，，

(南京航空航天大學(xué)經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院，江蘇 南京 211106)

1 引言

多屬性決策[1-2]是決策理論與方法研究領(lǐng)域的一個(gè)重要內(nèi)容，現(xiàn)有研究主要集中在區(qū)間型多屬性決策問題、基于直覺模糊集的多屬性決策問題、灰色多屬性決策問題、基于多屬性決策的分類問題、決策指標(biāo)權(quán)重的測算和多屬性群決策等方面。戴厚平[3]研究了屬性權(quán)重信息完全未知且屬性值為區(qū)間直覺模糊數(shù)的多屬性決策問題；Zhou Wenkun等[4]研究了屬性權(quán)重信息未知的不確定多屬性群決策問題；陳孝新等[5]以灰色系統(tǒng)理論的思想和方法為基礎(chǔ)，探討了決策方案的屬性值為區(qū)間灰數(shù)的灰色多屬性決策問題；徐澤水[6]研究了屬性值為直覺模糊數(shù)且決策者對方案有偏好的模糊多屬性決策問題；Darood[7]提出了一種基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的模糊多屬性決策問題，并對其進(jìn)行了研究。在多屬性決策過程中，難點(diǎn)之一是由于問題復(fù)雜性和環(huán)境不確定性造成的屬性值難以準(zhǔn)確設(shè)定的問題，而這又是科學(xué)決策的前提條件。對此，樊治平[8]給出了具有區(qū)間數(shù)的多屬性決策問題的綜合屬性值計(jì)算方法，并提出了區(qū)間數(shù)的兩種排序方法；汪心凡[9]將模糊數(shù)Vague值的有序加權(quán)平均( FV-OWA) 算子應(yīng)用于屬性權(quán)重完全未知且屬性值以模糊數(shù)Vague值形式給出的不確定多屬性決策問題。從已有文獻(xiàn)中方法的應(yīng)用方面來看，主要是試圖通過區(qū)間數(shù)、模糊數(shù)等不確定形式來處理，有一定的效果，但并沒有本質(zhì)上解決這個(gè)問題。貝葉斯網(wǎng)絡(luò)推理[10-11]是Pearl教授1988年提出的一種推理決策方法，由于其有雙向推理的功能，近年來在故障診斷[12-14]、醫(yī)療診斷[15]、數(shù)據(jù)挖掘[16]等領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用。張紅兵[17]提出了應(yīng)用貝葉斯網(wǎng)絡(luò)來考慮環(huán)境之中的因果關(guān)系隨機(jī)事件的基于世界狀態(tài)的決策模型的決策支持系統(tǒng)的構(gòu)建方法；肖秦琨[18]將貝葉斯網(wǎng)絡(luò)用于海上目標(biāo)識(shí)別，利用構(gòu)建的貝葉斯網(wǎng)絡(luò)和已掌握的證據(jù)條件來推斷不同船艦類型的概率；葉躍翔等[19]通過貝葉斯網(wǎng)絡(luò)推理求解在各個(gè)方案下每個(gè)屬性取值的概率分布，從而把一般不確定多屬性決策問題轉(zhuǎn)化為風(fēng)險(xiǎn)決策問題，這是重要的應(yīng)用貝葉斯網(wǎng)絡(luò)的多屬性決策文獻(xiàn)。

從已有利用貝葉斯網(wǎng)絡(luò)解決多屬性決策問題的文獻(xiàn)來看，尚存在如下一些問題：(1)貝葉斯網(wǎng)絡(luò)中的條件概率分布表都是根據(jù)專家知識(shí)等方法直接給出的，而在實(shí)際問題中，由于網(wǎng)絡(luò)的復(fù)雜性等很難準(zhǔn)確確定，用區(qū)間數(shù)來估測范圍更為可信，而對于多屬性決策問題，一些屬性受到復(fù)雜因素的影響，也難以給出方案的指標(biāo)屬性值；(2)從決策矩陣和貝葉斯網(wǎng)絡(luò)推理所依據(jù)的信息來看，這實(shí)質(zhì)上是兩類不同來源的信息，有不同的關(guān)注點(diǎn)，現(xiàn)有文獻(xiàn)(葉躍翔等[19])單獨(dú)利用了這些信息，兩者結(jié)合應(yīng)用的研究不多。從信息相互推證角度來看，兩者的聯(lián)合有助于不確定問題的解決。對此，本文嘗試結(jié)合貝葉斯網(wǎng)絡(luò)推理技術(shù)和專家所給決策矩陣信息，提出一種新的解決不確定多屬性決策問題的方案。

2 問題描述及求解

2.1 問題描述及解決思路

對于不確定多屬性決策中的屬性值概率分布不確定的多屬性決策問題，決策專家所給的決策偏好信息具有很大的主觀性和不確定性，因此只依靠這類信息進(jìn)行決策可能導(dǎo)致決策結(jié)果有很大的偏差；另一方面，根據(jù)影響屬性值概率分布的環(huán)境因素所構(gòu)建的貝葉斯網(wǎng)絡(luò)圖，由于網(wǎng)絡(luò)的復(fù)雜性，網(wǎng)絡(luò)中每個(gè)節(jié)點(diǎn)的條件概率分布表很難直接準(zhǔn)確給出(實(shí)質(zhì)上是一個(gè)區(qū)間數(shù))，這樣就無法利用網(wǎng)絡(luò)推理出方案屬性值概率的分布情況(若利用區(qū)間數(shù)運(yùn)算規(guī)則，得到推理結(jié)果的不確定性很大)。因此，本文首先根據(jù)決策專家所給決策矩陣信息求出方案綜合屬性值的上、下限區(qū)間，然后利用貝葉斯網(wǎng)絡(luò)信息求出屬性值概率分布的數(shù)學(xué)表達(dá)式，得到方案綜合屬性值的數(shù)學(xué)表達(dá)式，結(jié)合二者內(nèi)在的信息特質(zhì)建立集結(jié)模型，最后求出方案的具有較高可能性的綜合屬性值，并對方案進(jìn)行排序。

2.2 問題求解

2.2.1 根據(jù)決策矩陣確定各方案綜合屬性值范圍

步驟1：對決策矩陣中的屬性值按如下方法進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化[20]：

步驟2：假設(shè)屬性的權(quán)重向量和屬性取各個(gè)值的概率區(qū)間已知，為準(zhǔn)確估計(jì)方案的可能值范圍，建立模型P1和P2求各個(gè)方案綜合屬性值的下限SiL和上限SiU(模型的思想實(shí)質(zhì)是估計(jì)最劣和最優(yōu)情況下方案的綜合屬性值)，即：

其中，i=1,2,…,m；j=1,2,…,n。

模型目標(biāo)的含義：第i個(gè)方案的綜合屬性值可能下限。式(1)表示屬性取不同值的概率在決策專家所給區(qū)間[pk(aij)L，pk(aij)U]內(nèi)，式(2)表示第i個(gè)方案在第j個(gè)屬性下取不同值的概率之和為1，即滿足歸一化條件。

定理1 模型P1必定存在最優(yōu)解。

證明：易得，略。

同理，可得：

模型目標(biāo)的含義：第i個(gè)方案的綜合屬性值可能上限。

定理2 模型P2必定存在最優(yōu)解。

證明：易得，略。

通過估算方案的綜合屬性值的大小來進(jìn)行方案優(yōu)劣排序，充分考慮了不確定性問題，這種思想在張全等[21]中有所體現(xiàn)，本文則將其擴(kuò)展到多狀態(tài)的不確定性決策過程。

2.2.2 根據(jù)貝葉斯網(wǎng)絡(luò)的方案綜合屬性值推理

按照影響屬性的所有因素，包括決策者可控的因素(即決策變量)和不可控的因素(即環(huán)境變量)，假設(shè)確定了這些屬性和變量之間的因果依賴關(guān)系，根據(jù)這些關(guān)系可確立貝葉斯網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)圖(如圖1)。通過咨詢領(lǐng)域?qū)＜一蛘叻治鰵v史統(tǒng)計(jì)資料、文獻(xiàn)等方法，確定了當(dāng)改變決策變量時(shí)貝葉斯網(wǎng)絡(luò)中每個(gè)節(jié)點(diǎn)的條件概率表。與葉躍翔等[19]等不同，由于環(huán)境復(fù)雜性和信息不完全性等，本文認(rèn)為其中部分節(jié)點(diǎn)的條件概率分布是確定的數(shù)值，部分節(jié)點(diǎn)的條件概率分布則是以區(qū)間數(shù)px∈[pxL,pxU](x=1,2,…,z，z為不確定概率的個(gè)數(shù))的形式給出，這種情況更適用于復(fù)雜的決策情況。

貝葉斯網(wǎng)絡(luò)結(jié)合了圖論和概率論的知識(shí)，用于表達(dá)隨機(jī)變量之間復(fù)雜的概率不確定性。下文簡述貝葉斯網(wǎng)絡(luò)的基本思想[19-22]：

(1)一個(gè)隨機(jī)變量集組成網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)，一個(gè)連接節(jié)點(diǎn)對的有向邊或箭頭集合，如果存在從節(jié)點(diǎn)X到節(jié)點(diǎn)Y的有向邊，則稱X是Y的一個(gè)父節(jié)點(diǎn)，表示X對Y有直接影響；

(2)因每一個(gè)節(jié)點(diǎn)Xi都有一個(gè)條件概率分布P(Xi|Parents(Xi))，用于量化其父節(jié)點(diǎn)對該節(jié)點(diǎn)的影響，對離散情況，可以用表格的形式來表示，稱為條件概率表(Conditional Probability Table，CPT，由于連續(xù)型隨機(jī)變量概率密度函數(shù)的復(fù)雜性，本文只考慮離散情況)；

(3)貝葉斯網(wǎng)絡(luò)提供了對域的一個(gè)完整描述，所有變量的全聯(lián)合概率分布中的每一個(gè)條目都可以通過貝葉斯網(wǎng)絡(luò)的信息計(jì)算出來，即:

(3)

其中，Xi是第i個(gè)隨機(jī)變量，而xi是Xi的一個(gè)特定取值，Parents(Xi)是Xi的父節(jié)點(diǎn)，parents(Xi)是Parents(Xi)的一個(gè)特定取值。

在現(xiàn)有研究基礎(chǔ)上，本文設(shè)計(jì)根據(jù)分析的貝葉斯網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)圖，計(jì)算得出各方案的綜合屬性值的數(shù)學(xué)表達(dá)式，其步驟如下：

2.2.3 基于貝葉斯網(wǎng)絡(luò)推理的雙重信息集結(jié)模型

其中，i=1,2,…,m；j=1,2,…n；x=1,2,…,z。

定理3 模型P3必定存在最優(yōu)解。

證明：易得，略。

基于特定的決策問題，求解模型P3可以推出貝葉斯網(wǎng)絡(luò)中各個(gè)節(jié)點(diǎn)的概率分布、各個(gè)方案在各屬性下的概率分布和方案綜合屬性值。該模型同時(shí)考慮了專家所給信息和貝葉斯網(wǎng)絡(luò)推理的不確定性。

綜上所述，本文方法的步驟可總結(jié)為：

步驟1：根據(jù)專家所給決策信息利用模型P1和P2，得出方案Si綜合屬性值所在區(qū)間[SiL,SiU]。

步驟3：利用模型P3集結(jié)步驟1和步驟2中所求綜合屬性值，得出方案準(zhǔn)確綜合屬性值。

3 算例分析

3.1 背景及基礎(chǔ)數(shù)據(jù)

某航空公司現(xiàn)欲購買一種戰(zhàn)斗機(jī)，有6種不同型號(hào)的飛機(jī)即Si,i=1,2,…,6可供選擇，決策屬性有Q1-馬赫數(shù)，指飛機(jī)的飛行速度與當(dāng)?shù)卮髿?即一定的高度、溫度和大氣密度)中的音速之比，單位為Ma；Q2-有效載重量即飛機(jī)所能承載的最大重量，單位千克；Q3-航程，即飛機(jī)加滿油的情況下所能飛行的最大距離，單位為千米；Q4-燃油消耗率即單位指示功的耗油量，單位為升每小時(shí)；Q5-探測敏感性，反映飛機(jī)對外來威脅的敏感性；Q6-被擊中的可能性，即指當(dāng)飛機(jī)遭受攻擊時(shí)被擊中的可能性；其中Q1、Q2、Q3和Q4都只有一個(gè)取值即K1=K2=K3=K4=1，Q5有三種取值(中、低、高)，即K5=3，Q6有大和小兩種取值即K6=2，Q1、Q2、Q3和Q5為效益型屬性，Q4和Q6為成本型屬性。設(shè)權(quán)重向量為：

W=(w1,…,w6)Τ=(0.15,0.2,0.1,0.18,0.2,0.17)Τ

專家給出決策矩陣A和屬性概率分布矩陣P如下所示：

對于定性屬性值，采用賦值法將其量化，即令：中=5，高=7，低=3，大=7，小=3。

圖2 飛機(jī)問題的貝葉斯網(wǎng)絡(luò)圖

表1 節(jié)點(diǎn)B、D、E和F的CPT

表2 節(jié)點(diǎn)A的CPT

表3 節(jié)點(diǎn)Q5的CPT

表4 節(jié)點(diǎn)Q6的CPT

表5 不確定的概率所在區(qū)間

根據(jù)領(lǐng)域?qū)＜业闹R(shí)、實(shí)際調(diào)查和歷史數(shù)據(jù)等資料確定貝葉斯網(wǎng)絡(luò)中各個(gè)不確定的概率所在區(qū)間如表5所示：

3.2 計(jì)算結(jié)果及分析

(1)根據(jù)專家給出的決策矩陣和概率分布矩陣求各個(gè)方案綜合屬性值的上、下限即所在區(qū)間范圍。

步驟1：按照2.2.1中步驟1中標(biāo)準(zhǔn)化方法對屬性值標(biāo)準(zhǔn)化得：

(2)根據(jù)分析的貝葉斯網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)圖(圖2)，求解各方案的綜合屬性值的數(shù)學(xué)表達(dá)式。

步驟1：利用貝葉斯網(wǎng)絡(luò)圖(圖2)進(jìn)行推理計(jì)算在各種方案下不確定屬性“飛機(jī)的探測敏感性Q5”和“被擊中可能性Q6”的概率分布。首先設(shè)定觀察節(jié)點(diǎn)和證據(jù)節(jié)點(diǎn)。在本例中，“飛機(jī)的探測敏感性Q5”和“被擊中可能性Q6”是觀察節(jié)點(diǎn)，飛機(jī)類型S是決策者可控的變量，設(shè)置為證據(jù)節(jié)點(diǎn)。通過改變飛機(jī)類型S的狀態(tài)，就可以推理計(jì)算得到在給定“飛機(jī)類型S”的條件下“飛機(jī)的探測敏感性Q5”和“被擊中可能性Q6”的概率分布，即：

+(1-yi1)(1-yi2)yi3(1-y7)+yi1yi2(1-yi3)(1-y8)+yi1(1-yi2)

(1-yi3)(1-y9)+ (1-yi1)yi2(1-yi3)(1-y10)+(1-yi1)(1-yi2)

(1-yi3)(1-y11)

(7)

(3)集結(jié)二者求方案綜合屬性值

根據(jù)模型P3集結(jié)(1)中根據(jù)專家所給決策信息所得綜合屬性值區(qū)間和(2)中根據(jù)貝葉斯網(wǎng)絡(luò)推理所得綜合屬性值表達(dá)式，求解得方案的綜合屬性值。即S1=0.55250，S2=0.64895，S3=0.61674，S4=0.60725，S5=0.65341，S6=0.52260。因此，6種類型的飛機(jī)優(yōu)劣順序?yàn)閟5?s2?s3?s4?s1?s6，即最優(yōu)飛機(jī)是S5。

本文中方法與已有文獻(xiàn)中方法相比，其主要優(yōu)勢在于同時(shí)考慮兩種不同類型的信息，得出的結(jié)論比考慮單一信息得到的結(jié)論更精確，更客觀。一方面，單純考慮專家的決策偏好信息，如劉健等[23]，用其方法對本文中算例進(jìn)行求解得到方案的排序?yàn)閟5?s2?s3?s4?s1?s6，盡管結(jié)果的最終形式一致，但現(xiàn)有方法存在信息丟失現(xiàn)象，沒有充分考慮不確定信息導(dǎo)致的結(jié)果不確定性問題。其次，單純采用貝葉斯網(wǎng)絡(luò)的推理，如葉躍翔等[19]，在實(shí)際決策問題中準(zhǔn)確地確定網(wǎng)絡(luò)中的推理概率參數(shù)相對困難，因此要利用葉躍翔等[19]方法求解本文中決策問題必須對本文中區(qū)間數(shù)形式給出的概率推理參數(shù)采用簡單的處理(取平均值等)以轉(zhuǎn)化成確定的實(shí)數(shù)，最后求解得到方案的優(yōu)劣排序?yàn)閟5?s2?s3?s4?s1?s6，排序結(jié)果雖與本文中結(jié)果一致，但s6的綜合屬性值為0.506513，但利用劉健等[23]得到的方案s6的綜合屬性值所在區(qū)間為[0.52054，0.57121]，這說明只考慮貝葉斯網(wǎng)絡(luò)信息時(shí)得到的方案的綜合屬性值與只考慮專家所給偏好信息時(shí)得到的方案綜合屬性值存在不一致性，而利用本文中方法得到的s6的綜合屬性值為0.52260屬于利用葉躍翔等[19]方法得到的s6的綜合屬性值所在區(qū)間。由此，在決策過程中同時(shí)考慮兩類信息，通過兩類信息的相互推證得出的結(jié)果比考慮單一信息得到的結(jié)果更為精確，這是本文的創(chuàng)新工作。

4 結(jié)語

考慮了當(dāng)部分屬性值的概率分布為區(qū)間數(shù)時(shí)的不確定多屬性決策問題，提出了基于貝葉斯網(wǎng)絡(luò)和決策矩陣兩類信息的集結(jié)模型，能解決貝葉斯網(wǎng)絡(luò)模型中概率參數(shù)難以估計(jì)和多屬性決策問題中屬性值難以準(zhǔn)確估定的情景，通過模型的計(jì)算可以得出各個(gè)方案的確定的綜合屬性值，這樣可以更準(zhǔn)確選擇最優(yōu)方案以及對方案進(jìn)行排序。下一步需要深入研究的問題有考慮多個(gè)專家進(jìn)行決策的情況，以及考慮決策的動(dòng)態(tài)特性。

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