李 冬， 王慧聰， 宋天舒

(1. 河北交通職業(yè)技術(shù)學(xué)院土木工程系，河北 石家莊 050091; 2. 哈爾濱工程大學(xué)航天與建筑工程學(xué)院，黑龍江 哈爾濱 150001)

含圓孔雙壓電陶瓷的動態(tài)性能研究

李 冬1， 王慧聰1， 宋天舒2

(1. 河北交通職業(yè)技術(shù)學(xué)院土木工程系，河北 石家莊 050091; 2. 哈爾濱工程大學(xué)航天與建筑工程學(xué)院，黑龍江 哈爾濱 150001)

采用Green函數(shù)法研究界面附近含圓形孔洞的兩半無限壓電陶瓷對SH波的散射問題。首先利用復(fù)變函數(shù)和多極坐標(biāo)的方法構(gòu)造出適合于本文問題的位移Green函數(shù)和電場Green函數(shù)。然后利用契合思想，根據(jù)界面上的連續(xù)性條件建立起求解問題的第一類Fredholm型積分方程。得到了孔邊周向剪應(yīng)力動應(yīng)力集中系數(shù)的解析表達(dá)式。最后作為算例，給出了界面兩側(cè)圓孔的兩組動應(yīng)力集中系數(shù)的計(jì)算結(jié)果圖并進(jìn)行了討論。

動應(yīng)力集中系數(shù)； 雙壓電陶瓷； 界面附近圓孔； Green函數(shù)

0 引 言

目前，廣泛應(yīng)用于工程實(shí)際的壓電材料主要是壓電陶瓷。壓電陶瓷是典型的脆性材料，具有斷裂韌性低和缺陷敏感性高的特點(diǎn)。因此，用壓電陶瓷制作的器件或結(jié)構(gòu)在使用過程中，常會因制造和使用過程中出現(xiàn)的孔洞、裂紋等缺陷引起的應(yīng)力集中而導(dǎo)致其設(shè)計(jì)功能的喪失，這限制了壓電陶瓷更廣泛的應(yīng)用和相關(guān)器件性能的進(jìn)一步提高。因而，弄清楚壓電陶瓷斷裂的物理力學(xué)機(jī)制，成為近年來固體力學(xué)和材料物理領(lǐng)域內(nèi)的重要研究課題[1]。近年來，Gao等[2]利用復(fù)變方法研究了含有橢圓形孔洞的二維壓電材料在無窮遠(yuǎn)處受荷載作用時(shí)的問題，給出了孔外及孔內(nèi)場的封閉解答。Lee等[3]研究了一個(gè)含有斜橢圓形孔洞的壓電板在無窮遠(yuǎn)處作用混合形式的電機(jī)械載荷時(shí)的斷裂問題。利用Paschen原理Gao[4]分析了一個(gè)充滿空氣的橢圓形孔洞的壓電體受電機(jī)械載荷聯(lián)合作用時(shí)孔洞內(nèi)的局部放電問題。Sosa等[5]在二維電彈性理論框架下對含橢圓形孔洞的壓電材料問題進(jìn)行了研究。采用Stroh公式Chung等[6]對二維各向異性壓電材料中含橢圓形孔洞和橢圓形剛性夾雜問題分別進(jìn)行了研究。周志東等[7]以孔邊加載下的Stroh廣義應(yīng)力及位移表達(dá)式為基礎(chǔ)，在精確電學(xué)邊界條件下得到了介質(zhì)中任意點(diǎn)處作用一廣義點(diǎn)荷載時(shí)應(yīng)力的函數(shù)表達(dá)式。戴隆超等[8]利用復(fù)變函數(shù)方法對含橢圓形孔洞的橫觀各向同性壓電材料在遠(yuǎn)場均勻載荷作用下的力學(xué)問題進(jìn)行了分析。

以上這些工作，大都是靜態(tài)方面的研究，關(guān)于動態(tài)方面的研究相對較少。本文即對含圓孔缺陷雙相壓電陶瓷的動態(tài)問題進(jìn)行分析，討論了在一組穩(wěn)態(tài)力電波場作用下，壓電陶瓷的物理參數(shù)和幾何參數(shù)及入射波場的頻率對圓孔周邊動應(yīng)力集中系數(shù)的影響。

1 問題的表述

雙壓電陶瓷界面兩側(cè)含圓形孔洞的模型如圖1所示。兩圓形孔洞的半徑分別為R1和R2，圓心與界面的距離分別為h1和h2，兩圓心之間沿界面方向相距d，一組穩(wěn)態(tài)的力電場沿與界面成α0的方向入射。引入復(fù)變量設(shè)電極化方向垂直于xy平面，則穩(wěn)態(tài)的反平面動力學(xué)問題的控制方程可寫為[9]：

圖1 界面附近含圓孔雙相壓電陶瓷的力學(xué)模型Fig.1 The mechanical model of piezoelectric bimaterials with a circular cavity near the interface

圓孔處的邊界條件可表示為：

上標(biāo)c分別表示圓孔內(nèi)的物理量，下同。

2 Green函數(shù)的推導(dǎo)

研究的Green函數(shù)是一個(gè)具有圓形孔洞的壓電陶瓷彈性半空間在其水平表面上任意一點(diǎn)承受時(shí)間諧和的出平面線源荷載作用時(shí)位移函數(shù)和電場函數(shù)的基本解，滿足控制方程(1)，它由線源荷載產(chǎn)生的擾動和圓孔激發(fā)的散射波兩部分組成，分別用上標(biāo)i和s表示，擾動部分可表示為[10]：

散射波部分可寫為：

則本問題的位移Green函數(shù)wG和電場Green函數(shù)Gφ的表達(dá)式可分別表示為：

圓孔內(nèi)只有電場而無彈性場，其電位勢c

Gφ應(yīng)達(dá)式可寫為：

依波以設(shè)計(jì)為龍頭，以技術(shù)為保障，2018年，依波在工業(yè)設(shè)計(jì)中心和企業(yè)技術(shù)中心的“雙中心”建設(shè)方面，取得了一系列重要成果：依波工業(yè)設(shè)計(jì)中心，堅(jiān)持在腕表設(shè)計(jì)領(lǐng)域不斷創(chuàng)新與突破，推出的一系列新款腕表都得到了國內(nèi)外專業(yè)機(jī)構(gòu)的認(rèn)可與廣大市場的好評，多項(xiàng)作品屢次斬獲 “藍(lán)光杯”、“德國紅點(diǎn)獎(jiǎng)”、“深圳禮物”、“TIA首席設(shè)計(jì)官”等設(shè)計(jì)大獎(jiǎng)。此外，依波與深圳市設(shè)計(jì)聯(lián)合會聯(lián)合成功舉辦首屆“時(shí)計(jì)之星——依波腕表創(chuàng)意設(shè)計(jì)大賽”，為好設(shè)計(jì)發(fā)聲。而依波中心實(shí)驗(yàn)室榮獲國家CNAS認(rèn)證，鐘表檢測和校準(zhǔn)服務(wù)的技術(shù)能力與國際接軌，中心實(shí)驗(yàn)室也在新材料、新工藝的研發(fā)等方面取得多項(xiàng)成果。

利用條件(3)可求得未知系數(shù)An, Bn, Cn, Dn, En的值。

3 雙相壓電陶瓷界面附近圓孔對波的散射

當(dāng)關(guān)于時(shí)間諧和的波以與界面成α0角度入射時(shí)，陶瓷中的入射、反射和透射力電場的表達(dá)式分別可以寫為[11]：其中，w1, φ1, w2, φ2與的關(guān)系由界面上的連續(xù)性條件可得。

陶瓷I、II中分別由圓形孔洞產(chǎn)生的散射力電場為w(Is)、φ(Is)和w(IIs)、，當(dāng)其同時(shí)滿足界面上應(yīng)力自由的條件時(shí)，它們的表達(dá)式可分別寫為：

兩圓孔內(nèi)電場的表達(dá)式分別為：

其中，未知系數(shù)的求法與Green函數(shù)中一樣。

根據(jù)得到的Green函數(shù)和陶瓷I、II中的力電場，利用契合思想[10]構(gòu)造出雙相壓電陶瓷界面附近圓形孔洞對入射波場的散射解，如圖2所示，從而將問題轉(zhuǎn)化為求解一組定解積分方程。

圖2 形成界面附近含圓孔的雙相壓電陶瓷Fig.2 Forming piezoelectric bimaterials with a circular cavity near the interface

其構(gòu)造過程是：首先沿y=-h1界面將雙相壓電陶瓷剖分為上半空間介質(zhì)Ⅰ和下半空間介質(zhì)Ⅱ。在半空間介質(zhì)Ⅰ的剖面上總位移wI、總電位勢φI、總應(yīng)力和總電位移分別為：

然后，將剖分后的兩個(gè)半空間“裝配”起來，同時(shí)為了滿足剖分面上的應(yīng)力、電位移、電位勢和位移的連續(xù)性條件，需在介質(zhì)Ⅰ、Ⅱ中剖分界面的相應(yīng)區(qū)域施加一對待求的反平面外力系f1( r01,θ01)、f2(r01, θ01)和一對待求的平面內(nèi)外電場 f3(r01,θ01)、 f4( r01,θ01)。利用契合面上的四個(gè)連續(xù)性條件便可得求解未知外力系和外電場的定解積分方程組。

契合界面上的應(yīng)力連續(xù)性條件為：

電位移連續(xù)性條件為：

位移連續(xù)性條件為：

電位勢連續(xù)性條件為：

其中，

將式(15)、(16)、(21)代入(19)、(20)式并結(jié)合(17)、(18)式便可得求解未知外力系和外電場的定解積分方程：

式(22)、(23)屬于半無限域上含弱奇異性的第一類Fredholm型積分方程，本文采用直接離散法并結(jié)合散射波的衰減特性對其進(jìn)行求解。

4 算例和分析

當(dāng)剖分面上附加外力系和外電場的值求得以后，便可寫出陶瓷中的總位移場和總電位勢場，代入本構(gòu)方程中可得陶瓷Ⅰ中圓孔周邊的周向剪切應(yīng)力為：

陶瓷Ⅱ中圓孔周邊的周向剪切應(yīng)力為：

無量綱的動應(yīng)力集中系數(shù)τ*為：

作為算例，本節(jié)將給出相應(yīng)的計(jì)算結(jié)果圖來討論入射波頻率、材料的幾何參數(shù)和物理參數(shù)對兩圓孔孔邊動應(yīng)力集中系數(shù)的影響。圖中以和分別表示上下陶瓷中的壓電綜合參數(shù)，表示入射波的角度，表示無量綱波數(shù)，分別表示上下陶瓷中的密度。部分計(jì)算結(jié)果與已有文獻(xiàn)進(jìn)行了比較。

圖3 圓孔1的τ*值隨兩孔間距離的變化Fig.3 The effect of the distance of two cavities upon theof the cavity 1

圖4 圓孔1的τ*值隨kIR1的變化Fig.4 The effect of the upon the of the kIR1cavity 1

(4)圖8給出了λI=0.2，λII=1，h1/R1=1.5，情況下圓孔周邊θ=0處的τ*值隨無量綱波數(shù)kIR1和h2R1的變化。由圖可見，隨著無量綱波數(shù)kIR1的增大τ*值振蕩衰減，且兩組曲線均在低頻段（kIR1＜1.0）取得最大峰值。隨著h2R1的增大兩組曲線取得峰值的最小距離越來越小。

(5)圖9給出了λI=0.2，λII=1，R2R1=1，h1/R1=h2/R2=1.5情況下圓孔周邊θ=0處的τ*值隨無量綱波數(shù)kIR1和d R1的變化。從圖可知，各曲線的最大峰值仍在低頻段( kIR1＜ 1 .0 )取得。對于圖9(a)，動應(yīng)力集中系數(shù)曲線的最大值隨 d R1的增大而減小，但圖9(b)中卻沒有類似的現(xiàn)象。同樣，隨著無量綱波數(shù) kIR1的增加 τ*值振蕩衰減，這說明對于結(jié)構(gòu)在低頻情況下的動力學(xué)分析非常重要。

圖5 圓孔的τ*值在kIR1=0.5時(shí)隨壓電常數(shù)的變化Fig.5 The effect of the piezoelectric constant upon theτ*of two cavities atkIR1=0.5

圖6 圓孔的*τ值在I12.0k R=時(shí)隨壓電常數(shù)的變化Fig.6 The effect of the piezoelectric constant upon the*τ of two cavities atI12.0 k R=

圖7 圓孔周邊θ=0處的*τ值隨壓電常數(shù)的變化Fig.7 The effect of the piezoelectric constant upon the*τ of two cavities at θ=0

圖8 圓孔周邊θ=0處的*τ值隨距離h2/R1的變化Fig.8 The effect of the distance of h2/R1upon the*τ of two cavities at θ=0

圖9 圓孔周邊θ=0處的*τ值隨距離d/R1的變化Fig.9The effect of the distance of d/R1upon the*τ f two cavities at θ=0

5 結(jié) 論

本文采用Green函數(shù)方法求解了雙相壓電陶瓷中界面附近雙圓孔對SH波散射引起的動應(yīng)力集中系數(shù)。研究結(jié)果表明，入射波頻率、圓心距界面的距離、兩圓心距離、壓電常數(shù)等參數(shù)都對孔邊的動應(yīng)力集中系數(shù)有影響。隨著入射波頻率的增大，集中系數(shù)的值一般呈現(xiàn)出振蕩衰減的現(xiàn)象。因此，在低頻情況下的動力學(xué)分析更為重要。一定物理參數(shù)的兩壓電陶瓷可以減小孔邊的動應(yīng)力集中。界面的存在可能增加也可能減小孔邊的應(yīng)力集中。因此，綜合考慮壓電陶瓷的物理參數(shù)和幾何參數(shù)，適當(dāng)選取不同的介質(zhì)組合可以降低結(jié)構(gòu)破壞的可能性。

[1] 方岱寧, 劉金喜. 壓電與鐵電體的斷裂力學(xué). 北京: 清華大學(xué)出 版社, 2008.

[2] GAO C F, FAN W X. Exact solutions for the plane problem in piezoelectric materials with an elliptic or a crack. International Journal of Solids and Structures, 1999, 25: 2527-2540.[3] LEE K L, SOH A K, FANG D N, et al. Fracture behavior of inclined elliptical cavities subjected to mixed-mode I and II electro-mechanical loading. Theoretical and Applied Fracture Mechanics, 2004, 41: 125-135.

[4] GAO C F. Influence of mechanical stresses on partial discharge in a piezoelectric solid containing cavities. Engineering Fracture Mechanics, 2008, 75: 4920-4924.

[5] Sosa Horacio, Khutoryansky Naum. New Developments Concerning Piezoelectric Materials with Defects. International Journal of Solids and Structures, 1996, 33(23): 3399-3414.

[6] CHUNG M Y, TING T C T. Piezoelectric solid with an elliptic inclusion or hole. International Journal of Solids and Structures, 1996, 33(23): 3343-3361.

[7] 周志東, 趙社戌, 匡震邦. 任意點(diǎn)載荷下含橢圓孔壓電介質(zhì)中廣義應(yīng)力和位移分析. 上海交通大學(xué)學(xué)報(bào), 2004, 38(8): 1403-1407.

[8] 戴隆超, 郭萬林. 壓電體橢圓孔邊的力學(xué)分析.力學(xué)學(xué)報(bào), 2004, 36(2): 224-228.

[9] MEGUID S A, WANG X D. Dynamic anti-plane behavior of interacting cracks in a piezoelectric medium. Int. J. Fracture, 1998, 91: 391-403.

[10] 劉殿魁, 林宏. SH波對雙相介質(zhì)界面附近圓形孔洞的散射.固體力學(xué)學(xué)報(bào), 2003, 24(2): 197-204.

[11] WANG X D. On the dynamic behavior of interacting interfacial cracks in piezoelectric media. Int. J. Solids and Structures, 2001, 38: 815-831.

[12] PAO Y H, MOW C C. Diffraction of Elastic Waves and Dynamic Stress Concentrations. New York: Crane and Russak, 1973.

Dynamic Performance of Two Circular Cavities Near the Interface in Piezoelectric Bimaterials

LI Dong1, WANG Huicong1, SONG Tianshu2
(1.Department of Civil Engineering, Hebei Jiaotong Vocational & Technical College, Shijiazhuang 050091, Hebei, China; 2. School of Aerospace and Civil Engineering, Harbin Engineering University, Harbin 150001, Heilongjiang, China)

Based on the method of Green’s function, the problem of SH-wave scattering by two circular cavities near the piezoelectric bimaterials interface was investigated. Firstly, the displacement Green function and the electric potential Green function which were suitable for the problem were constructed by using complex variables methods and multi-polar coordinate systems. Secondly, a series of Fredholm integral equations of fi rst kind for the unknown stresses and electric fi eld could be established based on the connection condition of the interface surface. The dynamic stress concentration factor expressions around the circular cavity edge were also obtained. Finally, some examples and results for two circular cavities near the interface were given and discussed.

dynamic stress concentration factor; piezoelectric bimaterials; circular cavity near the interface; Green’s function

TQ174.75

A

1006-2874(2014)02-0018-07

2013-10-20。

2013-11-02。

Received date: 2013-10-20. Revised date: 2013-11-02.

李 冬，男，講師，博士。

Correspondent author: LI Dong, male, Lecturer, Dr.

E-mail:lidong242@163.com