實際的工程應用中得到了一定的推廣，顯示出較多的優(yōu)越特性，但是該技術的成熟度并不高，有很多實際問題需要進一步解決，因此離真正的實用化還任重而道遠。

(a) 正方形圓柱底部

(b) 正方形圓柱尾部

3.1PIV速度測量的改進

流場中速度場測量的準確度直接關系著基于PIV的壓強計算技術的準確度。但是，當采用PIV進行速度場測量時，在靠近物面位置，物面對激光的反射以及物面的邊緣效應[25]會導致PIV成像的質(zhì)量變差進而給速度測量帶來很大的誤差，對該問題的解

決依賴于極低反射率表面涂層材料的研發(fā)。另外，在靠近物面位置，由于速度較低(理想情況下物面上速度為零)，測量的相對誤差會較大，如何得到該區(qū)域準確的速度分布甚至得到壁面的壓強波動還需要對PIV算法本身進行改進。文獻[42]中正式提出了三脈沖PIV(Triple-Pulse PIV)技術，它在現(xiàn)有的雙脈沖PIV(Double-Pulse PIV)的基礎上額外引入了一組激光脈沖(第二組激光脈沖位于第一組和第三組激光脈沖之間的1/3處)，通過與三階相關分析(third-order correlation analysis)相結合，可以得到粒子位置和速度的更準確的測量，同時可以直接測量加速度，是提高PIV速度場測量準確度、通過加速度重構壓強場的潛在發(fā)展方向。

3.2參數(shù)的優(yōu)化設置

現(xiàn)有的研究主要集中在考察基于PIV速度測量計算壓強分布的可行性上，還較少涉及對該技術關鍵參數(shù)的設置與選取的系統(tǒng)分析和研究。如第二節(jié)所述，PIV采集頻率、圖像處理時查詢窗大小和重疊因子、測量噪聲點等都會對速度場測量帶來很大的影響，進而會降低最終壓強分布計算的精準度。另一方面，采用離散化方法計算壓強梯度并計算壓強分布時，其中的參數(shù)設置(如時間間隔、網(wǎng)格大小等)也會影響最后的計算結果。因此，研究在一定的準則下對參數(shù)進行優(yōu)化選取是一個有意義的方向，例如在控制住截斷誤差的情況下研究參數(shù)的優(yōu)化設置。

3.3算法的改進與創(chuàng)新

現(xiàn)有的速度場、壓強梯度、壓強分布的計算方法雖然在原理上是可行的并在實際使用中也能得到合理的結果，但還有很多細節(jié)值得進一步挖掘。例如，de Kat和van Oudheusden[32]對正方形圓柱附近湍流場的研究表明，采用現(xiàn)有的PIV壓強重構技術，獲取的壓強場精度約為5%(以壓強傳感器的測量結果作為真值)、準度約為20%(均方根誤差)。如何進一步提高現(xiàn)有技術的精準度，是一個很有意義的研究方向，迫切需要研究其它的新穎算法來更好地計算空間壓強分布。例如，PIV后期數(shù)據(jù)優(yōu)化處理技術、拉格朗日方法計算復雜流動區(qū)域壓強梯度的技術、離散方法中差分格式的選取、不依賴于積分路徑的直接空間積分方法等。

3.4探索并完善3D壓強分布計算

受技術條件和算法自身的限制，現(xiàn)有的壓強分布計算方法還局限于對2D流動結構的研究或者必須采用2D流動假設，但并未考慮2D假設的合理性以及2D近似對結果的影響，更少觸及3D流動對基于PIV的壓強計算技術新要求、新特性的探索。PIV測量技術的發(fā)展與進步，如全息PIV(Holographic PIV)和層析PIV(Tomographic PIV)等[43-45]，使得三維體測量在精度和空間分辨率上都有了較為理想的實驗結果，為考察3D流動條件下的壓強分布技術提供了可能，因此未來還需要在3D壓強分布計算技術方面進行不斷地探索與完善。

3.5可壓縮流動條件下的壓強重構技術

由于難以從流動中估計流體密度的變化，現(xiàn)有的基于PIV的壓強重構技術大多局限于不可壓縮流動條件下的壓強重構問題。可壓縮流動條件下，流體密度和粘性項均未知，并且平面流場不滿足無散條件(即divxy=0)，因此平面Poisson簡化公式(7)不再有效，同時也不能再利用公式(4)和公式(5)計算壓強梯度。此外，可壓縮流動情況下，由于激波和稀薄剪切層的存在，使得準確的速度測量變得異常困難[25]。van Oudheusden和Scarano等[21,22]初步探討了定?？蓧嚎s流動條件下的PIV壓強重構技術，在絕熱流動并忽略粘性項的假設下，結合氣體法則得到了一個類似于公式(1)的動量方程，并將該技術應用于超聲速流動下翼型的氣動載荷計算。然而，如何開展一般條件下的可壓縮流動的PIV壓強重構仍是一個開放性問題。

4 結 論

基于PIV速度場測量重構空間壓強場分布是一種新穎的非接觸式、大范圍、高時間分辨率的壓強計算技術，在原理上是可行的，在初步的理論與實驗研究中也顯示出優(yōu)良的效果。但是，在實際操作和技術實現(xiàn)上還有很多細節(jié)需要完善和發(fā)展，離真正的實用化還有較大差距。相信隨著技術的進步和研究的深入，該技術將逐步實現(xiàn)工程化應用。

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作者簡介:

王勇(1982-)，男，四川成都人，博士，助理研究員。研究方向：氣動聲學。通信地址：四川省綿陽市中國空氣動力研究與發(fā)展中心(621000)。E-mail: yongwang82@gmail.com