馬俊海

浙江大學(xué) 城市學(xué)院，浙江 杭州 310015

一、引 言

隨著老齡化現(xiàn)象日趨嚴(yán)重，住房抵押貸款作為“以房養(yǎng)老”的創(chuàng)新型金融產(chǎn)品逐漸得到更多關(guān)注;近些年來，有贖回權(quán)反向抵押貸款由于其可提前贖回特點，開始得以迅速發(fā)展與廣泛應(yīng)用。因此，對其進(jìn)行科學(xué)合理定價具有重要現(xiàn)實意義。目前，反向抵押貸款的定價方法主要有絕對定價法和相對定價法兩種類型;絕對定價法是指根據(jù)反向抵押貸款現(xiàn)金流的特征，運用現(xiàn)金流凈現(xiàn)值法則加以分析，主要適合于無贖回權(quán)反向抵押貸款定價。而相對定價方法主要利用標(biāo)的價格與衍生產(chǎn)品價格之間的關(guān)系，運用期權(quán)定價理論加以分析;由于有贖回權(quán)反向抵押貸款具有很強的期權(quán)特征，因此從隱含期權(quán)角度，基于期權(quán)定價理論對其進(jìn)行科學(xué)定價也具有重要學(xué)術(shù)價值。國外關(guān)于反向抵押貸款定價問題研究開始于20世紀(jì)90年代。Y．K．Tse(1998)［1］以新加坡無贖回權(quán)反向抵押貸款為研究對象，分別研究了固定利率以及浮動利率下的定價模型。Caplin，Andrew(2002)［2］解釋了抵押貸款產(chǎn)品定價決定因素，并給出了無贖回權(quán)反向抵押貸款定價的理論模型。Sinai，Todd and Nicholas Souleles(2005)［3］提出了一個新的反向抵押貸款定價的公式，指出有贖回權(quán)反向抵押貸款會更吸引投資者。Brigo，D．a(chǎn)nd Mercurio，F(xiàn)(2006)［4］運用LSM方法分別對單標(biāo)的和雙標(biāo)的美式期權(quán)進(jìn)行定價研究，并指出擬蒙特卡羅模擬方法在定價雙標(biāo)的美式期權(quán)上的不足之處。

國內(nèi)關(guān)于反向抵押貸款研究集中于反向抵押貸款的保險精算定價方法上。石卉和劉曉玲(2008)［5］研究了有贖回權(quán)的住房反向抵押貸款的歐式期權(quán)定價方法，并進(jìn)行了實證分析;李瑾卓(2009)［6］對有贖回權(quán)反向抵押貸款的定價模型進(jìn)行研究，并將結(jié)果與無贖回權(quán)反向抵押貸款定價模型下的結(jié)果進(jìn)行比較。

綜上，近幾年對有贖回權(quán)反向抵押貸款定價問題主要基于歐式期權(quán)定價視角加以分析。本文主要基于美式期權(quán)定價視角，研究反向抵押貸款的期權(quán)定價模型，并運用蒙特卡羅模擬方法加以數(shù)值模擬計算。

二、有贖回權(quán)反向貸款期權(quán)定價的理論分析框架

與無贖回權(quán)反向貸款相比，有贖回權(quán)反向抵押貸款蘊含著很強期權(quán)特征，因此其價值主要是取決于兩個關(guān)鍵因素，即:無贖回權(quán)反向抵押貸款的價值與隱含期權(quán)價值，其價值等于二者之和。關(guān)于無贖回權(quán)的反向抵押貸款定價問題，常用模型是由路靜等(2009)［7］分析的保險精算模型，該模型無疑是無贖回權(quán)反向抵押貸款定價的經(jīng)典模型;但是，由于其假設(shè)限定非常多，使得定價精度大大減弱。本文將在保險精算模型的基礎(chǔ)上進(jìn)行修正，以使其更符合實際。對于隱含期權(quán)價值的研究，目前大多采用歐式期權(quán)的定價方法;而實際上，這種理解是不符合實際的，在反向抵押貸款實際業(yè)務(wù)中，允許借款人在市場環(huán)境發(fā)生變化時選擇提前償還貸款并且將住房資產(chǎn)的抵押權(quán)贖回。因此，美式期權(quán)定價方法更適合用來解決有贖回權(quán)反向抵押貸款的定價。為此，本文選用雙標(biāo)的最小二乘蒙特卡羅模擬(LSM)方法加以分析。

(一)無贖回權(quán)反向抵押貸款的改進(jìn)定價模型

根據(jù)阮龍江(2012)［8］的研究，無贖回權(quán)住房反向抵押貸款的價格主要取決于三個因素:還款利率、住房價值的波動以及借款人的壽命。本文主要針對路靜等(2009)分析的保險精算模型，選擇前兩個因素進(jìn)行修正，并將修正后的因素模型應(yīng)用到住房反向抵押貸款定價模型中，即可得到修正的無贖回權(quán)反向抵押貸款定價模型?；谝陨戏治?，本文對無贖回權(quán)反向抵押貸款一次性支付方式下的定價模型進(jìn)行改進(jìn)，并對模型做如下假設(shè):1)借款人只有一個，并且用來申請反向抵押貸款的房屋沒用于其他的抵押貸款;2)借款人的死亡時間均為每年年初;3)抵押房屋在借款人死亡后立即進(jìn)行處置，二者之間不存在時間差;4)住房反向抵押貸款所涉及的各種手續(xù)費設(shè)定為房價的一個固定比例。

一次性支付方式下修正無贖回權(quán)的住房反向抵押貸款定價模型可表示為:

其中相關(guān)變量參數(shù)意義表述如下:

Ht—住房反向抵押貸款合同在第t年時房屋的價值;

rt—住房反向抵押貸款第t年包含貸款機構(gòu)正常利潤的年利率;

T—借款人的平均剩余壽命。

終生年金支付方式下修正無贖回權(quán)反向抵押貸款的定價模型如下:

從上述修正后定價模型可以看出，申請人可領(lǐng)取的貸款數(shù)額主要取決于還款利率、住房資產(chǎn)每期的價值和申請人的死亡率。

(二)有贖回權(quán)反向抵押貸款的隱含期權(quán)價值特征

反向抵押貸款最主要特征就是隱含期權(quán)特征，即反向抵押貸款可以提前償還。因此，可以看作是一個具有隱含期權(quán)產(chǎn)品。在有贖回權(quán)住房反向抵押貸款業(yè)務(wù)中，借款人擁有一種潛在選擇權(quán)，即在住房資產(chǎn)價值上升時，按照執(zhí)行價格購買住房資產(chǎn)產(chǎn)權(quán)的權(quán)利;這種潛在選擇權(quán)即為隱含看漲期權(quán)。此時，標(biāo)的資產(chǎn)為住房資產(chǎn)，執(zhí)行價格為貸款的本息額，執(zhí)行時點為合同有效期內(nèi)的任意時點。

1．一次性支付方式下的期權(quán)價值特征。在一次性支付方式下，借款人可以一次性得到一筆貸款，貸款終值可以看作是看漲期權(quán)的執(zhí)行價格;就貸款機構(gòu)而言，這個執(zhí)行價格由借款人抵押的住房資產(chǎn)現(xiàn)值扣除期初各種相關(guān)費用得出。因此，在隨后的合同期間內(nèi)，一旦借款人發(fā)現(xiàn)自有住房資產(chǎn)的價值上升，借款人就會執(zhí)行該看漲期權(quán)。假設(shè)一次性支付方式下，借款人在貸款期初可以一次性得到一筆貸款數(shù)額為λH0的貸款;如果在t時刻，房屋價值上升或者還款利率降低，則貸款人會選擇提前償還貸款。具體來說，當(dāng)條件有利時，借款人在t時刻就會選擇提前償還已發(fā)生的貸款本息和，即然后，以t時刻房價Ht重新購進(jìn)一份住房反向抵押貸款合同，一次性得到的貸款數(shù)額變?yōu)棣薍t。

2．終生年金支付方式下的期權(quán)價值特征。在年金支付方式下，借款人每年得到固定數(shù)額貸款，固定數(shù)額貸款現(xiàn)值為住房資產(chǎn)的現(xiàn)值減去期初的各種相關(guān)費用。對于借款人來說，實際上是將自有產(chǎn)權(quán)的住房，在不確定的金融市場中，分期分批出售給貸款機構(gòu)，而貸款機構(gòu)則通過分期分批給付貸款的形式，將抵押房產(chǎn)的產(chǎn)權(quán)逐漸收購進(jìn)來。由于金融市場的不確定性，住房資產(chǎn)的價值會發(fā)生上下波動，當(dāng)某期住房資產(chǎn)的價值上升并且超過該期給付的貸款數(shù)額時，借款人就會執(zhí)行該看漲期權(quán)，用當(dāng)期的貸款數(shù)額贖回當(dāng)期住房資產(chǎn)所占比例的產(chǎn)權(quán)。因此，在這種支付方式下，如果借款人在終止住房反向抵押貸款業(yè)務(wù)后，又以新的價格重新購進(jìn)一份住房反向抵押貸款合同，那么有贖回權(quán)住房反向抵押貸款合同就可以看作是一系列看漲期權(quán)的組合。

終生年金支付方式下，借款人是否提前償還貸款主要取決于每年支付的年金數(shù)額是否增加。因此，本文對住房反向抵押貸款提前償付模型作如下假設(shè):1)假設(shè)住房反向抵押貸款合同的期限是T年(T取決于借款人的壽命)，在每一年初支付年金，數(shù)量設(shè)為D;2)假設(shè)反向抵押貸款還款利率為1年期國債收益率+差額利率;其中，每年差額利率保持不變，設(shè)定為m;進(jìn)一步假設(shè)，第t年即期利率為rt;3)由住房反向抵押貸款的特點可知，當(dāng)借款人決定提前償還時，必須用其抵押住房進(jìn)行償還。此處，假設(shè)抵押住房在貸款期初的價值為H0，在貸款期末的價值為Ht;4)為了簡化模型，假設(shè)借款人在簽訂貸款合同前已經(jīng)支付了各項費用。

根據(jù)以上假設(shè)，判斷借款人在第t年會不會提前償還貸款，基本依據(jù)是:首先，計算出抵押住房期末價值扣除已經(jīng)獲得貸款本息和以后所剩資金數(shù)量，再根據(jù)第t年即期利率計算得出未來可獲得年金數(shù)額;如果該數(shù)額大于當(dāng)前借款人每年可獲得的年金數(shù)額，借款人就會選擇提前結(jié)束貸款;否則，就會持有住房抵押貸款合同直至到期。也就是說，如果滿足條件，借款人應(yīng)該提前償還貸款。此時，借款人可在市場上按新的條件購進(jìn)一份新的住房反向抵押貸款合同，那么借款人在每一期可獲得的收益(或借款人可節(jié)約的成本)即為:(Ht－Lt)

三、標(biāo)的變量隨機動態(tài)模型的選擇確定與參數(shù)估計

由上分析，住房反向抵押貸款定價過程中關(guān)鍵因素是利率及房價波動;無論是無贖回權(quán)還是有贖回權(quán)住房反向抵押貸款，利率與房價決定了借款人可以得到的貸款數(shù)額以及借款人是否會提前償還貸款，并進(jìn)而影響到貸款機構(gòu)的收益以及開辦住房反向抵押貸款業(yè)務(wù)的積極性，因而有必要對利率以及住房資產(chǎn)的價值進(jìn)行預(yù)測，以對住房反向抵押貸款正確定價。

(一)利率動態(tài)過程的選擇確定

通過對住房反向抵押貸款價值構(gòu)成的分析，首先要對住房反向抵押貸款的還款利率進(jìn)行模擬。由于本文研究的產(chǎn)品均假設(shè)期權(quán)執(zhí)行發(fā)生在每年年初，因此決定選用一年期國債利率作為還款利率。關(guān)于利率動態(tài)模型確定，常用的是單因子模型，典型單因子模型主要有Merton模型、Vasicek模型以及CIR模型;Chan(1992)提出了更一般的CKLS模型，具體形式為:

其中，通過ρ的改變可以得到以上所涉及的三種模型，當(dāng)然也可以得到很多其他模型。為此，本文擬采用CKLS模型作為利率動態(tài)過程的連續(xù)擴散部分。進(jìn)一步分析，由于央行貨幣政策突然變化、宏觀經(jīng)濟波動以及其他突發(fā)事件影響，利率市場通常呈現(xiàn)出一種跳躍行為，而上述單因子利率模型并沒有考慮到利率市場上某些時刻的利率異常變動情況;因此，本文擬在上述單因子模型基礎(chǔ)上引入跳躍成分，以便更好模擬利率動態(tài)變化。目前，利率模型中的跳躍類型主要有泊松分布、均勻分布、正態(tài)分布等;泊松分布沒有考慮到跳躍的幅度;均勻分布雖然考慮了利率跳躍幅度，但是假設(shè)利率每次跳躍的幅度都一樣。因此，本文主要選取正態(tài)分布來描述跳躍幅度變動。

基于以上分析，本文將CKLS單因子模型和正態(tài)分布跳躍因子有機結(jié)合，建立CKLS—JUMP利率動態(tài)模型。該模型不僅可以很好地描述利率模型的連續(xù)擴散部分，同時還能體現(xiàn)由于政策因素等造成的市場利率的較大偏離，模型具體形式如下:

其中，α、β和σ均為常數(shù)，Wt表示標(biāo)準(zhǔn)布朗運動，N(t)表示強度為λ的泊松過程;Vi表示一系列非負(fù)并且同分布的隨機變量且Yi=log(Vi)服從正態(tài)分布。

(二)房價動態(tài)過程的確定

對房屋未來價值評估的方法主要有兩種:一是建立隨機動態(tài)模型，這是目前房產(chǎn)價值研究主要采用的模型;在隨機動態(tài)模型中，住房價值變動被視為“幾何布朗運動”。二是通過分析影響房地產(chǎn)價格的因素，建立多元統(tǒng)計模型進(jìn)行回歸預(yù)測;但是，房地產(chǎn)價格的多元線性回歸模型由于影響因素較多，很難對這些因素的未來走勢做出正確估測，因此會大大影響房產(chǎn)價格預(yù)測的準(zhǔn)確性。本文決定采用隨機動態(tài)模型作為評估住房資產(chǎn)價值的主要模型。進(jìn)一步分析，一般隨機動態(tài)模型并不能很好地描述房地產(chǎn)價格的變化，因為房地產(chǎn)市場有其自身的特點，比如房地產(chǎn)泡沫等，同時國家關(guān)于房地產(chǎn)的政策也會對房產(chǎn)價格產(chǎn)生較大影響。政策因素的變動并不是經(jīng)常性的，而是偶然性的，突然性的，這樣的變動往往引起房產(chǎn)價值的突然變動，可以將這種現(xiàn)象理解為“跳躍”。因此本文決定在隨機擴散模型基礎(chǔ)上加入跳躍因素作為預(yù)測房產(chǎn)期末價值模型，具體的房產(chǎn)價值預(yù)測模型如下:

(三)標(biāo)的變量隨機動態(tài)模型的參數(shù)估計

常見的利率期限結(jié)構(gòu)參數(shù)估計方法大致有五類:廣義矩估計(GMM)方法、極大似然估計(MLE)方法、卡爾曼濾波(Kalman Filter)、馬爾科夫鏈蒙特卡羅估計(MCMC)方法以及非參數(shù)估計方法。由于資產(chǎn)動態(tài)模型所涉及的參數(shù)數(shù)量比較多，前面幾類方法都不能得到有效運用，因此本文采用目前比較成熟的參數(shù)估計方法—MCMC方法。MCMC方法的主要優(yōu)點是不需要添加平穩(wěn)性假設(shè)，同時有限樣本推斷成為可能，通過潛在變量的蒙特卡羅積分得到參數(shù)的聯(lián)合后驗分布。近年來，MCMC方法逐漸應(yīng)用到金融資產(chǎn)定價模型的參數(shù)估計上來，由于該方法將馬爾科夫過程引入到蒙特卡羅模擬中，使得得出的后驗分布更加穩(wěn)定，因此保證了模型的穩(wěn)定性，最終得出的模型參數(shù)也更精確。

1．利率動態(tài)過程的MCMC參數(shù)估計。對本文選擇的CKLS利率模型進(jìn)行歐拉離散化，得到:

當(dāng)Δt=1時，離散式變?yōu)?

其中，εt和Pt分別代表標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布變量和伯努利分布變量。由平穩(wěn)性定義可知:

由于跳躍幅度Yt服從正態(tài)分布，利率變化就可以用正態(tài)密度近似。由式(5)可得:

參數(shù) θ=(α，β，λ，ρ，σ，μn，σn)基于數(shù)據(jù)觀測值集合的對數(shù)似然函數(shù)為:

根據(jù)貝葉斯原理，參數(shù)向量θ基于數(shù)據(jù)r集合的條件分布可以通過后驗密度p(θ│r)得到，即:

其中，p(θ│r)是似然函數(shù)，π(θ)是參數(shù)θ的先驗分布。得到先驗分布后，根據(jù)歷史數(shù)據(jù)，就可以估計出參數(shù)變量的后驗分布。針對前述CKLS－JUMP模型，具體的吉布斯抽樣步驟如下所示:

(1)對l和θ進(jìn)行初始化;

(2)隨機抽樣:

從 lt│l/t，r，θt=1，2，3，．．．，n中抽取lt，從α│r，l，β，ρ，μ ，σ ，σn，λ中抽取α;

從β│r，l，α，ρ，μ，σ，σn，λ中抽取β，從ρ│r，l，α，β，μ，σ，σn，λ中抽取ρ;

從μ│r，l，α，β，ρ，σ，σn，λ中抽取μ，從σ│r，l，α，β，ρ，μ，σn，λ中抽取σ;

從σn│r，l，α，β，ρ，μ，σ ，λ中抽取σn，從λ│r，l，α，β，ρ，μ，σ ，σn，中抽取λ;

(3)重復(fù)以上步驟。

將步驟2)產(chǎn)生的抽樣結(jié)果作為下一輪抽樣初始值，重復(fù)步驟2);再將新一輪抽樣結(jié)果作為下一次抽樣的初始值。不斷進(jìn)行上述步驟，當(dāng)經(jīng)過足夠的燃燒期后，吉布斯序列就能收斂到一個與初始值無關(guān)的平穩(wěn)分布，即后驗分布。同時由于燃燒期內(nèi)產(chǎn)生的參數(shù)值是不平穩(wěn)的，舍棄燃燒期內(nèi)的樣本后即可得到平穩(wěn)的分布，進(jìn)而完成參數(shù)估計過程。

2．房價動態(tài)過程的參數(shù)估計。對前面建立的利率模型進(jìn)行歐拉離散，當(dāng)Δt=1時，離散式變?yōu)?

其中，εt和Pt分別代表標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布變量和伯努利分布變量，由平穩(wěn)點定義有:

由于跳躍幅度Yt服從正態(tài)分布，利率變化就可以用正態(tài)密度近似。由式6)可得:

參數(shù)θ=(β，λ，σ，μn，σn)基于數(shù)據(jù)觀測值集合的對數(shù)似然函數(shù)為:

根據(jù)貝葉斯原理，參數(shù)向量θ基于數(shù)據(jù)r集合的條件分布可以通過后驗密度p(θ│r)得到，即:

其中p(r│θ)是似然函數(shù)，π(θ)是參數(shù)θ的先驗分布。得到先驗分布后，根據(jù)歷史數(shù)據(jù)，就可以估計出參數(shù)變量的后驗分布。針對前述CKLS－JUMP模型，具體的吉布斯抽樣步驟如下所示:

(1)對參數(shù)l和θ進(jìn)行初始化;

(2)隨機抽樣。

從 lt|lλ，H ，θt=1，2，3，…，n中抽取 lt，從 β|H ，l，μ ，σ ，σnλ 中抽取 β;從μ |H，l，β，σ，σn，λ 中抽取 μ ，從 σ |H，l，β，μ，σn，λ 中抽取 σ ;

從 σn|H，l，β，μ，σ，λ 中抽取 σn，從 λ |H，l，β，σ，σn，μ 中抽取 λ ;

(3)循環(huán)重復(fù)與利率動態(tài)步驟3類同。

四、反向貸款隱含期權(quán)定價的雙標(biāo)的LMS方法

(一)雙標(biāo)的LSM方法的基本原理

由于贖回權(quán)反向抵押貸款具有多標(biāo)的美式期權(quán)特征，因此蒙特卡羅模擬將成為解決其定價問題的重要手段。本文針對利率及房價兩個標(biāo)的變量，擬用雙標(biāo)的變量最小二乘蒙特卡羅方法進(jìn)行銀行資產(chǎn)負(fù)債隱含期權(quán)定價研究。根據(jù)期權(quán)理論，假設(shè)借款人簽訂的住房反向抵押貸款合同的期限為T，即隱含期權(quán)的到期日為T，借款人選擇提前償還貸款的時間為t，即執(zhí)行時間為t。由于該隱含期權(quán)在T時刻收益不僅僅受時刻T的利率和房價影響，還可能受到從貸款存續(xù)期間利率及房價運動路徑影響，因此該隱含期權(quán)在執(zhí)行時間t價值為:

其中，EQ為風(fēng)險中性概率測度下的期望算子，r為合適的貼現(xiàn)利率，f(Rt，Ht)為從貸款開始日至到期日之間隱含期權(quán)標(biāo)的變量變化路徑，由利率和房價共同決定。雙標(biāo)的LSM方法就是通過隨機抽樣模擬計算式(7)，得到期權(quán)價值的一種數(shù)值分析方法?；緦崿F(xiàn)步驟為:1)生成單一標(biāo)的資產(chǎn)價格的樣本路徑;2)從期權(quán)到期日開始逆向求解，得到每條樣本路徑上的最優(yōu)期權(quán)執(zhí)行時間和相應(yīng)的期權(quán)收益;3)將每條樣本路徑上的期權(quán)收益用無風(fēng)險利率貼現(xiàn)，然后取其均值即可得到標(biāo)的期權(quán)模擬價值。

(二)隱含期權(quán)定價的雙標(biāo)的LSM方法的基本過程

1．樣本路徑生成。通過隨機抽樣生成利率的樣本路徑R0，．．．Rt，;;;RT及房價的樣本路徑H0，．．．Ht，;;;HT。為了應(yīng)用最小二乘蒙特卡羅方法，需要將式(3)及式(4)離散化:

如果Δt足夠小，可以忽略多次跳躍，利率模型和房價模型可以近似為:

當(dāng)Δt=1時，離散式變?yōu)?/p>

由式(8)及式(9)，就可以得出最小蒙特卡羅模擬的一條樣本資產(chǎn)運動軌跡迭代式:hj(X0，．．．Xt，．．．XT)，j=1，2，;;;M 。其中，M 為模擬的樣本路徑數(shù)量。M 次模擬后得到樣本路徑矩陣PM×(N+1)。

2．計算每條樣本路徑的最優(yōu)執(zhí)行時間和隱含期權(quán)收益。在任意時刻i，反向抵押貸款隱含期權(quán)作為看漲期權(quán)，在樣本路徑上的內(nèi)在價值為:

由于反向抵押貸款隱含期權(quán)可以提前償還，因此最優(yōu)執(zhí)行時間的選擇，主要通過對立即執(zhí)行期權(quán)的即時收益與繼續(xù)持有期權(quán)的期望收益之間大小比較來進(jìn)行，即:

EQ為在當(dāng)前樣本值條件下繼續(xù)持有期權(quán)的期望收益，依賴于下一步執(zhí)行期權(quán)決策，因此主要通過逆向求解方法得出。LSM方法主要通過近似模擬期望收益來實現(xiàn)對式(11)的模擬。本文中LSM方法通過回歸得到當(dāng)前樣本值的一個簡單三次多項式來對式(11)中的條件期望進(jìn)行近似逼近計算，即:

把所有樣本路徑在時刻i的價格Xi作為X值，將相應(yīng)的樣本路徑上未來收益作為 Y 值，運用線性回歸，求得回歸系數(shù) a1，a2，a3，a4。

為了計算每條樣本路徑上最優(yōu)執(zhí)行時間和相應(yīng)期權(quán)收益，從貸款到期日開始計算。在到期日N時刻，執(zhí)行期權(quán)，收益為max(－K，0)。在時刻N－1，如果該隱含期權(quán)在樣本路徑上是溢價的，即＞K，則考慮執(zhí)行期權(quán)，但是否真執(zhí)行期權(quán)還要分析繼續(xù)持有期權(quán)至到期日的期望收益:如果它小于＜K，則立即執(zhí)行期權(quán)，即在此刻償還貸款;否則，繼續(xù)持有期權(quán)，運用式(11)近似計算繼續(xù)持有期權(quán)的期望價值。

根據(jù)提前執(zhí)行期權(quán)的溢價性前提條件，在此只以在N－1時刻處于溢價的樣本路徑為基進(jìn)行回歸。為此，選用以下回歸方程近似繼續(xù)持有期權(quán)的期望收益:

以此類推，便可得到時刻N－2，N－3，．．．，0，繼續(xù)持有該隱含期權(quán)的期望收益。對于每條樣本路徑j(luò)，期權(quán)在唯一時刻t∈{0，1，．．．N}執(zhí)行。因此，樣本軌跡在t時刻繼續(xù)持有期權(quán)的期望收益為:

其中，Ji是時刻i期權(quán)處于溢價(即＞K)的樣本路徑集合。在初始狀態(tài)，令tj=N，在時刻N－1，如果繼續(xù)持有期權(quán)，則tj不變;如果執(zhí)行期權(quán)，則tj=N－1，依此類推。由于每條利率樣本路徑只有一個最優(yōu)執(zhí)行時間，因此只保存最新的tj，最后便求得每條樣本路徑的最優(yōu)執(zhí)行時間。相應(yīng)地，樣本路徑j(luò)在最優(yōu)執(zhí)行時間tj的期權(quán)收益為

3．計算每條樣本路徑期權(quán)收益貼現(xiàn)的平均值。經(jīng)過M次模擬后得到M條利率樣本路徑以及每條樣本路徑上最優(yōu)執(zhí)行時間的期權(quán)收益:

由于每條樣本路徑執(zhí)行時間不同，對期權(quán)收益貼現(xiàn)因子e－rtjk也不同，必須按每條路徑相應(yīng)貼現(xiàn)因子貼現(xiàn)，然后求均值期望收益的估計值，即貸款隱含期權(quán)LSM模擬的一個模擬值:

五、實證模擬

(一)標(biāo)的變量動態(tài)過程

1．利率動態(tài)模擬結(jié)果。本文針對住房反向抵押貸款合同特征，選用美國1年期國債利率作為住房抵押貸款利率標(biāo)的變量;首先，選取原始序列中2008年之前的數(shù)據(jù)并對這些數(shù)據(jù)進(jìn)行平穩(wěn)性檢驗，在Eviews軟件中實現(xiàn)的結(jié)果如下表1所示:

表1 利率數(shù)據(jù)序列的平穩(wěn)性檢驗

從表中可以看出，統(tǒng)計量t值大于三種顯著性水平下的臨界值，說明原始數(shù)據(jù)是平穩(wěn)的，可以用于回歸分析。從2008年末開始，一年期國債利率的數(shù)據(jù)急劇下降，這也是本文在利率模型中加入跳躍原因。利率模型參數(shù)估計結(jié)果如表1:

表1 利率模擬結(jié)果

由此得出，經(jīng)過模擬后所得到的美國一年期定期國債利率迭代式為:

(2)住房價格指數(shù)動態(tài)模型。本文選用美國住房價格銷售指數(shù)(HPI)作為估計房價模型參數(shù)的數(shù)據(jù)，反映美國住房價格變化趨勢的指數(shù)。在運用Winbugs軟件對HPI動態(tài)模型進(jìn)行參數(shù)估計時，選用股票價格指數(shù)先驗分布，這是因為房屋價格波動與股票價格波動存在一定聯(lián)動，在一定程度上可以反映指數(shù)的共有特征。房屋價格動態(tài)過程模擬結(jié)果如表2:

表2 房價模擬結(jié)果

經(jīng)過模擬后的房價模型迭代式為:

(二)無贖回權(quán)反向抵押貸款定價

本文選用一美國案例，假設(shè)一位年齡為65歲老人，擁有住房資產(chǎn)價值100美元，在2011年4月1日跟銀行簽訂了一份住房反向抵押貸款合約。由前分析，年齡為65老年人的平均壽命為80歲，因此這份住房反向抵押貸款合同的期限可以設(shè)定為15年。當(dāng)前美國一年期國債利率為0．19%，差額利率m設(shè)為3%。下面分別討論終生年金支付方式下的住房反向抵押貸款隱含期權(quán)的價格。運用修正無贖回權(quán)反向抵押貸款模型來模擬無贖回權(quán)反向抵押貸款價格。經(jīng)由Matlab程序運行模擬住房反向抵押貸款價格實證結(jié)果。其中，利率初始值R0=0．19%，差額利率m=3%，到期日T=15，貼現(xiàn)利率采用R0，每個時間間隔為一年，即每年都有執(zhí)行提前償還權(quán)利，模擬樣本路徑數(shù)分別為M=15000和M=20000。具體模擬結(jié)果見圖1、圖2。

(三)隱含期權(quán)價格實證模擬

1．模擬結(jié)果。本文為了最終計算有贖回權(quán)反向抵押貸款價格，采用與無贖回權(quán)反向抵押貸款相同條件的產(chǎn)品。假設(shè)一位年齡為65歲老人，擁有住房資產(chǎn)價值100美元，在2011年4月1日跟銀行簽訂了一份住房反向抵押貸款合約。由前面分析，年齡為65老人的平均壽命為80歲，因此這份住房反向抵押貸款合同的期限可以設(shè)定為15年。當(dāng)前美國一年期的國債利率為0．19%，差額利率m設(shè)為3%。下面主要討論終生支付方式下的住房反向抵押貸款隱含期權(quán)的價格?；贚SM方法模擬住房反向抵押貸款的提前償還行為，并對以利率和房產(chǎn)價值為雙標(biāo)的資產(chǎn)的隱含美式看漲期權(quán)定價。經(jīng)由Matlab程序運行的模擬貸款隱含期權(quán)定價的實證結(jié)果。其中，利率初始值R0=0．0319，期權(quán)執(zhí)行價格分別為一次性支付方式和終生年金支付方式下住房反向抵押貸款的價格，這里分別取:K1=77．5，K2=5．45，到期日T=15，貼現(xiàn)利率采用R0，每個時間間隔為一年，即每年都有提前償還的權(quán)利，模擬樣本路徑數(shù)分別為M=150000和M=200000。具體的模擬結(jié)果見圖3、圖4。

2．收斂性與計算效率分析。本文通過逐漸增加樣本路徑數(shù)目M，以得到收斂期權(quán)值的穩(wěn)定性來判斷收斂性。當(dāng)樣本路徑分別為15000，20000，30000，50000，100000，15000，200000 時，所得期權(quán)值分別為 1．2886，1．4049，1．2989，1．3171，1．3077，1．2960。由圖5可以看出隨著模擬次數(shù)的增多，期權(quán)值在1．30上下小幅波動，表明收斂性良好。本文模擬算法直接使用MATLAB提供的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機數(shù)生成函數(shù)randn，確保了隨機數(shù)的獨立性和均勻性。實驗表明，在P41．4GHz CPU的計算機上，N=60，M=10000的運行時間不超過10分鐘。因此無論從收斂性還是計算時間上看，反向抵押貸款隱含期權(quán)計算結(jié)果良好。

3．定價結(jié)果說明。住房反向抵押貸款在美國市場于1980s才開始興起，最初由于傳統(tǒng)養(yǎng)老觀念以及政府政策的原因，發(fā)展并不是很好，直到20世紀(jì)末美國的住房反向抵押貸款才開始得到發(fā)展。發(fā)展之初，大多數(shù)反向抵押貸款是以無贖回權(quán)的形式存在的，直到最近幾年，有贖回權(quán)的住房反向抵押貸款才開始受到關(guān)注。因此關(guān)于住房反向抵押貸款的定價研究是比較少的，尤其是住房反向抵押貸款中隱含期權(quán)價值的確定更少，所以對各種方法得到的不同的隱含期權(quán)值，難以判定結(jié)果是否合理。從本文所得結(jié)果的收斂性可以看出，無論是無贖回權(quán)反向抵押貸款的定價，還是有贖回權(quán)的住房反向抵押貸款隱含期權(quán)的定價，都呈現(xiàn)出一定的收斂性，因此定價結(jié)果是比較可信的。同時，從數(shù)值大小來看，隱含期權(quán)的價值大約為1．30，與每期得到的貸款數(shù)額5．45相比，大約是每期貸款數(shù)額的23．85%，這與銀行存貸款隱含期權(quán)的20%相比，也是非常接近的，因此本文對有贖回權(quán)反向抵押貸款隱含期權(quán)的定價是比較合理的。

六、結(jié)論

本文主要基于美式期權(quán)定價視角，分析了反向抵押貸款的期權(quán)定價模型，并運用蒙特卡羅模擬方法加以數(shù)值模擬計算。研究的主要結(jié)論有:(1)基于美國一年期國債收益率及全國住房價格銷售指數(shù)實際變動情況，選取跳躍擴散來模擬利率與房價的變動，改變了傳統(tǒng)模型中將利率設(shè)為固定的國債收益率及將房價的增長率設(shè)為固定值的缺陷。(2)無贖回權(quán)反向抵押貸款由于其本身的特點，適合用保險精算方法進(jìn)行定價，經(jīng)過對利率及房價以及借款人剩余壽命的動態(tài)模擬后，使得這些因素更加符合市場變量及老年人自身的實際狀況，從而使得定價結(jié)果比簡單的設(shè)定固定增值率時的結(jié)果更加精確。(3)有贖回權(quán)反向抵押貸款由于具有可提前贖回住房資產(chǎn)的權(quán)利，因此適合用期權(quán)方法來定價。本文運用美式期權(quán)定價方法對有贖回權(quán)反向抵押貸款隱含期權(quán)進(jìn)行定價，并最終得到有贖回權(quán)反向抵押貸款的價格。

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