王飛 WANG Fei；章茜 ZHANG Qian

（浙江機(jī)電職業(yè)技術(shù)學(xué)院，杭州 310018）

（Zhejiang Institute of Mechanica1&E1ectrica1 Enginnering，Hangzhou 310018，China）

0 引言

目前現(xiàn)存數(shù)量不多的古塔是一種古代高層建筑，標(biāo)志著古代人們征服自然的勝利。它們無論對于研究我國古代建筑技術(shù)的發(fā)展，還是研究我國古老的歷史、文化、藝術(shù)、宗教以及政治、外交及經(jīng)濟(jì)等均具有極其重要的意義。為了對現(xiàn)存的古塔進(jìn)行科學(xué)合理地保護(hù)，就必須掌握并研究古塔的變形情況。

本文研究的題目及數(shù)據(jù)均源自2013年全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽C題，數(shù)據(jù)（見附表）來源于四個(gè)年份的對古塔每一層的觀測數(shù)據(jù)。通過題目分析，通過將問題轉(zhuǎn)化，利用初等數(shù)學(xué)模型對古塔的傾斜程度、彎曲程度及扭曲程度進(jìn)行研究，同時(shí)采用灰色預(yù)測模型GM（1，1）分別對古塔進(jìn)行傾斜程度、彎曲程度、扭曲程度的預(yù)測分析，為古塔的修復(fù)工作提供了一定的參考依據(jù)。

1 問題分析

根據(jù)題目，需要建立數(shù)學(xué)模型，解決如下幾個(gè)問題：①給出確定古塔各層中心位置的通用方法，并列表給出各次測量的古塔各層中心坐標(biāo)。②分析該古塔傾斜、彎曲、扭曲等變形情況。③分析該古塔變形趨勢。

由于每一層各觀測點(diǎn)的豎坐標(biāo)變化不大，則取其平均值作為中心位置的豎坐標(biāo)。對于橫、縱坐標(biāo)，我們將同層各點(diǎn)投影到x0y平面內(nèi)，發(fā)現(xiàn)圖像近似于一個(gè)橢圓，通過基于最小二乘法的擬合求得相關(guān)的橢圓方程，則橢圓的中心便是所求的中心位置。利用古塔各層的中心位置，通過投影法，引進(jìn)傾斜角、兩線段夾角可以研究古塔傾斜、彎曲、扭曲等變形情況。最后結(jié)合問題1、問題2的結(jié)論，建立數(shù)學(xué)模型，分析古塔的變形趨勢。

2 模型建立及求解

2.1 數(shù)據(jù)預(yù)處理 根據(jù)題目附表中所給出的數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)四個(gè)年份每一層的觀測數(shù)據(jù)大部分都是8組，但是1986年與1996年中第13層的觀測數(shù)據(jù)只有7組，將上下兩層的數(shù)據(jù)取平均值當(dāng)做缺失的觀測數(shù)據(jù)，2009年與2011年的塔尖觀測數(shù)據(jù)只有一組，就取這一組作為塔尖觀測數(shù)據(jù)。

2.2 確定古塔各層中心位置 由前面的問題分析，中心位置的豎坐標(biāo)由每一層各觀測點(diǎn)的豎坐標(biāo)的平均值來確定，而中心位置的橫、縱坐標(biāo)通過基于最小二乘法的橢圓擬合算法結(jié)合MATLAB軟件實(shí)現(xiàn)。

2.3 古塔變形情況分析

2.3.1 傾斜情況分析 為了分析古塔的傾斜程度，把古塔的第一層視為塔底，連接第一層中心與塔尖的中心，并過塔尖的中心作第一層的垂線，連接射影構(gòu)成直角三角形，則垂線和兩中心連線的夾角即為古塔的傾斜角，利用該角可分析古塔的傾斜程度。利用射影和垂線的比值，再求這個(gè)比值的反正切值就是傾斜角的值，表1是各觀測年份的傾斜角w的值。

表1 傾斜角的w值（弧度制）

由表1看到古塔在觀測的4年內(nèi)均有傾斜，且隨著年份的增加，有變大的趨勢。

2.3.2 彎曲情況分析 彎曲的產(chǎn)生實(shí)際上是由各層之間的傾斜角的不同造成的，分析該古塔的彎曲程度，先計(jì)算古塔各層的傾斜角，再利用各層之間的傾斜角的差值情況來考慮。利用MATLAB軟件計(jì)算古塔各層的傾斜角度，具體見表2。

根據(jù)表2可得1986年-1996年的古塔的彎曲變形情況差不多，且2009年-2011年的彎曲變形情況差不多，但是1996年-2009年的彎曲變形相對較大，古塔的2-5層、11-12層及頂層的彎曲度程變小趨勢，6-10層、13層的彎曲度程變大趨勢，其中古塔的中間層，即第7層變化最小。

表2 古塔4年每層的傾斜角度（弧度制）

同時(shí)可根據(jù)Δk=ki+1-ki（ki為古塔第i層的斜率）來計(jì)算每兩層的傾斜角的變化情況，發(fā)現(xiàn)古塔3-4層，4-5層，7-8層，9-10層，10-11層，12-13層這幾組的數(shù)據(jù)，前兩年和后兩年的正負(fù)性發(fā)生了改變，說明這幾層的彎曲程度變化趨勢并不是穩(wěn)定的，期間可能受地震、颶風(fēng)等自然災(zāi)害的影響。

2.3.3 扭曲情況分析 扭曲是指不同水平面之間的相對旋轉(zhuǎn)，先分別將古塔相鄰兩層中心進(jìn)行連線，將這些連線都投影到第一層所在的平面，以前兩層的中心連線的投影作為參照物，若后兩層中心連線的投影與之形成一定的角度，則可說明古塔發(fā)生扭曲現(xiàn)象。

由直線上兩點(diǎn)的斜率公式，先求得古塔相鄰兩層的中心連線的斜率Kj。再根據(jù)所求斜率運(yùn)用MATLAB軟件計(jì)算出后兩層中心連線的投影到前兩層中心連線的投影的角的正切值，最后利用正切值求得相應(yīng)的角度，以弧度制表示，結(jié)果如表3。

表3 古塔4年各層的扭曲角度（弧度制）

由表3可知，古塔各層扭曲程度基本隨著年數(shù)的增加呈變大趨勢，第11層、13層及塔尖除外。同時(shí)用扭曲角度的正負(fù)表示古塔的扭曲方向，正的表示逆時(shí)針方向扭曲，負(fù)的表示順時(shí)針方向扭曲，發(fā)現(xiàn)古塔的同一層在不同的年份（如第8層、第10層、第11層）扭曲方向發(fā)生變化。

另外，觀察古塔底層的中心Z軸坐標(biāo)，發(fā)現(xiàn)值不斷變小，也就是古塔隨著時(shí)間的推移慢慢往地下沉。

2.4 古塔變化趨勢預(yù)測 對該塔的變形趨勢進(jìn)行預(yù)測，主要從傾斜、彎曲、扭曲這三個(gè)方面進(jìn)行考慮，由于只有四年，數(shù)據(jù)非常少，且變化趨勢也不明顯，難以單純的從擬合的角度進(jìn)行發(fā)展趨勢的預(yù)測，而灰色模型系統(tǒng)可以解決這類問題，因此，利用灰色系統(tǒng)模型GM（1，1）的方法來研究相應(yīng)問題。

2.4.1 傾斜程度變化趨勢預(yù)測

利用灰色模型GM（1，1）進(jìn)行建模預(yù)測。

①原始數(shù)據(jù)序列：

②進(jìn)行一次累加序列：

③建立矩陣B,Y：

④根據(jù)(BTB)-1BTy估計(jì)：

⑤求得時(shí)間響應(yīng)方程：

⑥若要擬合已知值或計(jì)算預(yù)報(bào)值，則可用后減運(yùn)算（即后一項(xiàng)減去前一項(xiàng)）還原求得。

⑦利用灰色系統(tǒng)理論建模軟件計(jì)算求得殘差=0.00000000及平均相對誤差=0.42714470%，說明該預(yù)測模型的擬合預(yù)測情況較好。

2.4.2 彎曲程度的趨勢預(yù)測 同理，利用灰色系統(tǒng)理論建模軟件對古塔各層的彎曲程度預(yù)測模型進(jìn)行檢驗(yàn)，如表4。

表4 彎曲趨勢預(yù)測模型檢驗(yàn)

由表4說明該模型的擬合預(yù)測情況也較好。

2.4.3 扭曲程度的趨勢預(yù)測 同理，利用灰色系統(tǒng)理論建模軟件對古塔各層的扭曲程度預(yù)測模型進(jìn)行檢驗(yàn)，如表5。

表5 扭曲趨勢預(yù)測模型檢驗(yàn)

由表5說明第7層，第10層及塔尖的扭曲程度預(yù)測模型的擬合、預(yù)測情況不是太理想，其余的情況較好。

3 模型評價(jià)及改進(jìn)

3.1 模型優(yōu)缺點(diǎn)

本模型的優(yōu)點(diǎn)：

①對于古塔傾斜程度、彎曲程度及扭曲程度的研究，將問題轉(zhuǎn)化，變成可以利用初等數(shù)學(xué)的思想進(jìn)行建立相關(guān)的數(shù)學(xué)模型，簡潔明了；

②根據(jù)題目給的數(shù)據(jù)的特點(diǎn)，利用灰色預(yù)測模型GM（1，1），得到相應(yīng)的時(shí)間響應(yīng)函數(shù)，同時(shí)利用灰色系統(tǒng)理論建模軟件對所建立的模型進(jìn)行殘差分析，得出模型的適用性，具有一定的可信度該方法還可推廣到引起古塔產(chǎn)生變形的其他因素的研究；

③本模型可用于諸如上海明珠電視塔等剛性高層建筑物的變形情況研究。

本模型的缺點(diǎn)：

①對附表中一小部分殘缺數(shù)據(jù)進(jìn)行人為處理，會產(chǎn)生一些誤差。

②在假設(shè)中假設(shè)第一層是水平面所得到的數(shù)據(jù)存在一定的誤差。

③在研究傾斜程度、彎曲程度及扭曲程度的過程中未考慮古塔各中心的豎坐標(biāo)分量，存在一定的誤差。

3.2 模型改進(jìn)

在模型上存在個(gè)別數(shù)據(jù)殘差較大的情況，還應(yīng)盡可能采用多種方法進(jìn)行擬合，而不是單一方法，以提高精確性。

綜上所述，本文通過問題轉(zhuǎn)化，建立初等數(shù)學(xué)模型研究古塔的傾斜程度、彎曲程度及扭曲程度，通過建立灰色預(yù)測模型GM（1，1）研究古塔的變形趨勢。它能從數(shù)學(xué)意義上描述古塔各層的中心位置與三個(gè)引起古塔變形因素之間的關(guān)系，并且比較直觀，為研究古塔的變形情況的工作者提供的一種方法。建模過程中使用了MATLAB等數(shù)學(xué)軟件，利用數(shù)學(xué)軟件作為學(xué)習(xí)平臺，能夠有效培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力，提高高職數(shù)學(xué)的教學(xué)效率。

[1]閆蓓,王斌,李媛.基于最小二乘法的橢圓擬合改進(jìn)算法[J].北京航空航天大學(xué)學(xué)報(bào),2008（3）.

[2]李工農(nóng).經(jīng)濟(jì)預(yù)測與決策及其Mat1ab實(shí)現(xiàn)[M].清華大學(xué)出版社,2007：46-53.

[3]姜啟源.數(shù)學(xué)模型（第二版）[M].高等教育出版社,1992.