滕建方，王 俊，李 維

（中航工業(yè)洪都，江西南昌330024）

0 引言

HHT方法是近幾年成功應(yīng)用故障診斷的一個新的方法，其核心是EMD。該方法由Huang于1998年提出，具有自適應(yīng)特性,適宜于非平穩(wěn)信號的分解[1,2]。因為實際故障診斷信號幾乎都是非平穩(wěn)信號，所以，準確的分析處理非平穩(wěn)信號是故障診斷成功與否的關(guān)鍵。而如今EMD分解一般采用的是三次樣條插值的方法，對于有限長信號而言，將不可避免的帶來邊緣效應(yīng)的問題。Huang指出該問題可在信號的兩端，根據(jù)端點信號的振幅和頻率，分別加兩個特征波來解決，但沒有給出具體的做法；事實上，他們的方法已向美國宙航局申請了專利.并稱該問題仍然沒有徹底解決，由此可見，邊緣效應(yīng)問題是EMD的一個重要的亟待探討和完善的問題。

1 EMD信號分解方法介紹

EMD方法的大體思路是用波動上、下包絡(luò)的平均值去確定“瞬時平衡位置”,進而提取固有模態(tài)函數(shù)IMF。IMF要滿足兩個條件：1)整個數(shù)據(jù)集的極大極小值數(shù)目與過零點數(shù)目相等或最多相差一個；2)數(shù)據(jù)集的任意點上，由極大值確定的包絡(luò)與由極小值確定的包絡(luò)的均值始終為零。這兩個條件實際上使得分解得到IMF是窄帶信號。而且EMD分解基于下面的假設(shè)：1)信號至少有兩個極值，一個極大值和一個極小值；2)信號特征時間尺度是由極值間的時間間隔確定的；3)如果數(shù)據(jù)中缺乏極值點，但存在缺陷點，可通過微分、分解、再積分的方法獲得IMF。EMD具體分解過程如下：

對任一信號x(t)，首先確認x(t)上的所有極點，然后將所有極大值點和所有的極小值點分別用三次樣條插值形成的曲線連接起來，使兩條曲線包含所有的信號數(shù)據(jù)，從而得到x(t)的上、下兩條包絡(luò)線，若兩條包絡(luò)線的平均值記作m，將x(t)與m的差記作h，即：x (t)-m=h，視h為新的x(t)，重復(fù)以上操作，直到h滿足一定的條件時，記c1=h。c1視為一個IMF，x(t)-c1=r，將r視為新的x(t)，重復(fù)以上過程，依次得第二個IMF，第三個IMF，直到cn或r滿足給定的終止條件。由此可得x(t)的分解式：

其中，r為殘余函數(shù)，代表信號的平均趨勢。

2 EMD邊緣效應(yīng)問題

EMD邊緣效應(yīng)問題的本質(zhì)是由于三次樣條插值帶來的。一般說來，三次樣條插值方法對信號以外的插值點的插值只是邊界點處相鄰二點的三次多項式的延伸.而由于現(xiàn)實信號的多樣性，三次樣條插值方法很難保證端點外的插值精度，而EMD變換恰恰需要對信號的全部極大值和極小值點進行插值，則一定會出現(xiàn)端點外插值的情況，因而出現(xiàn)端點效應(yīng)是不可避免的。而在端點處不是極值點的情況進行三次樣條插值時，必然會使得信號的上下包絡(luò)在信號的兩端附近嚴重扭曲。在信號的高頻分量，由于時間尺度小，極值間的距離小，端部的邊緣效應(yīng)僅局限在信號兩端很小的部分。但對于低頻分量，由于其時間尺度大，極值間的距離大，端部的邊緣效應(yīng)就傳播到信號的內(nèi)部，特別是原始信號數(shù)據(jù)集比較短時，會嚴重影響EMD分解的質(zhì)量，使得分解出來的IMF分量沒有實際的物理意義。

現(xiàn)在解決該問題的思路一般是兩種：一種是改進或者替換三次樣條插值的方法，如采用約束三次樣條插值；另一種是仍然利用三次樣條插值而依據(jù)信號本身的特征進行某種處理，如對信號進行延拓，在每次平滑過程中根據(jù)信號的特征在兩端點處添加極值點等。如今的解決方法一般是第二種思路，其中最成功的莫過于鏡像法，無論在效率還是效果上，鏡像法都處于一個較高的水平上，是現(xiàn)如今應(yīng)對邊緣效應(yīng)問題上極佳的選擇。但盡管如此，鏡像法也有很多不足的地方，其中一個重要的問題是鏡像方法對邊緣處的信號依賴性大，當端點處無法確定為極值點時常會帶來端點漂移現(xiàn)象，引起振蕩誤差。

當然鏡像法可以由人來根據(jù)信號的特征來確定鏡子的位置，但這也就造成對人的依賴因素過大，而且對于實時系統(tǒng)與隨機性比較強的信號顯然無法行的通，另外在非端點處安放鏡子的位置也需丟棄邊緣處真實的信號，這對于數(shù)據(jù)集比較短的信號無疑會影響處理效果。本文提出的算法就是在鏡像方法的思想上利用邊緣數(shù)據(jù)添加極值點的方法，來減少三次樣條插值帶來的邊緣效應(yīng)。

3 利用邊緣數(shù)據(jù)添加極值點的新方法

本文方法的基本思想是在每次的平滑過程中，在邊界處合適的位置，利用邊緣信號某切點處的切線與y軸的交點來確定添加的極值點，再在以極值點處為對稱軸向兩端擴展從而得到所需的新極值點，具體措施如下：

1）極值點位置的確定

對于原始信號，首先判斷兩端邊緣處的數(shù)據(jù)是否可取，對于過短的數(shù)據(jù)（如少于前三個極值點距離平均值的一半）則丟棄，以第一個極值點作為鏡子的位置，對于較長的數(shù)據(jù)（大于前三個極值點距離的平均值）則直接以端點處作為鏡子的位置，而對于兩者之間的情況則以第一個極值點向外一個平均值的距離作為鏡子的安放處。安放鏡子之后就可以利用原信號的極值點對稱的拓展新的極值點。

2）極值點值的確定

當信號邊緣處數(shù)據(jù)過短，直接以信號本身極值點作為鏡子的位置時可以以鏡像方法的思想來獲取添加的極值點，但對于1）中后兩種情況，則按照以下方法進行。具體方法是：假設(shè)信號第一個極值點為極大值點，取其起點與第一個極值點中間的信號求導，確定其求導后的最大值k，及最大值k所在的切點的位置(x,y)，以方程y=k*x+b來確定b，而b就是所要添加的極小值。一般情況下，b值能很好的體現(xiàn)邊緣處信號的趨勢，接近于真實的極值點，個別情況下可能會超過信號的最值點，這種情況下則以最值點來代替b值。其他情況與其類似，只不過確定是最小值k，添加的是極大值而已。末端信號數(shù)據(jù)的處理也與其雷同。

在新的極值點處安放鏡子拓展極值點 （一般擴展四到五個即可），利用新的極值點集進行三次插值，從而得到原信號的上下包絡(luò)線。余下過程按照正常EMD程序處理。

該方法是充分利用邊緣處信號的特征，即邊緣數(shù)據(jù)某切點處的切線與y軸的交點來添加端點附近所需的極值點，再加上利用鏡像方法的思想拓展所需的其它極值點，所以可稱為切點方法。該方法能較好適應(yīng)端點非極值點的情況，對信號的適應(yīng)性更強，提高了處理效果，能很好的抑制邊緣效應(yīng)。

4 算例分析

本文采用如下算例進行驗證：

1）算例1：

采樣頻率取200Hz，時間取0.3-2.25秒，理論上各階IMF分量由高到低分別是8Hz，4Hz，1Hz，以下為鏡像方法，本文方法EMD分解后得到的各階分量與真實IMF分量的對比。

從圖1、圖2和圖3中可以看出，本文方法有效的抑制了三次樣條插值帶來的邊緣效應(yīng)，比之鏡像方法得到的各階IMF分量都有明顯改善，特別是隨著分解的繼續(xù)，鏡像方法的低階分量前端數(shù)據(jù)已經(jīng)與真實分量有較大的差距，而本文的方法不但在高階分量上很好的體現(xiàn)了真實分量，也在低階分量上有較好的表現(xiàn)，并且各階分量在末端上也很好的保留了鏡像方法的優(yōu)勢。

2)算例2：

所產(chǎn)生的原始信號如圖4所示。

鏡像方法分解產(chǎn)生了多達11階IMF分量與一個殘余量，其中僅有頭兩階可取，頭兩階IMF如圖5、圖6所示。

從分解結(jié)果來看，鏡像方法雖然如實的反映了真實的IMF分量，但是引進了多余的IMF分量，而本文方法從效果上看比之鏡像方法略好，且沒有多余的IMF分量。

圖1 算例1第一階IMF分量對比

圖2 算例1第二階IMF分量對比

圖3 算例1第三階IMF分量對比

圖4 算例2原始信號

圖5 算例2第一階IMF分量對比

圖6 算例2第二階IMF分量對比

5 結(jié)論

本文將鏡像方法的思想與普通添加極值點方法結(jié)合，并利用了邊緣信號的切線與y軸的交點來添加極值點，有效的抑制了邊緣效應(yīng)，分析結(jié)果表明：

1）該方法繼承了鏡像方法的優(yōu)點，并且以邊緣信號的切線與y軸的交點來添加新極值點的方式，很好的彌補了鏡像方法對信號適應(yīng)性差的缺陷，減少了因為端點非極值點而帶來的振蕩誤差，使得處理效果更加完善。

2）本文采用的思想是鏡像思想，而實際程序運行則是一般添加極值點的方法，效果上比鏡像方法更好，適應(yīng)性更強，因為無須延拓信號本身，所以處理時間上也要高效很多。

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