趙麗麗

摘 要：循歷史腳步探詢(xún)代數(shù)學(xué)的發(fā)展過(guò)程，通過(guò)敘述代數(shù)符號(hào)從無(wú)到有、從雜亂無(wú)序到系統(tǒng)有序，進(jìn)而使得代數(shù)學(xué)成為數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要分支。由此可見(jiàn)，代數(shù)符號(hào)在代數(shù)學(xué)發(fā)展中所起到的重要作用。

關(guān)鍵詞：代數(shù)學(xué)；代數(shù)符號(hào)；未知量

代數(shù)符號(hào)的引入和發(fā)展經(jīng)歷了漫長(zhǎng)的歷史過(guò)程的?，F(xiàn)在的代數(shù)符號(hào)和現(xiàn)代數(shù)碼一樣，是經(jīng)過(guò)世界各民族共同努力，經(jīng)過(guò)幾千年不斷演變而逐漸形成的。盡管整個(gè)符號(hào)系統(tǒng)發(fā)展得如此緩慢，但無(wú)論是古代的希臘，還是東方的中國(guó)，人類(lèi)都以其各自獨(dú)有的文化，建樹(shù)著一座座數(shù)學(xué)史上的豐碑。由于沒(méi)有一套良好的符號(hào)系統(tǒng)，古代的歐洲和阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家，都為形如ax+b=0這樣一個(gè)簡(jiǎn)單的一元一次方程困惑過(guò)。這似乎是不可思議的，因?yàn)樵诮裉?，這樣的方程對(duì)于任何一個(gè)中學(xué)生都是不屑一顧的。然而古代數(shù)學(xué)家曾為此求助于一種較為煩瑣的“試位法”。早在公元1世紀(jì)我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中，就曾使用過(guò)同樣的方法，不過(guò)，書(shū)中用的是另一個(gè)名稱(chēng)，叫“盈不足”。由此可見(jiàn)，一個(gè)可靠而又簡(jiǎn)潔的符號(hào)系統(tǒng)對(duì)于數(shù)學(xué)的發(fā)展起著多么巨大的作用！大約始自15世紀(jì)末至17世紀(jì)中葉，代數(shù)學(xué)才真正進(jìn)入符號(hào)代數(shù)時(shí)期。讓我們遵循時(shí)代的腳步來(lái)探尋代數(shù)學(xué)符號(hào)的源頭。

一、代數(shù)學(xué)符號(hào)的萌芽

1.古代巴比倫的代數(shù)記號(hào)

公元前4000年左右，生活在西亞的底格里斯河和幼發(fā)拉底河之間的地帶（相當(dāng)于現(xiàn)在的伊拉克一帶），即“美索波達(dá)米亞”地區(qū)的人民相繼創(chuàng)造了西亞上古時(shí)期的文明。那時(shí)候，已經(jīng)有了象形文字，大約于公元前1900年形成了奴隸制的巴比倫王國(guó)。巴比倫人的代數(shù)方程是用語(yǔ)文敘述并用語(yǔ)文來(lái)解出的。他們常用“us”（長(zhǎng)），“sag”（寬）和“asa”（面積）這些字來(lái)代表未知量，并不一定因?yàn)樗笪粗看_實(shí)是這些幾何量，而可能是由于許多代數(shù)問(wèn)題來(lái)自幾何方面，因而用幾何術(shù)語(yǔ)成了標(biāo)準(zhǔn)做法。且看如下例子是如何說(shuō)明他們是怎樣用這些術(shù)語(yǔ)表示未知量和陳述問(wèn)題的：“我把長(zhǎng)乘寬得面積10，我把長(zhǎng)自乘得面積，我把長(zhǎng)大于寬的量自乘，再把這個(gè)結(jié)果乘以9，這個(gè)面積等于長(zhǎng)自乘所得的面積。問(wèn)長(zhǎng)和寬分別是多少？”很明顯，這里的文字“長(zhǎng)、寬和面積”，只不過(guò)是分別代表兩個(gè)未知量及其乘積的方便說(shuō)法。這個(gè)問(wèn)題的現(xiàn)今寫(xiě)法就是

xy=10

9（x-y）2=x2。

值得一提的是，巴比倫人有時(shí)也用記號(hào)表示未知量，但這種記法只是偶爾用之。在有些問(wèn)題里，他們用兩個(gè)蘇美爾文字表示兩個(gè)互為倒數(shù)的未知數(shù)。又因?yàn)檫@兩個(gè)文字在古蘇美爾文里是用象形記號(hào)的，而這兩個(gè)象形記號(hào)當(dāng)時(shí)已不流行，所以結(jié)果就等于用兩個(gè)特殊記號(hào)來(lái)表示未知量。

從出土的古巴比倫的泥板上的楔形文字中發(fā)現(xiàn)，巴比倫人用特殊的名稱(chēng)和記號(hào)來(lái)表示未知量，采用了少數(shù)幾個(gè)運(yùn)算記號(hào)，解出了含有一個(gè)或較多未知量的幾種形式的方程，特別是解出了二次方程，甚至某些三次、四次（可化為二次的）和個(gè)別指數(shù)方程，并且能夠把它們應(yīng)用于天文學(xué)和商業(yè)等實(shí)際問(wèn)題中去，這些都是代數(shù)的開(kāi)端。

2.古代埃及的代數(shù)記號(hào)

埃及人創(chuàng)造了一套1到1000萬(wàn)的有趣的象形數(shù)字記號(hào)，有自然數(shù)和分?jǐn)?shù)的算術(shù)四則運(yùn)算，但分?jǐn)?shù)的表示和運(yùn)算方法繁雜。在古埃及有限的代數(shù)里實(shí)際上沒(méi)有成套的記號(hào)，在埃及的草片文書(shū)中，加法和減法用一個(gè)人走近和走開(kāi)（來(lái)和去）的腿形來(lái)表示，記號(hào)“г”用來(lái)表示平方根。除此之外，古埃及人把未知數(shù)稱(chēng)為‘堆（hau），它本來(lái)的意思是指數(shù)量是未知數(shù)的谷物的堆。在蘭德紙草上有一個(gè)方程問(wèn)題：“有一堆，它的 加它的 ，加它的 ，再加它全部共為33”，埃及人的寫(xiě)法非常的有趣：用現(xiàn)在的計(jì)算形式寫(xiě)出來(lái)就是：x+ x+ x+ x=33.紙草的作者用算術(shù)方法正確地解決了這個(gè)問(wèn)題：x=14 。

3.古代希臘的代數(shù)記號(hào)

在希臘，一個(gè)對(duì)代數(shù)有著特殊貢獻(xiàn)的人是必須提到的，他就是亞歷山大時(shí)期的著名數(shù)學(xué)家丟番圖。他的一部巨著《算術(shù)》也像某些埃及的草片紙本一樣是個(gè)別問(wèn)題的匯集。丟番圖做出的一步重大的進(jìn)展是在代數(shù)中采用一套符號(hào)。由于我們沒(méi)有他的親筆手稿而只看到很久以后的本子，所以不能確切地知道他引入了哪些符號(hào)。據(jù)說(shuō)他用來(lái)表示未知量的記號(hào)是“s”，就像我們的“x”一樣，這“s”可能同用在希臘字末尾的那個(gè)希臘字母σ是一樣的，而丟番圖之所以用它來(lái)表示未知量，可能就是因?yàn)橛米帜副硎緮?shù)的希臘記數(shù)制中只有這個(gè)字母沒(méi)有被用來(lái)表示數(shù)。丟番圖把未知量稱(chēng)作“題中的數(shù)”。我們的“x2”丟番圖記為ΔY，而Δ是希臘字δνυαμιs的第一個(gè)字母。x3是KY；這里的K是從κνβο而來(lái)的。x4是ΔYΔ，

x5是ΔKY；x6是KYK。在這套符號(hào)里，KY沒(méi)有清楚地表明是x的立方，而我們的x3則明白表出它是x的立方。丟番圖的S=1/X，他又用一些名次稱(chēng)謂這些乘冪，例如稱(chēng)x為“數(shù)”，稱(chēng)x2為“平方”，稱(chēng)x3為“立方”，稱(chēng)x4為“平方平方”，稱(chēng)x5為“平方-立方”，稱(chēng)x6為“立方立方”。

出現(xiàn)這一套符號(hào)當(dāng)然是了不起的，但他使用三次以上的高次乘冪更是件了不起的事。古典希臘數(shù)學(xué)家不能也不愿考慮含三個(gè)以上因子的乘積，因?yàn)檫@種乘積沒(méi)有幾何意義，但在純算術(shù)中，這種乘積卻確有其意義，而這正是丟番圖所采取的觀點(diǎn)。

丟番圖寫(xiě)加法時(shí)把相加的各項(xiàng)并列在一起，把所有負(fù)項(xiàng)都寫(xiě)在正項(xiàng)之后。加法、乘法和除法的運(yùn)算記號(hào)是沒(méi)有的。符號(hào)用來(lái)表示相等。代數(shù)式的系數(shù)都是特定的數(shù)；他不用表示一般系數(shù)的符號(hào)，因他確實(shí)用了一套記號(hào)，所以后人把丟番圖的代數(shù)稱(chēng)作縮寫(xiě)代數(shù)，而把埃及，巴比倫的代數(shù)稱(chēng)作文字?jǐn)⑹龃鷶?shù)。

丟番圖的解題步驟是像我們寫(xiě)散文那樣一個(gè)字接著一個(gè)字寫(xiě)的。他做的運(yùn)算是純算術(shù)性的，不求助于幾何直觀來(lái)作具體說(shuō)明?？偟恼f(shuō)來(lái)，丟番圖發(fā)展了巴比倫的代數(shù)，采用了一整套符號(hào)，使得代數(shù)學(xué)發(fā)展到了一個(gè)新的階段，這些都是非常了不起的。所以丟番圖也被后人奉為代數(shù)學(xué)的鼻祖。

4.古代印度和阿拉伯的代數(shù)記號(hào)

在數(shù)學(xué)史上，希臘人的后繼者是印度人。公元2～12世紀(jì)是印度數(shù)學(xué)的高潮時(shí)期，印度人大大推進(jìn)算術(shù)和代數(shù)的進(jìn)展。他們最先制定了現(xiàn)在世界通用的印度——阿拉伯?dāng)?shù)碼。在代數(shù)上他們用縮寫(xiě)的文字和一些記號(hào)來(lái)描述運(yùn)算。當(dāng)有一個(gè)以上的未知量時(shí)，他們用顏色的名稱(chēng)來(lái)代表。例如，第一個(gè)叫未知量，其他的就叫黑的、藍(lán)的、黃的等。每個(gè)字的頭一個(gè)字母也被他們拿來(lái)作為記號(hào)。這套記號(hào)雖然不多，但足夠使印度代數(shù)稱(chēng)得上是符號(hào)性的代數(shù)，并且符號(hào)肯定比丟番圖的縮寫(xiě)代數(shù)用的多。

從9世紀(jì)開(kāi)始，外國(guó)數(shù)學(xué)發(fā)展的中心轉(zhuǎn)向了阿拉伯和中亞細(xì)亞地區(qū)。阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)起著承前啟后的作用。他們發(fā)展了代數(shù)，建立了解方程的方法，得到一元二次方程的求根公式。在此必須一提的是阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家花拉子米，他從印度回國(guó)后著《代數(shù)學(xué)》一書(shū)。他的第一個(gè)貢獻(xiàn)是創(chuàng)建“代數(shù)”這門(mén)學(xué)科的名稱(chēng)。代數(shù)來(lái)自于阿拉伯文的“al-jabr”.阿拉伯文“jbr”的意義是“恢復(fù)”“還原”。解方程時(shí)將負(fù)項(xiàng)移到另一端，變成正項(xiàng)，也可以說(shuō)是一種“還原”。書(shū)名后面的那個(gè)阿拉伯文“muqabala”原意為“對(duì)抗”“平衡”，用來(lái)指消去方程兩端相同的項(xiàng)或合并同類(lèi)項(xiàng)，也可譯為“對(duì)消”?；ɡ用追Q(chēng)未知量為“東西”或（植物的）“根”，從而把解未知量叫做求根?？上У氖前⒗藳](méi)有采用成套的符號(hào)。他們的代數(shù)完全是用文字?jǐn)⑹龅模绕鹩《热松踔帘绕饋G番圖都后退了一步。

5.古代中國(guó)的代數(shù)記號(hào)

中國(guó)古人很早就有了關(guān)于方程的知識(shí)，早在秦漢時(shí)期，天文歷法有了較大的發(fā)展，為了編制歷法，當(dāng)時(shí)的中國(guó)數(shù)學(xué)家就已經(jīng)知道了一些方程的解法。起初，人們還用“天、上……仙”九個(gè)字分別表示未知數(shù)的正冪，用“地、下……鬼”九個(gè)字表示負(fù)冪，用“人”表示常數(shù)項(xiàng)。以后經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)化，金代數(shù)學(xué)家李冶在其著作《測(cè)圓海鏡》中使用了天元術(shù)，明確地用“天元”表示未知數(shù)一次項(xiàng)，“立天元一為某某”相當(dāng)于現(xiàn)代數(shù)學(xué)中的“設(shè)x為某某”，用天、地表示方程的正次冪和負(fù)次冪，用“太”表示常數(shù)項(xiàng)。規(guī)定正冪在上、常數(shù)和負(fù)冪在下。根據(jù)問(wèn)題設(shè)未知數(shù)，列出兩個(gè)相等的多項(xiàng)式，進(jìn)行多項(xiàng)式運(yùn)算，最后列出有待求解的方程，并且建立了設(shè)立方程解決實(shí)際問(wèn)題的方法。天元術(shù)已有現(xiàn)代列方程記法的雛形，難怪現(xiàn)代史家稱(chēng)它為“半符號(hào)代數(shù)”。在天元術(shù)中，一次項(xiàng)系數(shù)旁記一“元”字（或在常數(shù)項(xiàng)旁記一“太”字），“元”以上的系數(shù)表示各正次冪，“元”以下的系數(shù)表示常數(shù)和各負(fù)次冪（或“太”以上的系數(shù)表示各正次冪，“元”以下的系數(shù)表示各負(fù)次冪）。

約公元50年成書(shū)的《九章算術(shù)》，是中國(guó)流傳至今最古老的一部數(shù)學(xué)專(zhuān)著。在這本書(shū)中就已經(jīng)使用了“方程”這個(gè)名詞，把天元術(shù)的原理應(yīng)用于聯(lián)立方程組，并且出現(xiàn)了解一元一次方程和一元二次方程等許多代數(shù)問(wèn)題。由于中國(guó)古代使用算籌計(jì)算，利用算籌的位置表示未知數(shù)及其次數(shù)，只用算籌擺出其系數(shù)就可以求解，1247年南宋秦九韶引入了一元高次方程的一般解法，除了用位置表示未知數(shù)及其次數(shù)外，還用了一些專(zhuān)門(mén)術(shù)語(yǔ)。

把天元術(shù)的原理應(yīng)用于聯(lián)立方程組，先后產(chǎn)生了二元術(shù)、三元術(shù)和四元術(shù)。這是十三世紀(jì)中到十四世紀(jì)初我國(guó)宋元時(shí)期數(shù)學(xué)家又一輝煌成就。現(xiàn)有傳本的朱世杰的《四元玉鑒》就是一部杰出的四元術(shù)著作。所謂四元術(shù)，就是用天、地、人、物四元表示四元高次方程組。列式的方法是：在常數(shù)右側(cè)記一“太”字，天、地、人、物四元和它們的乘冪的系數(shù)分別列于“太”字的下、左、右、上，相鄰兩未知數(shù)和它們的乘冪的積的系數(shù)記入相應(yīng)的兩行相交的位置上，不相鄰的幾個(gè)未知數(shù)的積的系數(shù)記入相應(yīng)的夾縫中。我們用x、y、z、u分別表示天、地、人、物四元。用“元”代表未知數(shù)的說(shuō)法，也一直沿用到現(xiàn)在。

二、代數(shù)學(xué)符號(hào)的發(fā)展

在16世紀(jì)以前，自覺(jué)運(yùn)用一套符號(hào)以使代數(shù)的思路和書(shū)寫(xiě)更加緊湊更加有效的人只有丟番圖，但他基本上是簡(jiǎn)寫(xiě)或縮寫(xiě)。記號(hào)上的所有其他變動(dòng)無(wú)非是標(biāo)準(zhǔn)文字的縮寫(xiě)，而且頗為隨便。例如p代表plus（加），m代表minus（減），等等。尤其是用符號(hào)表示未知量及未知量的乘冪的進(jìn)展更為緩慢。像radix（拉丁語(yǔ)“根”），res（拉丁語(yǔ)“東西”），cosa（意大利語(yǔ)“東西”），coss（德語(yǔ)“東西”）這類(lèi)的詞，都曾被用于作未知數(shù)，因此，在當(dāng)時(shí)代數(shù)是以“cossic”術(shù)（意即求根術(shù)）之名出現(xiàn)的。15、16世紀(jì)不少歐洲數(shù)學(xué)家在改進(jìn)符號(hào)方面做了許多貢獻(xiàn)?，F(xiàn)代用的等號(hào)“=”叫雷科德符號(hào)（Recordessign），是雷科德（R.Recorde）在1557年出版的一本書(shū)《碩智石》中第一次作為等號(hào)使用的。書(shū)中寫(xiě)道：“為了避免反復(fù)使用‘isequalto這個(gè)短語(yǔ)，我采用了一對(duì)等長(zhǎng)的平行線(xiàn)段來(lái)表示，因?yàn)闆](méi)有任何其他兩樣?xùn)|西比一對(duì)等長(zhǎng)的平行線(xiàn)段更顯得相等了。”但其推廣非常緩慢，后來(lái)的著名人物如開(kāi)普勒、伽利略等人一直用文字或縮寫(xiě)語(yǔ)如aequab，aeqantar，ae，esgale等表示相等，笛卡兒在1637年還利用“=”表現(xiàn)代“±”號(hào)的意義，而用“∞”作等號(hào)。直到17世紀(jì)晚期，用“=”作等號(hào)才為人們所接受，并逐漸得到通用。

而代數(shù)名稱(chēng)與符號(hào)記法因人而異?？ǖぴ谒摹吨匾乃囆g(shù)》中把未知量稱(chēng)作“remignotam”（不知道的東西），他還用qdratuaeqtur4rebusp：32表示x2=4x+32。邦貝利（R.Bombelli，1526～1572）在他的《大術(shù)》一書(shū)中把x，x2和x3寫(xiě)成1，2和3。例如，1+3x+6x2+x3就成了1p.3p.6p.1。1585年，Stevin把這個(gè)式子寫(xiě)成1+3+6+1。Stevin還用分?jǐn)?shù)指數(shù)表示平方根，表示立方根等等。

直到16世紀(jì)中，迅速發(fā)展的科學(xué)對(duì)數(shù)學(xué)家提出了引進(jìn)符號(hào)體系的迫切要求。代數(shù)性質(zhì)上最重大的變革是由法國(guó)數(shù)學(xué)家韋達(dá)（FrancoisVieta，1540～1603）在符號(hào)體系方面引入的。韋達(dá)是第一個(gè)有意識(shí)地使用字母的人。他在研讀了Cardan，Bombelli，Stevin和Diophantus的著作后獲得了使用字母的想法。他不僅用字母表示未知量和未知量的乘冪，而且用來(lái)表示一般的系數(shù)。通常他用輔音字母表示已知量，用元音字母表示未知量。他把他的符號(hào)性代數(shù)稱(chēng)作logisticaspeciosa（類(lèi)的籌算術(shù)），以別于logisticanumerosa

（數(shù)的籌算術(shù)）。1591年，他出版的《分析術(shù)引論》（InArtemAnalyticamIsagoge）是一部符號(hào)代數(shù)的最早著作，規(guī)定了算術(shù)和代數(shù)的分界線(xiàn)，建立“類(lèi)”的概念，用一般的類(lèi)取代特殊的數(shù)。通俗地說(shuō)就是把形如求解方程x2+10x=39演變成求解方程x2+ax=b的初等代數(shù)。這種認(rèn)識(shí)把代數(shù)看成關(guān)于字母的計(jì)算，即關(guān)于由字母構(gòu)成的公式的變換以及關(guān)于代數(shù)方程的科學(xué)。代數(shù)就一下子成為研究一般類(lèi)型的形式和方程的學(xué)問(wèn)。正因?yàn)橛辛朔?hào)體系，代數(shù)才得以進(jìn)一步發(fā)展。后來(lái)，數(shù)學(xué)家笛卡兒（ReneDescartes，1596～1650）對(duì)此作出了改進(jìn)，第一個(gè)提倡用x、y、z表示未知數(shù)。他在《幾何學(xué)》（1637年）中用x3--9xx+26x--240表示x3-9x2+26x-24=0。這與現(xiàn)在的寫(xiě)法基本類(lèi)似。

在有了系統(tǒng)的代數(shù)符號(hào)以后，數(shù)學(xué)家們開(kāi)始研究二次方程的解，后來(lái)有了一般的求根公式，再后來(lái)對(duì)三次、四次方程也有了一般的求根公式，而且從中導(dǎo)致了復(fù)數(shù)的發(fā)現(xiàn)。但對(duì)五次或五次以上的方程求解，在找一般的求解公式時(shí)，卻遇到的極大的困難。不斷的失敗啟示人們，是否這樣的一般公式根本就不存在？在1832年，天才的伽羅瓦（E.Galois）徹底解決了這個(gè)問(wèn)題。即一般的五次或五次以上的方程沒(méi)有求根公式。伽羅瓦在解決這個(gè)問(wèn)題時(shí)，第一次明確提出了群的概念，他正是用“群論”的方法創(chuàng)造性地解決了上述問(wèn)題。隨著四元數(shù)、向量、矩陣、線(xiàn)性變換等一系列更具一般性的研究對(duì)象的出現(xiàn)，代數(shù)的面貌發(fā)生了一系列深刻的變化。盡管代數(shù)仍是一門(mén)關(guān)于運(yùn)算的科學(xué)，但它已經(jīng)從局限于研究數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)的數(shù)學(xué)分支，變成研究更為一般的代數(shù)運(yùn)算的規(guī)律和性質(zhì)的龐大的數(shù)學(xué)分支。這就是抽象代數(shù)，或稱(chēng)近世代數(shù)。

盡管代數(shù)學(xué)向前邁了一大步，但為了使記號(hào)精簡(jiǎn)起見(jiàn)，規(guī)定除非絕對(duì)必要時(shí)，一般不引進(jìn)新的記號(hào)，或者根據(jù)需要對(duì)原來(lái)的記號(hào)稍加修改。哈密而頓（W.R.Hamilton）定義了向量的外積和內(nèi)積，格拉斯曼（H.G.Grassmann）給出了包括內(nèi)積、外積在內(nèi)的幾種積。向量的外積在向量分析中占有中心地位。1846年格拉斯曼用a×b表示內(nèi)積，1862年又表示為[ulv]，在1844年和1862年他用[uv]表示外積。最先用“uv”表示向量積的是俄國(guó)的索莫夫（1907年），吉布斯（J.W.Gibbs）把數(shù)量積成為“點(diǎn)積”（dotproduct）并記為u·v，他還用u×v表示向量積，這種用法一直沿用到現(xiàn)在。荷蘭數(shù)學(xué)家洛倫茲（HendrikAntoonLorentz，1853-1928）把數(shù)量積記為（u，v），向量外積記為[u·v]。特納等人于1903年記內(nèi)積為（u，v），現(xiàn)在也常用，對(duì)應(yīng)的向量外積記為[u，v]。人類(lèi)對(duì)科學(xué)的探索永無(wú)止境，隨著代數(shù)學(xué)的不斷前進(jìn)發(fā)展，根據(jù)使用的需要還會(huì)產(chǎn)生更多的符號(hào)。

代數(shù)學(xué)發(fā)展的關(guān)鍵是建立了一套有效的符號(hào)體系，首要的一步是引進(jìn)符號(hào)代表數(shù)字，用符號(hào)代替文字?jǐn)⑹觥Ｕ缈巳R因所說(shuō)：“代數(shù)學(xué)上的進(jìn)步是引進(jìn)了較好的符號(hào)體系，這對(duì)它本身和分析的發(fā)展比16世紀(jì)技術(shù)上的進(jìn)步尤為重要。事實(shí)上，采取了這一步，才使代數(shù)有可能成為一門(mén)科學(xué)?！庇辛诉@些先進(jìn)、簡(jiǎn)明的代數(shù)符號(hào)來(lái)表示并反映事物的內(nèi)在本質(zhì)，人們的思維活動(dòng)才能以驚人的方式得以簡(jiǎn)化。

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（作者單位 廣東省深圳市高級(jí)中學(xué)初中部）

編輯 魯翠紅