韓基剛，宋玉普，常繼峰

(1. 大連理工大學 建設工程學部，遼寧 大連，116024；2. 遼寧省交通規(guī)劃設計院，遼寧 沈陽，110166；3. 哈爾濱學院 工學院，黑龍江 哈爾濱，150086)

眾所周知，B 類部分預應力混凝土(partially prestressed concrete，PPC)梁作為橋梁和海洋平臺等工程中較為常見的一種結構形式，在承受靜力荷載的同時還需要承受疲勞荷載的作用。隨著疲勞循環(huán)次數(shù)的增加，梁體裂縫不斷擴展。當裂縫寬度達到一定程度時，不僅影響結構的美觀，而且可導致梁內鋼筋銹蝕，從而降低結構的耐久性。因此，現(xiàn)有設計規(guī)范均對梁體裂縫進行驗算和控制[1-2]，其中疲勞裂縫寬度的準確預測是進行合理疲勞設計的前提。然而，通過現(xiàn)有PPC梁疲勞裂縫寬度計算公式得到的結果尚存在不小的差異，仍有待進一步研究。近年來，國內外學者進行了大量的PPC梁疲勞試驗，以期得到裂縫寬度擴大系數(shù)，進而估算不同疲勞荷載作用次數(shù)下梁的裂縫寬度[3-5]。但由于采用試驗梁的尺寸、截面類型、配筋形式和混凝土強度等因素的影響，不同研究者得到的擴大系數(shù)并不相同，甚至相差幾倍，這使其在實際工程設計應用中具有一定的局限性，因此，針對疲勞荷載作用下PPC 梁裂縫寬度的計算方法需要進行必要的理論分析。目前，有關PPC 梁疲勞裂縫寬度的理論計算模型均以黏結-滑移理論為基礎，并考慮了混凝土的循環(huán)徐變、梁彎曲剛度退化、滑移的增大以及混凝土收縮的影響[6-7]。然而，上述計算模型中卻忽略了以下2個重要問題：1) 未考慮疲勞荷載作用下，梁內非預應力鋼筋與混凝土之間的黏結應力-滑移退化關系，從而低估了梁的裂縫開展寬度。2) 非預應力鋼筋應力是確定PPC 梁裂縫寬度的最重要參數(shù)[7-8]，但已有開裂截面應力計算方法并未考慮疲勞荷載作用下，因預應力與非預應力鋼筋之間黏結性能的不同而產生的鋼筋應力重分布以及非預應力鋼筋殘余應變對鋼筋應力的影響[9-10]，這會導致采用相應方法計算得到的開裂截面非預應力鋼筋應力偏小。為了更加合理地考慮上述因素的影響，本文作者建立非預應力鋼筋與混凝土之間的疲勞黏結應力-滑移關系，給出合理非預應力鋼筋應力計算方法，在此基礎上，提出PPC 梁疲勞裂縫寬度數(shù)值計算模型，并通過6 根PPC 梁的試驗數(shù)據(jù)驗證模型的準確性。

1 非預應力鋼筋與混凝土之間疲勞黏結應力-滑移關系

1.1 靜載作用下黏結應力-滑移關系

在疲勞荷載作用下，鋼筋與混凝土之間的黏結性能不斷發(fā)生退化，表現(xiàn)為黏結強度的降低和滑移的增大。顯然，靜載作用下的鋼筋與混凝土之間的黏結應力-滑移關系已不再適用。因此，本文首先建立了鋼筋與混凝土之間的疲勞黏結應力-滑移關系。

在靜載作用下，鋼筋和混凝土之間的黏結應力-滑移關系模型[11]為

圖1 靜載作用下黏結應力-滑移關系Fig.1 Bond stress-slip relationship under static loading

1.2 疲勞剩余黏結強度及包絡線

疲勞剩余黏結強度是指在一定次數(shù)疲勞荷載作用后，鋼筋與混凝土界面上還能承受的最大黏結應力。而疲勞剩余黏結強度包絡線則是指經歷任意次數(shù)疲勞加載后的疲勞黏結剩余強度與疲勞加載次數(shù)之間的關系曲線。

通過分析疲勞荷載作用下鋼筋與混凝土之間的黏結應力-滑移變化曲線如圖2 所示。由圖2 可知：發(fā)生疲勞黏結破壞時的最大滑移與靜載作用下得到的黏結應力-滑移曲線下降段最大黏結應力所對應的滑移相當[12-13]。因此，本文近似以靜載作用下黏結應力-滑移曲線下降段代替疲勞荷載作用下剩余黏結強度包絡曲線，如圖3 所示。

參考靜載作用下的黏結應力-滑移關系曲線，并結合疲勞剩余強度包絡線(圖3)，可得到疲勞剩余強度包絡線方程：

其中：τr(n)為n 次循環(huán)加載次數(shù)后的剩余黏結強度。

圖2 隨循環(huán)次數(shù)增加的黏結應力-滑移變化曲線[12]Fig.2 Evolution of bond stress-slip with number of cycles[12]

圖3 疲勞剩余強度包絡線Fig.3 Envelope curve of fatigue residual bond strength

定義X(n)為與疲勞加載次數(shù)n 有關的函數(shù)，從而有

式中：n 為任意循環(huán)次數(shù)；Nbf為鋼筋與混凝土之間發(fā)生疲勞黏結破壞時所對應的疲勞壽命[14]；τmax為最大黏結應力，α1=0.5， b=0.057。

在等幅疲勞黏結應力作用下，黏結退化過程可看作疲勞黏結剩余強度不斷衰減的過程。當疲勞剩余黏結強度衰減到等幅最大黏結應力(τmax)時，可認為鋼筋與混凝土之間發(fā)生疲勞黏結破壞，即τr(Nbf)=τmax，而壽命期內各疲勞加載次數(shù)下的疲勞剩余黏結強度可通過插值函數(shù)曲線求得，同時該函數(shù)曲線必須滿足相應的邊界條件，由此得到的函數(shù)曲線方程即為疲勞剩余強度包絡線方程。

由邊界條件可知：當n=1 時，X(1)=0.6，τr(1)=τu；當n=Nbf，τr(Nbf)=τmax。將已知邊界條件代入式(2)，可求得X(Nbf)：

綜上所述，可求得任意循環(huán)次數(shù)后的疲勞剩余黏結強度為

定義任意加載次數(shù)后的極限黏結強度損傷因子(Dn)為

1.3 任意疲勞加載次數(shù)后黏結應力-滑移關系

蔣德穩(wěn)等[14-15]按照相同的試驗方法進行了重復荷載作用下的拉拔試驗，得到了變形帶肋鋼筋與混凝土之間的黏結滑移變化規(guī)律，并以CEB-FIP 90 規(guī)范給出的黏結應力-滑移關系曲線的上升段為基礎，提出了考慮殘余滑移的冪函數(shù)形式疲勞黏結應力-滑移關系，其中通過引入試驗系數(shù)(αn)來考慮應力水平和重復次數(shù)的影響。所不同的是：文獻[14]采用的試樣錨固長度比文獻[15]中的長，所得到的相應試驗系數(shù)更能反映工程實際，因此，本文采用文獻[14]提出的上升段疲勞黏結應力-滑移關系式及相關試驗系數(shù)：

式中：sr(n-1)為第n-1 次重復加載后的殘余滑移，可按照式(9)和(10)計算；sn為第n 次重復加載后的滑移；αn為試驗系數(shù)，可按照式(11)計算。

式中：S 為重復荷載的應力水平，S=τmax/τu；sr1為第1次重復加載后的殘余滑移；srn為第n 次加載后裂縫處的殘余滑移；sp1為第1 次重復加載后的滑移；br=0.057；α1=0.5。

實際上，在黏結長度范圍內，殘余滑移在不同的位置(x)處是變化的，目前關于此方面的研究較少，而文獻[14]僅給出加載端的殘余滑移計算公式。為了得到不同位置處的殘余滑移，本文假設其在黏結長度范圍內符合線性分布，且具有對稱性，如圖4 所示，從而近似得到相應的殘余滑移(srn,x)為

式中：lcr為裂縫間距。

圖4 沿黏結長度滑移和殘余滑移分布圖Fig.4 Distribution of slip and residual slip along bond length

另外，需要指出的是：文獻[14]只給出了疲勞荷載作用下上升階段黏結應力-滑移關系，且未考慮因疲勞荷載作用而導致極限黏結強度降低的影響。為了得到疲勞荷載作用下的全階段黏結應力-滑移關系，本文首先假定殘余強度隨極限強度呈比例降低，同時與殘余強度相對應的特征滑移量并不隨荷載循環(huán)次數(shù)的增加而變化；然后以靜載作用下黏結應力-滑移關系為基礎，綜合考慮疲勞荷載作用下極限黏結強度降低和殘余滑移增大的影響，并引入極限黏結強度損傷因子，從而建立任意疲勞加載次數(shù)后的非預應力鋼筋與混凝土之間的疲勞黏結應力-滑移關系曲線，如圖5所示，具體表達式如下：

圖5 疲勞黏結應力-滑移關系曲線Fig.5 Fatigue bond stress-slip relationship

式中：sn,x為第n 次循環(huán)加載后的不同位置x 處的滑移；sr(n-1),x為第n-1 次循環(huán)加載后的不同位置x 處的殘余滑移，按照式(12)計算。

2 疲勞裂縫寬度計算模型

2.1 裂縫間距計算

已有試驗表明，PPC 梁在經歷一定疲勞荷載作用后，在純彎段內的裂縫已不再產生，裂縫間距變化較小。因此，假定PPC 梁的裂縫開展均已處于穩(wěn)定階段，且裂縫間距并不隨荷載循環(huán)次數(shù)的增加而增大，此時裂縫間距(lcr)可按照文獻[2]給出的公式計算：

式中：cs為最外層縱向受拉鋼筋外邊緣至受拉區(qū)底邊的距離；deq為受拉區(qū)縱向鋼筋的等效直徑；ρte為按有效受拉混凝土截面面積計算的縱向受拉鋼筋配筋率。有效受拉混凝土面積(Ate)為

式中：b 為矩形截面寬度、T 形或I 形截面腹板寬度，h 為梁高；bf和hf分別為受拉翼緣的寬度和高度。

2.2 鋼筋與受拉區(qū)混凝土平衡關系

在裂縫間距范圍內任取一距離為dx 的微單元(見圖6)，相應的有效受拉區(qū)應力傳遞如圖7 所示。

根據(jù)力的平衡條件可知：

圖6 梁裂縫Fig.6 Beam crack

圖7 單元應力平衡Fig.7 Stress equilibrium of element

式中：As和∑ As分別為非預應力的鋼筋面積和總面積；Ap和∑ Ap分別為預應力鋼筋的面積和總面積；dσs和dσp分別為非預應力鋼筋應力增量和預應力鋼筋應力增量；dσc為受拉區(qū)混凝土應力增量；τs和τp分別為非預應力鋼筋黏結應力和預應力鋼筋黏結應力；ds和dp分別為非預應力鋼筋直徑和預應力鋼筋直徑。由式(16)可知：

令ζ=τp/τs；由于不同類型鋼筋沿黏結長度范圍內黏結應力分布圖近似，為了簡化計算，假設在疲勞荷載作用過程中，非預應力鋼筋與預應力鋼筋在不同位置處的非預應力鋼筋和預應力鋼筋黏結應力比值不變，本文ζ 值按照CEB-FIP 90 規(guī)范中給出的相對黏結系數(shù)取用[11]，該規(guī)范建議對于后張PPC 梁，當采用鋼絞線作為預應力鋼筋時，ζ=0.4。

將式(18)代入式(17)可得

因此，有

2.3 裂縫寬度計算

梁開裂后，非預應力鋼筋與混凝土之間存在應變差異，從而產生相對滑移(ds/dx)，兩者存在如下等式：

式中：εs為非預應力鋼筋應變；εc為混凝土應變；εsh為混凝土收縮應變，可近似取收縮應變極限值0.000 6[16]。

假設在正常使用狀態(tài)下，裂縫之間混凝土和非預應力鋼筋均處于彈性階段，從而有

由邊界條件可知：開裂截面處，σs=σs,n； σc=0；在兩條相鄰裂縫之間的跨中截面處，s=0。其中：σs和σc分別表示非預應力鋼筋和混凝土應力；Ec和Es分別表示混凝土和非預應力鋼筋彈性模量；s 為鋼筋與混凝土之間的相對滑移；σs,n為疲勞荷載作用下，計算得到的開裂截面處的非預應力鋼筋應力。

根據(jù)黏結-滑移理論，裂縫開展正是鋼筋與混凝土之間的相對滑移增大所致，因此，當利用式(21)和相應邊界條件求得開裂截面處的非預應力鋼筋與混凝土之間的相對滑移(scr)時，PPC 梁的裂縫寬度(W)可通過下式計算：

2.4 單元的基本關系式

在純彎段內，選取長度為lcr/2 的梁體作為研究對象，并以相鄰裂縫之間的跨中截面位置處作為起始點，劃分k-1 個距離為Δx 的單元，如圖8 所示。

圖8 單元劃分示意圖Fig.8 Schematic diagram for dividing elements

對于任意單元而言，相鄰單元截面i 和i-1 的非預應力鋼筋應力、有效受拉區(qū)混凝土應力和非預應力鋼筋與混凝土之間的相對滑移存在如下等式：

2.5 非預應力鋼筋應力計算方法

對于PPC 梁，隨著疲勞加載次數(shù)的增加，梁的彎曲剛度不斷退化，受壓區(qū)混凝土和鋼筋殘余應變不斷增大，不同類型受拉鋼筋之間產生了鋼筋應力重分布，這都將導致梁內鋼筋應力增大。顯然，為了合理計算PPC 梁的非預應力鋼筋應力，以上因素均應考慮。

首先基于文獻[17]提出的預應力混凝土梁受彎構件疲勞損傷全過程非線性分析方法，可求得任意循環(huán)荷載作用次數(shù)下，PPC 梁開裂截面處的非預應力鋼筋應力和預應力鋼筋應力增量，該方法考慮了受壓區(qū)混凝土殘余應變、彎曲剛度退化以及受拉鋼筋面積損失對鋼筋應力的影響。由于在文獻[17]給出的方法中，其所采用的混凝土殘余應變計算公式并未考慮時間因素的影響，因此，本文中的混凝土殘余應變可按文獻[6]建議的公式計算：

式中：t 為荷載作用時間；n 為循環(huán)荷載作用次數(shù)；σcm為混凝土平均應力比；Δσc為混凝土應力幅值；σcm和Δσc可通過受壓區(qū)混凝土的最大應力(σc,max)、最小應力(σc,min)和混凝土抗壓強度(fc)求得：

由文獻[9]可知，疲勞荷載作用將導致梁內受拉鋼筋與混凝土之間的黏結性能不斷退化，同時由于非預應力和預應力鋼筋之間黏結性能不同，使得開裂PPC梁的不同類型受拉鋼筋之間存在應力重分布現(xiàn)象。為了考慮其對鋼筋應力的影響，可通過現(xiàn)有開裂截面分析方法，并引入鋼筋應力分配系數(shù)(ξ)來計算開裂截面鋼筋應力[9]，相應的鋼筋應力分配系數(shù)表達式可定義為

此時，存在如下等式：

將式(29)代入式(30)可求得考慮不同類型鋼筋黏結性能差異情況下，產生應力重分布后的非預應力鋼筋應力為

試驗研究表明[10,18]：PPC 梁在疲勞荷載作用下梁內非預應力鋼筋將產生殘余應變，并隨著疲勞荷載次數(shù)的增加，而不斷增大。文獻[10]基于6 片PPC 梁的試驗數(shù)據(jù)回歸得到了梁內非預應力鋼筋殘余應變隨循環(huán)次數(shù)變化規(guī)律，相應回歸公式表示如下：

綜上所述，在綜合考慮梁彎曲剛度退化、不同類型受拉鋼筋之間的應力重分布和殘余應變等因素影響時，疲勞荷載作用下PPC 梁開裂截面非預應力鋼筋應力(σs,n)為

2.6 疲勞荷載下部分預應力混凝土梁裂縫寬度計算流程

按照以上理論研究，通過Visual Basic 語言編制計算程序，從而得到不同疲勞加載次數(shù)下PPC 梁的裂縫寬度，相應的迭代過程和計算流程圖見圖9。

圖9 裂縫寬度計算流程圖Fig.9 Flow chart of crack width solution

3 計算模型試驗驗證

3.1 試驗

為了研究疲勞荷載作用下PPC梁裂縫寬度的變化狀態(tài)，進行了8 根PPC 梁的疲勞試驗。根據(jù)預應力比率和配筋形式的不同，將試驗梁分為2 組(H1 組和H2組)，每組梁均采用相同的配筋和預應力比率，且各組均有1 根進行靜載試驗，其余試驗梁進行等幅疲勞試驗。試件的外形尺寸、詳細配筋情況及加載設置見圖10。

梁內非預應力鋼筋采用直徑為14 mm 和16 mm的HRB400 級鋼筋，相應的屈服強度分別為442 MPa和413 MPa；預應力鋼絞線采用1860 級7 股鋼絞線，張拉控制應力為1 302 MPa；箍筋和架立筋均采用HPB234 級光圓鋼筋，箍筋間距如圖10(a)所示。各試驗梁實測混凝土抗壓強度、加載參數(shù)和試驗結果如表1 所示。

圖10 試驗梁設計和加載設置(單位：mm)Fig.10 Design of test beams and loading arrangement

表1 混凝土抗壓強度、加載參數(shù)和試驗結果Table 1 Concrete compressive strength,load parameter and test results

靜載以及疲勞試驗均在1 MN 的MTS 疲勞試驗機上進行，在疲勞試驗過程中，當循環(huán)次數(shù)達到預定次數(shù)時，停機加靜載至最大荷載，用裂縫觀測儀測量各條裂縫在非預應力鋼筋重心對應的梁側面處的裂縫間距和裂縫寬度。

3.2 模型計算值與試驗結果對比分析

利用本文編制的計算程序以及文獻[3]和[8]所給出的疲勞裂縫寬度計算方法分別得到了各試驗梁在預定循環(huán)次數(shù)下的裂縫寬度，計算結果與試驗值對比如圖11 所示。

從圖11 可以看出：按照文獻[3]的方法計算得到的最大裂縫寬度隨著循環(huán)次數(shù)的增加，與試驗結果的差異不斷增大；對于應力水平較小的試驗梁，按照文獻[8]的方法計算得到的最大裂縫寬度與試驗結果偏差較大(見圖11(a)和11(b))，而采用本文所提出的疲勞裂縫寬度模型計算的裂縫寬度與試驗結果較吻合，隨循環(huán)次數(shù)的變化規(guī)律與試驗結果相似。此外，對于配筋率較低的H1 組梁而言，相應的模型計算值較試驗數(shù)據(jù)相對保守，因此，該模型可作為PPC 梁的抗疲勞設計和驗算參考。

圖11 裂縫寬度試驗值與計算值對比Fig.11 Comparison between experimental values and calculation values of crack width

4 結論

1) 以靜載作用下鋼筋與混凝土之間的黏結應力-滑移關系為基礎，并考慮疲勞荷載作用下極限黏結強度降低，殘余滑移增大的影響，建立了非預應力鋼筋與混凝土之間的疲勞黏結應力-滑移關系。

2) 綜合考慮非預應力鋼筋與預應力鋼筋之間的鋼筋應力重分布、混凝土和非預應力鋼筋殘余應變以及受拉鋼筋面積損失，給出了一種開裂截面非預應力鋼筋應力計算方法。

3) 基于黏結滑移理論，引入疲勞黏結應力-滑移關系，建立了PPC 梁疲勞裂縫寬度計算模型，計算結果與試驗結果吻合較好，從而驗證了疲勞黏結應力-滑移關系的適用性和計算模型的有效性。

[1] JTJ D62—2004, 公路鋼筋混凝土及預應力混凝土橋涵設計規(guī)范[S].JTJ D62—2004,Code for design of highway reinforced concrete and prestressed concrete bridges and culverts[S].

[2] GB 50010—2010, 混凝土結構設計規(guī)范[S].GB 50010—2010,Code for design of concrete structures[S].

[3] 盧樹圣, 歐忠洪. 重復荷載作用下PPC 梁裂縫的研究及其計算模式的分析[J]. 長沙鐵道學院學報,1991,9(3):121-131.LU Shusheng, OU Zhonghong. Investigation on the crack of PPC beam under repeated loading and analysis of its calculating model[J]. Journal of Changsha Railway University, 1991, 9(3):121-131.

[4] Bennett E W, Dave N J. Test performances and design of concrete beams with limited prestress[J].The Structure Engineer,1969,47(12):487-499.

[5] 章堅洋, 宋玉普, 章一濤. 混合配筋部分預應力混凝土梁在疲勞荷載下的裂縫寬度計算[J]. 混凝土,2005(12):21-24.ZHANG Jianyang, SONG Yupu, ZHANG Yitao. Calculation of the crack width for PPC beam with non-prestressed steel and prestressed tendons[J].Concrete,2005(12):21-24.

[6] Balaguru P N. Analysisi of prestressed concrete beams for fatigue loadin[J].PCI Journal,1981,16(5):22-52.

[7] Harajli M H, Naaman A E. Cracking in partially prestressed beams under static and cyclic fatigue loading[J]. ACI Special Publication,1989,113:29-54.

[8] Shahawi M E I, de Batchelor V. Fatigue of partially prestressed concrete[J]. Journal of Structural Engineering, 1985, 112(3):524-537.

[9] 馮秀峰, 宋玉普, 章堅洋, 等. 疲勞荷載下預應力混凝土梁中鋼筋應力重分布的試驗研究[J]. 建筑結構學報, 2006,27(2):94-99.FENG Xiufeng, SONG Yupu, ZHANG Jianyang, et al.Experimental study on stress redistribution of reinforcing steel in prestressed concrete beams under fatigue loading[J]. Journal of Building Structures,2006,27(2):94-99.

[10] 錢永久. 疲勞荷載作用下部分預應力混凝土梁的裂縫控制[J].西南交通大學學報,1987(4):104-109.QIAN Yongjiu. Crack control for partially prestressed concrete beams under fatigue loading[J]. Journal of Southwest Jiaotong University,1987(4):104-109.

[11] CEB-FIP,CEB-FIP Model Code 1990[S].

[12] Balazs G L. Fatigue of bond[J]. ACI material journal, 1991,88(6):620-629.

[13] Zanuy C,Albajar L,de la Fuente P.On the cracking behaviour of the reinforced concrete tension chord under repeated loading[J].Materials and Structures,2010,43(5):611-632.

[14] 蔣德穩(wěn), 邱洪興. 重復荷載下鋼筋與混凝土黏結本構關系[J].工程力學,2012,29(5):93-100.JIANG Dewen, QIU Hongxing. Bond-slip basic constitutive relation model between rebar and concrete under repeated loading[J].Engineering Mechanics,2012,29(5):93-100.

[15] Oh B H, Kim S H. Realistic models for local bond stress-slip of reinforced concrete under repeated loading[J]. Journal of Structural Engineering,2007,133(2):216-224.

[16] 陳頤, 呂東莉. 關于新《橋規(guī)》中混凝土收縮應變的討論[J].公路,2006,10(10):49-51.CHEN Yi, LU Dongli. Discussion about concrete shrinkage strain introduced in new china code for RC and PC bridges and culverts[J].Highway,2006,10(10):49-51.

[17] FENG Xiufeng, SONG Yupu, ZHU Meichun. Fatigue damage modeling for partially prestressed concrete beams under repeated loading with variable amplitude[J]. Journal of Southwest Jiaotong University,2006,14(3):258-264.

[18] 鐘明全, 車惠民, 邵小康. 部分預應力混凝土梁的非預應力鋼筋應力狀態(tài)研究[J]. 重慶交通學院學報,1993,12(1):1-6.ZHONG Mingquan, CHEN Huimin, SHAO Xiaokang.Investigation on the stress state in non-prstressed steel in prestressed concrete beams[J]. Journal of Chongqing Jiaotong Institute,1993,12(1):1-6.