王鵬，黃顯峰，崔延松

(1.河海大學(xué) 水利水電學(xué)院，江蘇 南京 210098;2.南通大 學(xué)交通學(xué)院，江蘇 南通 226019)

0 引言

水是生命之源，也是工業(yè)生產(chǎn)活動(dòng)中不可缺的重要資源，故工業(yè)需水量預(yù)測(cè)是直接影響到一個(gè)城市工業(yè)持續(xù)穩(wěn)定發(fā)展的重要工作內(nèi)容［1］?，F(xiàn)有很多常用的需水量預(yù)測(cè)方法，如ARMA 方法、回歸分析法、指標(biāo)分析法、灰色預(yù)測(cè)法、人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法、系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方法等［2］。但很多方法和模型需要大量的歷史數(shù)據(jù)資料，且對(duì)數(shù)據(jù)的要求很高，考慮的影響因子很多，各因子之間關(guān)聯(lián)復(fù)雜，限制了很多方法的使用，但其中不乏簡(jiǎn)單易行的方法，例如灰色模型。

灰色模型具有建模原理簡(jiǎn)單，計(jì)算方便，所需樣本少，預(yù)測(cè)精度高，不考慮影響因素和因子等特點(diǎn)［3－5］，已成功應(yīng)用到多個(gè)行業(yè)和社會(huì)領(lǐng)域的需求預(yù)測(cè)中。然而實(shí)踐過程中得到的預(yù)測(cè)結(jié)果卻不盡如人意，其原因是現(xiàn)實(shí)中的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)經(jīng)常呈現(xiàn)出毫無規(guī)律，很難滿足指數(shù)規(guī)律，這樣的數(shù)據(jù)帶入傳統(tǒng)灰色模型無法滿足預(yù)測(cè)精度，也無法保證預(yù)測(cè)值的可信度;再者灰色模型不適合對(duì)客觀事物做長(zhǎng)期預(yù)測(cè)，會(huì)出現(xiàn)系統(tǒng)誤差。故人們?cè)絹碓娇是髮?duì)灰色模型進(jìn)行修正和改進(jìn)，來更精確地對(duì)客觀事物進(jìn)行長(zhǎng)期預(yù)測(cè)?；疑珰埐钅Ｐ驼窃谶@樣的背景下出現(xiàn)的一種改進(jìn)的灰色模型，通過對(duì)殘差序列進(jìn)行修正，使預(yù)測(cè)值滿足預(yù)測(cè)精度，為進(jìn)行客觀事物的預(yù)測(cè)工作帶來了極大的便利。

1 預(yù)測(cè)模型構(gòu)建原理

1.1 灰色模型原理

GM(1，1)是基于單變量一階常微分方程建立的，被稱為一階一元灰色方程，是最普遍使用的一種灰色模型。

假設(shè)初始數(shù)據(jù)序列x(0)={x(0)(1)，x(0)(2)，…，x(0)(N)}，令x(1)(i)=，此式所表示的數(shù)據(jù)序列為初始數(shù)據(jù)序列的一次累加而得到，可稱為一次累加生成。顯然有x(1)(1)=x(0)(1) 。初始數(shù)據(jù)序列按一次累加生成得出:

設(shè)x(1)符合一階常微分方程:

式中，a 和u 是常數(shù)，a 是發(fā)展灰數(shù);u 是內(nèi)生控制灰數(shù)，是對(duì)系統(tǒng)的常定輸入。

此方程符合初始條件:t=t0時(shí)x(1)=x(1)( t0)的解為:

對(duì)等間隔取樣的離散值(t0=1)則為:

構(gòu)建灰色模型的方法是將一次累加序列帶入最小二乘法來求得常數(shù)a、u。

因x(1)(1) 為初值，故將x(1)(2)，x(1)(3)，…，x(1)(N)，分別代入式(1)，用差分代替微分，又等間隔取樣，△t=(t+1)－t=1，故得:

移項(xiàng)后轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積形式:

令y=(x(0)(2)，x(0)(3)，...，x(0)(N))T.T 表 示轉(zhuǎn)置。

則式(6)可表示為矩陣形式:

式(7)的最小二乘估計(jì)為:

此方程為時(shí)間響應(yīng)方程。

最后得到預(yù)測(cè)模型:

1.2 灰色殘差模型原理

由灰色GM(1，1)模型計(jì)算出的模擬值與初始數(shù)據(jù)有較大差異時(shí)，即誤差(或殘差)較大時(shí)，可將殘差序列建模，獲得滿意的殘差序列，之后將修正后的殘差模型來帶入到所求得的灰色GM(1，1)模型，這種融合了殘差模型及灰色GM(1，1)模型的新模型稱為灰色殘差模型。

將初始數(shù)據(jù)序列x(0)中代入時(shí)間響應(yīng)方程，求得序列(j)，j=i，i+1，……，n?？汕蟮脷埐?序列e(0)={e(0)(i)，e(0)(i +1)，…，e(0)(n)}，經(jīng)一次累加生成可求得序列e(1)={e(1)(i)，e(1)(i +1)，…，e(1)(n)}，按照灰色預(yù)測(cè)建模步驟，可求得殘差序列的響應(yīng)方程進(jìn)行求導(dǎo)可得，得殘差修正后的模型為:

最終可求得經(jīng)殘差修正后的預(yù)測(cè)模型:

注:殘差序列e(0)中數(shù)據(jù)必須為非負(fù)數(shù)，如果有負(fù)數(shù)存在，可進(jìn)行非負(fù)處理［8］，如本文選取，將其加到殘差序列e(0)的各項(xiàng)中。

2 精度檢驗(yàn)

精度檢驗(yàn)包括殘差檢驗(yàn)與后驗(yàn)差檢驗(yàn)，檢驗(yàn)精度標(biāo)準(zhǔn)一般以后驗(yàn)差檢驗(yàn)指標(biāo)中的后驗(yàn)差比值C、小誤差概率P作為評(píng)定指標(biāo)。

2.1 殘差檢驗(yàn)

殘差:E (k)=x(0)(k)－x^(0)(k)，k=2，3，…，N

相對(duì)殘差:

2.2 后驗(yàn)差檢驗(yàn)

2.3 檢驗(yàn)精度標(biāo)準(zhǔn)

后驗(yàn)差比值C 越接近0，小誤差概率P 越接近1，預(yù)測(cè)精度越高，檢驗(yàn)精度標(biāo)準(zhǔn)見表1。

表1 檢驗(yàn)精度標(biāo)準(zhǔn)

3 南通市工業(yè)需水量預(yù)測(cè)

對(duì)南通市1998—2012 年農(nóng)業(yè)用水量進(jìn)行分析核實(shí)的如表2 資料(以下單位均為億m3)。

表2 南通市工業(yè)需水量1998～2012 年統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)

3.1 建立灰色預(yù)測(cè)模型

以1998～2012 年工業(yè)用水量數(shù)據(jù)作為原始序列x(0)，經(jīng)一次累加生成x(1)，由式(6)可求得B 和y，用最小二乘估計(jì)求出，可得時(shí)間相應(yīng)方程:

由后減還原可得預(yù)測(cè)值模型為:

依據(jù)式(12)計(jì)算得到1999 年～2012 年的用水量模擬值見表3。

表3 GM(1，1)模型預(yù)測(cè)及精度分析

將表2 中數(shù)據(jù)帶入精度檢驗(yàn)公式，得P=0.57，C=0.968，檢驗(yàn)精度等級(jí)為“不合格”，未達(dá)到預(yù)測(cè)精度要求，故不能進(jìn)行南通市未來年份工業(yè)用水量預(yù)測(cè)。

3.2 建立灰色殘差預(yù)測(cè)模型

建立灰色殘差模型，首先選擇殘差序列e(0)中的尾端的7個(gè)數(shù)據(jù)作為原始數(shù)據(jù)，即{0.423，0.285，0.177，－0.012，－0.206，－0.380，－0.487}，由于殘差序列中存在負(fù)數(shù)，故應(yīng)做非負(fù)處理，處理之后的序列經(jīng)一次累加生成x(1)，由式(6)可求得B 和y，用最小二乘估計(jì)求出，可得殘差序列的時(shí)間相應(yīng)方程:

由后減還原得修正后的殘差值:

將式(12)和式(14)帶入到式(10)中，最終得到灰色殘差修正模型下的預(yù)測(cè)值:

由殘差模型模擬出的2006—2012 年這7 年數(shù)據(jù)通過精度檢驗(yàn)，可得P=1，C=0.152。檢驗(yàn)精度等級(jí)為“好”，所以灰色殘差模型可作為南通市工業(yè)需水量預(yù)測(cè)模型。通過式(15)計(jì)算得南通市未來5 年內(nèi)工業(yè)需水量見表4。

表4 灰色殘差模型預(yù)測(cè)2014—2020 年南通市工業(yè)需水量

4 結(jié)果分析

灰色殘差模型采用的數(shù)據(jù)是2006—2012 年南通市工業(yè)需水量，由于2006 年數(shù)據(jù)留作初值，故選取其余6 年的模型下的模擬值及其檢驗(yàn)精度與灰色模型做分析比較，分析結(jié)果見表5，表6。

表5 兩種模型下預(yù)測(cè)值與誤差分析比較

表6 預(yù)測(cè)精度對(duì)比

從上述比較中可看出，灰色殘差模型的各項(xiàng)預(yù)測(cè)精度指標(biāo)均優(yōu)于灰色模型，其預(yù)測(cè)精度等級(jí)為“好”，而灰色模型預(yù)測(cè)精度等級(jí)為“差”。

5 結(jié)論

1)工業(yè)需水量受工業(yè)產(chǎn)值、產(chǎn)品結(jié)構(gòu)、工業(yè)用水重復(fù)利用率、工業(yè)用水價(jià)格、工業(yè)技術(shù)進(jìn)步指數(shù)、政策性節(jié)水率、中水回用情況以及時(shí)間等因素的制約［9－10］，變化較為復(fù)雜。因此，要想將所有影響因素一一羅列出來，并給出這些因素與需水量之間準(zhǔn)確的函數(shù)關(guān)系十分困難［11］。而灰色模型預(yù)測(cè)出的需水量是呈指數(shù)變化的，總趨勢(shì)單調(diào)上升或下降，故此灰色模型中出現(xiàn)較大的殘差。

2)即使在原始數(shù)據(jù)變化較大的情況下，灰色殘差模型還是顯著地減小了灰色模型下的模擬值和實(shí)際值之間的殘差，使灰色模型達(dá)到滿意的預(yù)測(cè)標(biāo)準(zhǔn)，所以灰色殘差模型的適用范圍要更廣。但有時(shí)灰色殘差總不一定將能誤差減小到理想的范圍內(nèi)，滿足預(yù)測(cè)精度標(biāo)準(zhǔn)，故現(xiàn)在出現(xiàn)了很多組合模型［12］結(jié)合了灰色等維遞補(bǔ)理論［13］或灰元［14］理論等，以其各自的特點(diǎn)來相互彌補(bǔ)各自的不足，同時(shí)配合殘差模型減小殘差，以求滿足預(yù)測(cè)精度?？梢哉f灰色殘差模型的出現(xiàn)為灰色模型的應(yīng)用提供了更廣闊的空間?？傊?，灰色殘差需水量預(yù)測(cè)模型為今后城市水資源綜合規(guī)劃和供水計(jì)劃的制定提供了極大的幫助。

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