陳默，陳昊，趙萬生

（上海交通大學(xué)機(jī)械與動(dòng)力工程學(xué)院機(jī)械系統(tǒng)與振動(dòng)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海 200240）

電火花線切割機(jī)床四軸聯(lián)動(dòng)單位弧長增量插補(bǔ)法

陳默，陳昊，趙萬生

（上海交通大學(xué)機(jī)械與動(dòng)力工程學(xué)院機(jī)械系統(tǒng)與振動(dòng)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海 200240）

提出了一種單位弧長增量插補(bǔ)法，其主要思路為：每個(gè)插補(bǔ)周期沿曲線增加一個(gè)單位弧長增量，累計(jì)各軸所對(duì)應(yīng)的增量，每溢出一次，該進(jìn)給軸輸出一個(gè)單位脈沖增量。通過定義廣義弧長參數(shù)，將上下異形面中較短的曲線進(jìn)行重新參數(shù)化，以曲線坐標(biāo)值增量表達(dá)式的泰勒展開式為依據(jù)，實(shí)現(xiàn)了對(duì)上下異形面的四軸聯(lián)動(dòng)一步式直接插補(bǔ)。仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明：該方法還具有誤差更小、存儲(chǔ)空間需求更小的優(yōu)點(diǎn)。

電火花線切割加工；單位弧長增量插補(bǔ)法；四軸聯(lián)動(dòng)

電火花線切割機(jī)床以其特殊的掃掠式加工方式，被廣泛應(yīng)用于直紋面工件的加工。隨著工件形狀的不斷復(fù)雜化，線切割加工中針對(duì)上下異形面的變錐度加工功能也變得越來越重要。變錐度加工運(yùn)動(dòng)控制的關(guān)鍵技術(shù)在于規(guī)劃四軸的運(yùn)動(dòng)，使上下異形面工件的上、下平面的曲線插補(bǔ)在滿足一定精度要求的條件下同步協(xié)調(diào)進(jìn)行。呂曉綱等提出了一種表面軌跡直控法，對(duì)上、下平面的曲線分別進(jìn)行插補(bǔ)計(jì)算，再引入行程協(xié)調(diào)函數(shù)來決定上、下平面的插補(bǔ)次序[1]。袁立新等在表面軌跡直控法的基礎(chǔ)上，增加了對(duì)相鄰的上、下平面插補(bǔ)進(jìn)行合并的步驟，減小了上、下導(dǎo)輪反復(fù)進(jìn)退所帶來的速度變化[2]。劉康等設(shè)計(jì)了雙插補(bǔ)器，2個(gè)插補(bǔ)器分別用于插補(bǔ)工件上、下平面曲線和上、下導(dǎo)輪運(yùn)動(dòng)軌跡曲線[3]。

一些現(xiàn)有方法對(duì)各平面曲線的插補(bǔ)采用脈沖增量法（如逐點(diǎn)比較法、數(shù)字積分法、最小偏差法等），其局限性在于：對(duì)于圓的插補(bǔ)需進(jìn)行過象限判別；沿曲線的插補(bǔ)進(jìn)給速度不均勻，導(dǎo)致對(duì)上下異形面插補(bǔ)的精確等比例控制過程變得困難與復(fù)雜；不適用于復(fù)雜參數(shù)曲線（如NURBS曲線）的插補(bǔ)。Yang等提出了一種基于數(shù)據(jù)采樣法的線切割NURBS曲線軌跡插補(bǔ)法[4]，即用小直線段對(duì)NURBS曲線進(jìn)行逼近（粗插補(bǔ)），再對(duì)小直線段做精插補(bǔ)；粗插補(bǔ)帶來的弦高誤差導(dǎo)致其精度比采用脈沖增量法低，且需生成大量的小直線段，從而形成長篇的G代碼，消耗了大量的存儲(chǔ)空間。此外，上述方法的思路均是將線切割加工運(yùn)動(dòng)軌跡插補(bǔ)過程分為“單曲線插補(bǔ)+協(xié)調(diào)”兩步進(jìn)行。為了實(shí)現(xiàn)對(duì)上下異形面或錐面線切割加工軌跡的高精度四軸聯(lián)動(dòng)一步式直接插補(bǔ)，本文提出了單位弧長增量插補(bǔ)法。

1 四軸聯(lián)動(dòng)單位弧長增量插補(bǔ)法原理

1.1 單位弧長增量插補(bǔ)法原理

上下異形面或錐面線切割加工運(yùn)動(dòng)軌跡的四軸聯(lián)動(dòng)插補(bǔ)與其他機(jī)床加工運(yùn)動(dòng)軌跡插補(bǔ)的一大區(qū)別在于：需保證上下異形面插補(bǔ)具有良好的同步性，即兩條曲線的插補(bǔ)要按等比例的進(jìn)度執(zhí)行，而進(jìn)度的比較依據(jù)則是兩條曲線的弧長。因此，有必要引入以弧長為參數(shù)的插補(bǔ)方法，根據(jù)每個(gè)插補(bǔ)周期內(nèi)的弧長參數(shù)增量來決定各軸是否進(jìn)給。

如圖1a所示，對(duì)于平面曲線，以弧長s作為參數(shù)的表達(dá)式：

為了便于對(duì)算法進(jìn)行統(tǒng)一描述，以x1代替X、以x2代替Y來表示曲線坐標(biāo)，即：

圖1 單位弧長增量插補(bǔ)法示意圖

如圖1b所示，在每個(gè)插補(bǔ)周期內(nèi)沿曲線運(yùn)動(dòng)一小段距離，這一小段運(yùn)動(dòng)軌跡在每個(gè)坐標(biāo)軸上將產(chǎn)生一段投影直線；將這些投影直線段的長度以機(jī)床的脈沖當(dāng)量BLU為單位進(jìn)行表示，其數(shù)值的近似整數(shù)值就是當(dāng)前插補(bǔ)周期內(nèi)各軸的進(jìn)給脈沖數(shù)。由于機(jī)床運(yùn)動(dòng)的分辨率是由各軸BLU對(duì)應(yīng)的長度決定的，因此，為了保證插補(bǔ)軌跡能最大程度地?cái)M合原始曲線，取弧長參數(shù)增量△s=1 BLU，使每個(gè)插補(bǔ)周期內(nèi)的每個(gè)坐標(biāo)增量的絕對(duì)值≤1 BLU。每個(gè)坐標(biāo)值的增量計(jì)算式為：

式中：第2個(gè)等號(hào)將坐標(biāo)值增量做m階泰勒展開，一般情況下，根據(jù)曲線的不同取m=1或m=2，可滿足精度要求。由此可見，采用式（1）直接計(jì)算坐標(biāo)值增量需引入浮點(diǎn)數(shù)操作。要避免浮點(diǎn)數(shù)操作，可將其湊成如下形式：

式中：△x～i,j(s)為i軸的j階增量當(dāng)量；Qi,j為i軸的j階閾值。式（2）就是單位弧長增量法的插補(bǔ)遞推式。

為了便于說明式（1）和式（2）之間的關(guān)系，下面以圓弧插補(bǔ)為例進(jìn)行介紹。圓弧的弧長參數(shù)表達(dá)式為：

式中：θs為圓弧的起始角，為便于說明，取其值為0；R為圓弧半徑；k為圓弧方向系數(shù)，當(dāng)k=1時(shí)，為逆時(shí)針插補(bǔ)；當(dāng)k=-1時(shí)，為順時(shí)針插補(bǔ)。由式（1）求坐標(biāo)值增量表達(dá)式的泰勒展開式，取展開階數(shù)m=2，可得：

比較式（2）、式（3）、式（4）可知各軸各階增量當(dāng)量：

以及相應(yīng)的閾值：

第1個(gè)式子表示將sgn(Si,j)加入累加器Si,j-1中，第2個(gè)式子表示從累加器Si,j中減去sgn(Si,j)·2Qi,j，符號(hào)函數(shù)為：

注意到零階累加器Si,0實(shí)際上就是第i軸的坐標(biāo)值，其值按一階累加器Si,1的進(jìn)位情況進(jìn)行改變。上述計(jì)算過程實(shí)質(zhì)上類似于實(shí)數(shù)加減法計(jì)算（圖2）。重復(fù)進(jìn)行該計(jì)算過程，直到累計(jì)弧長值s大于或等于原始曲線的總弧長L，完成對(duì)整條曲線的插補(bǔ)。

圖2 實(shí)數(shù)加減法計(jì)算與單位弧長增量插補(bǔ)法計(jì)算的類比

與脈沖增量法相比，單位弧長增量法在每個(gè)插補(bǔ)周期內(nèi)以固定的單位弧長增量沿弧線進(jìn)給，使進(jìn)給速度更均勻；在插補(bǔ)圓弧時(shí)，無需做過象限判別，簡化了算法。與數(shù)據(jù)采樣法相比，單位弧長增量法避免了采用小線段逼近原始曲線的粗插補(bǔ)過程，直接對(duì)曲線進(jìn)行精插補(bǔ)，具有更高的插補(bǔ)精度。此外，單位弧長增量插補(bǔ)法以曲線表達(dá)式的弧長參數(shù)方程的泰勒展開式為基礎(chǔ)，對(duì)參數(shù)曲線具有普適性，使線切割加工上下異形面或錐面變得異常簡單；另一方面，插補(bǔ)的終點(diǎn)判別是以弧長來計(jì)算，也避免了指定某個(gè)軸的進(jìn)給長度所帶來的欠進(jìn)給誤差。

1.2 上下異形面四軸聯(lián)動(dòng)一步式直接插補(bǔ)的實(shí)現(xiàn)

上下異形面的線切割加工路徑插補(bǔ)問題可歸結(jié)為對(duì)工件上、下平面加工路徑曲線的同步插補(bǔ)問題（圖3）。

圖3 線切割加工軌跡插補(bǔ)示意圖

以（x1，x2）表示下平面曲線的坐標(biāo)（X、Y）、（x3，x4）表示上平面曲線的坐標(biāo)（U、V），則上、下平面曲線的弧長參數(shù)表達(dá)式為：

式中：s12和s34分別為下平面曲線和上平面曲線的弧長參數(shù)。要使兩條曲線的插補(bǔ)同時(shí)開始、同時(shí)結(jié)束，就需使每個(gè)插補(bǔ)周期內(nèi)兩條曲線的弧長參數(shù)保持如下比例關(guān)系：

式中：L12和L34分別為下平面曲線和上平面曲線的弧長。設(shè)：

不失一般性，設(shè)L12＞L34，則L=L12，定義廣義弧長參數(shù)：

并根據(jù)式（7）對(duì)上平面曲線做參數(shù)變換：

將式（8）和式（9）代入式（5）和式（6），并將兩條曲線的表達(dá)式合寫為一個(gè)表達(dá)式：

這樣，對(duì)上下異形面的插補(bǔ)就化為對(duì)一條以廣義弧長s為參數(shù)的四維空間的曲線的插補(bǔ)。根據(jù)前節(jié)的單位弧長增量插補(bǔ)法，對(duì)該曲線表達(dá)式中的各元素做泰勒展開并化為式（2）的形式，獲得增量當(dāng)量△x～i,j(s)和閾值Qi,j，再設(shè)置累加器Si,j，即可實(shí)現(xiàn)對(duì)該曲線的插補(bǔ)。L34＞L12的情形與L12＞L34的情形類似，只是廣義弧長定義為s=s34，并對(duì)下平面曲線做參數(shù)變換。兩種情形對(duì)曲線的變換結(jié)果可歸結(jié)為：

插補(bǔ)的流程見圖4?？梢?，通過對(duì)短曲線的重新參數(shù)化，將兩條曲線化為一條曲線，無需額外增加行程協(xié)調(diào)的步驟，實(shí)現(xiàn)了對(duì)上下異形面的一步式直接插補(bǔ)。

圖4 插補(bǔ)流程圖

2 仿真實(shí)驗(yàn)

以“天圓地方”形狀的工件為例，根據(jù)其對(duì)稱性，取其中1/4的加工軌跡進(jìn)行插補(bǔ)仿真實(shí)驗(yàn)（圖5）。加工軌跡的上下異形面加工參數(shù)見表1，其中機(jī)床的分辨率為1 μm=1 BLU。

并與式（2）比較，可知各軸各階增量當(dāng)量為：

相應(yīng)的閾值為：

表1 仿真加工軌跡數(shù)據(jù)

圖5 加工仿真軌跡（加粗曲線）

由圖5可看出，下平面軌跡為直線，計(jì)算弧長得L12=10 000 BLU；上平面軌跡為逆時(shí)針圓弧（k= 1），計(jì)算弧長得L34=7854 BLU。因此，L12＞L34，L=L12，定義廣義弧長參數(shù)s=s12。根據(jù)式（10），可得四維空間中的曲線表達(dá)式：

根據(jù)式（1），對(duì)坐標(biāo)值增量表達(dá)式做泰勒展開，其中，直線和圓弧的增量表達(dá)式分別展開至1階和2階，得：

基于上述計(jì)算結(jié)果，以單位弧長增量法進(jìn)行插補(bǔ)，并與數(shù)據(jù)采樣法（允許最大弦高誤差為0.5 BLU的粗插補(bǔ)與脈沖增量法精插補(bǔ)相結(jié)合）的插補(bǔ)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比（表2）。

表2 仿真結(jié)果

由仿真結(jié)果可見，數(shù)據(jù)采樣法的插補(bǔ)誤差比單位弧長增量法都大，這是由于數(shù)據(jù)采樣法的粗插補(bǔ)采用了小直線段逼近曲線而引起了弦高誤差，且精插補(bǔ)的脈沖增量法也會(huì)帶來一定的誤差，兩個(gè)誤差的疊加結(jié)果較大。此外，數(shù)據(jù)采樣法的粗插補(bǔ)階段獲得的一系列小直線段，使CAM軟件生成較多的G代碼指令；而單位弧長增量法只需一條G代碼就能表示一對(duì)曲線，大大節(jié)省了插補(bǔ)器的存儲(chǔ)空間。

3 結(jié)論

通過定義廣義弧長參數(shù)，將單位弧長增量插補(bǔ)法應(yīng)用于線切割上下異形面的插補(bǔ)。與傳統(tǒng)方法相比，其優(yōu)勢(shì)在于：

（1）避免了采用小直線段逼近原始曲線所帶來的弦高誤差，提高了插補(bǔ)精度，減少了插補(bǔ)器所需的存儲(chǔ)空間。

（2）以曲線坐標(biāo)增量表達(dá)式的泰勒展開式為插補(bǔ)依據(jù)，上、下平面曲線的類型不再限于直線和圓。

（3）對(duì)于直線和圓的插補(bǔ)，可避免浮點(diǎn)數(shù)運(yùn)算，且誤差不大于1 BLU。

（4）對(duì)于圓的插補(bǔ)，無需過象限判別。

（5）四軸聯(lián)動(dòng)一步式直接插補(bǔ)方式保持了上下異形面等比例勻速插補(bǔ)，無需引入行程協(xié)調(diào)函數(shù)。

因此，由單位弧長增量插補(bǔ)法的原理可見，其不但適用于線切割加工軌跡的插補(bǔ)，也適用于帶旋轉(zhuǎn)軸的多軸聯(lián)動(dòng)同步插補(bǔ)，在高精度、高可達(dá)性的機(jī)床中具有廣泛的應(yīng)用前景。

[1]呂曉綱，金志強(qiáng).線切割上下異形錐度曲面加工控制的研究[J].電加工，1998（5）：41-43.

[2]袁立新，譚錫林.四軸聯(lián)動(dòng)線切割雙平面插補(bǔ)控制的研究[J].電加工與模具，2001（5）：16-18.

[3]劉康，柳忠彬，胡光忠，等.線切割上下異形錐度加工的雙插補(bǔ)控制算法的實(shí)現(xiàn)[J].機(jī)床與液壓，2011，39（8）：26-28.

[4]Yang M Y，Park J H.A study on an open architecture CNC system with a NURBS interpolator for WEDM[J]. The International Journal of Advanced Manufacturing Technology，2002，19（9）：664-668.

“電加工技術(shù)發(fā)展規(guī)劃專題研討會(huì)”在蘇州召開

為了集思廣益，提出電加工技術(shù)在高檔數(shù)控機(jī)床與基礎(chǔ)制造裝備專項(xiàng)（04專項(xiàng)）“十三五”期間發(fā)展規(guī)劃的建議，中國機(jī)械工程學(xué)會(huì)特種加工分會(huì)和中國機(jī)床工具工業(yè)協(xié)會(huì)特種加工機(jī)床分會(huì)邀請(qǐng)我國電加工領(lǐng)域20余名專家，于2014年7月23日在蘇州召開了電加工技術(shù)發(fā)展規(guī)劃專題研討會(huì)。

中國科學(xué)院院士、中國機(jī)械工程學(xué)會(huì)特種加工分會(huì)理事長、南京航空航天大學(xué)朱荻教授主持了會(huì)議。中國機(jī)床工具工業(yè)協(xié)會(huì)特種加工機(jī)床分會(huì)理事長、中國機(jī)械工程學(xué)會(huì)特種加工分會(huì)榮譽(yù)理事長、蘇州電加工機(jī)床研究所有限公司董事長葉軍研究員介紹了工信部正在制定的04專項(xiàng)“十三五”發(fā)展規(guī)劃相關(guān)情況，并提出了電加工（包括電火花加工和電化學(xué)加工）技術(shù)發(fā)展規(guī)劃建議框架。與會(huì)代表圍繞這一框架，就電加工技術(shù)及裝備的發(fā)展建議進(jìn)行了深入的討論。大家認(rèn)為，“十三五”期間要以電加工技術(shù)及產(chǎn)品研發(fā)創(chuàng)新基本能力的建設(shè)為主線，加強(qiáng)電加工關(guān)鍵基礎(chǔ)共性技術(shù)的研究，加強(qiáng)研發(fā)、試驗(yàn)、檢測(cè)平臺(tái)的建設(shè)，進(jìn)一步加強(qiáng)產(chǎn)、學(xué)、研、用的合作，集聚優(yōu)勢(shì)資源，借鑒追趕與自主創(chuàng)新相結(jié)合，扎實(shí)、系統(tǒng)地突破和提升一批電加工關(guān)鍵基礎(chǔ)共性技術(shù)，進(jìn)一步提升高端電加工主導(dǎo)產(chǎn)品的技術(shù)水平和市場競爭力，并為我國航天、航空、航海、軍工等重要領(lǐng)域提供具有更高水平和獨(dú)具特色的產(chǎn)品。

根據(jù)會(huì)議研討的結(jié)果，就電加工關(guān)鍵共性技術(shù)的攻關(guān)及研究實(shí)驗(yàn)平臺(tái)的建設(shè)、高端電加工主導(dǎo)產(chǎn)品性能水平的提升、電加工專項(xiàng)技術(shù)及專用設(shè)備的研制、國家級(jí)電加工重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室及工程技術(shù)中心的建設(shè)等形成了具體的意見和建議。

（特種加工分會(huì)）

Four-axes Drived Unit Arc Length Increment Method for WEDM

Chen Mo，Chen Hao，Zhao Wansheng
（Shanghai Jiao Tong University，Shanghai 200240，China）

This paper proposes a unit arc length increment method which in each interpolated period，the curve increases one basic arc length unit(BLU)，while cumulated the increments of each axis overflows，the axis generate one unit pulse increment.The generalized arc length parameter is defined to reparameterize the shorter curve，and a ruled surface is directly interpolated by using the Taylor expansions of incremental functions of coordinates.Simulation results show that the proposed method gives less error and requires less memory space.

WEDM；unit arc length increment method；four-axes drived

TG661

A

1009－279X（2014）04－0013-05

2013-12-30

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（51175337）；機(jī)械系統(tǒng)與振動(dòng)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室項(xiàng)目（MSVMS201111）

陳默，男，1986年生，博士研究生。