馬 彥 李 威

(北京科技大學機械工程學院學院，北京100083)

近年來，精密機械的廣泛應用對定位系統(tǒng)提出了更高的要求，而定位系統(tǒng)的主要功能部件就是絲杠進給系統(tǒng)［1-3］。絲杠進給系統(tǒng)是一種力和運動傳輸裝置。絲杠進給系統(tǒng)最重要的兩個特點是它的定位精度和承載能力［4-6］。這兩個優(yōu)點使它適合用作機床進給機構和高精密平臺的驅(qū)動副［7-9］。滾珠絲杠進給系統(tǒng)已使用許多年了，但關于滾珠絲杠進給系統(tǒng)(以下簡稱統(tǒng)杠進給系統(tǒng))性能參數(shù)(像軸向載荷、接觸角、滾珠個數(shù)、螺旋升角和曲率比)如何影響絲杠進給系統(tǒng)的軸向接觸剛度還沒有徹底研究清楚。

1 赫茲點接觸理論

點接觸的兩個物體，在載荷Q的作用下，接觸點將擴展成為一個接觸面。該接觸面在與接觸法線垂直面的投影為一個橢圓，長軸為2a，短軸為2b，如圖1a所示。在接觸區(qū)域內(nèi)，接觸應力按半橢球分布，如圖1b 所示。

根據(jù)赫茲接觸理論，可推導整理出絲杠進給系統(tǒng)中滾珠與絲杠、螺母之間的接觸橢圓尺寸、接觸變形和接觸應力之間關系的公式，分別為:

式中:Q為單個滾珠所承受的法向壓力;a、b為接觸橢圓長、短半軸;σmax為最大接觸應力;δ為兩接觸物體上相距很遠點之間的相互趨近量;E'為當量彈性模量;E1、E2為兩接觸物體的彈性模量;μ1、μ2為兩接觸物體的泊松比;∑ρ為兩物體在接觸點處的主曲率之和，僅與接觸副的形狀有關;ma、mb為接觸橢圓的長、短半軸系數(shù);δ*為僅與接觸橢圓的橢圓參數(shù)有關的無量綱系數(shù)。

2 絲杠進給系統(tǒng)軸向接觸剛度理論模型的建立

絲杠進給系統(tǒng)在軸向載荷的作用下，中間元件滾珠分別與螺母、絲杠滾道面接觸，以傳遞載荷，并產(chǎn)生相應的接觸變形。當滾珠與滾道面在載荷作用下相接觸時，可以看作是兩個自由曲面彈性體在壓力作用下的點接觸問題。絲杠進給系統(tǒng)的接觸剛度來自于滾珠、絲杠和螺母彈性元件的彈性變形。該接觸剛度指絲杠進給系統(tǒng)結合面在外力作用下抵抗變形的能力。一般以在加載方向上使絲杠進給系統(tǒng)產(chǎn)生變形量為1 μm 時所需要的力F來表示，即

式中:K為絲杠進給系統(tǒng)的接觸剛度;F為絲杠進給系統(tǒng)的軸向載荷;ΔL為絲杠進給系統(tǒng)的軸向接觸變形量。

根據(jù)赫茲接觸理論，如果已知絲杠進給系統(tǒng)中鋼球與滾道接觸副的結構參數(shù)，就可以計算出絲杠進給系統(tǒng)中的接觸壓力和變形，進而求得接觸剛度。

2.1 絲杠進給系統(tǒng)的軸向載荷Q

考慮螺旋升角，假設單個滾珠受到的法向載荷為Q，總體滾珠受到的法向載荷為Qz=zQ，則總體承載滾珠的法向載荷Qz和螺母受到的軸向推力Fa之間的關系為

式中:Fa為螺母受到的軸向推力;z為總的工作滾珠個數(shù);β為接觸角;λ為螺旋升角。

2.2 絲杠進給系統(tǒng)的軸向接觸剛度

假設絲杠進給系統(tǒng)所受的工作載荷分布均勻，則在法向載荷的作用下，螺母滾道面與絲杠滾道面間由于法向彈性接觸變形所產(chǎn)生的彈性變形量δn為

式中:δnp為滾珠與螺母滾道面的彈性接觸變形量;δsp為滾珠與絲杠滾道面的彈性接觸變形量;∑ρn為螺母側滾道主曲率之和;∑ρs為絲杠側滾道主曲率之和。

螺母滾道面與絲杠滾道面的法向彈性位移δn，會使得螺母相對于絲杠在軸線方向上產(chǎn)生軸向彈性變形量，設其值為δa，由圖2 所示幾何關系可得式(10)。

將式(8)、(9)代入式(10)，可得絲杠進給系統(tǒng)的載荷變形關系)

將式(11)兩邊對δa求導，可得絲杠進給系統(tǒng)的軸向剛度為

由式(12)可知，絲杠進給系統(tǒng)的軸向剛度受軸向載荷、接觸角、螺旋升角、滾珠個數(shù)、主曲率和等因素的影響。絲杠進給系統(tǒng)在停頓和換向時，突然加載或卸載，都會產(chǎn)生軸向彈性變形，這就使?jié)L珠絲杠的運動產(chǎn)生一定滯后，從而影響絲杠進給系統(tǒng)的定位精度。

3 絲杠進給系統(tǒng)軸向接觸剛度的影響因素分析

3.1 軸向載荷

本文所用絲杠進給系統(tǒng)各部件的材料均為軸承鋼，室溫下其結構性能參數(shù)如表1 所示。

表1 絲杠進給系統(tǒng)結構性能參數(shù)

根據(jù)絲杠進給系統(tǒng)軸向剛度的計算公式，取軸向工作載荷為1 ～12 kN 之間。由式(12)計算得到不同接觸角時絲杠進給系統(tǒng)軸向剛度與軸向載荷的關系曲線如圖3 所示。

由圖3 可以看出，絲杠進給系統(tǒng)的軸向剛度隨著軸向載荷的增大而增大，并且軸向剛度隨軸向載荷的變化呈非線性。

3.2 接觸角

接觸角是絲杠進給系統(tǒng)的重要結構設計參數(shù)之一。接觸角對絲杠進給系統(tǒng)的傳動性能影響很大。保持其他參數(shù)不變，絲杠進給系統(tǒng)的軸向載荷分別取2、4、6、8 和12 kN，接觸角在30° ～60°變化時，接觸角與絲杠進給系統(tǒng)軸向剛度的關系曲線如圖4 所示。

由圖4 可知，接觸角在30° ～60°范圍內(nèi)變化時，絲杠進給系統(tǒng)的軸向接觸剛度隨接觸角的增加而增大。但接觸角越大，加工越困難，一般取標準接觸角為45°。

3.3 滾珠個數(shù)

在一個螺母上具有獨立運動的滾珠鏈數(shù)目稱為列數(shù)。如果只有一條獨立運動的滾珠鏈，稱為單列;有兩條則稱為雙列;兩條以上則稱為多列。工作滾珠數(shù)是指一條獨立運動的滾珠鏈的滾珠數(shù)(即一列中的滾珠數(shù))。通常一列中的工作滾珠數(shù)不超過150 顆。因為在一列中滾珠數(shù)越多，傳動效率越低，運行阻力越大，尤其啟動更困難，甚至導致阻滯，產(chǎn)生卡球現(xiàn)象。因此要限制工作滾珠數(shù)，其目的在于保持滾珠流暢性。

保持其他參數(shù)不變，絲杠進給系統(tǒng)的軸向載荷分別為2、4、6、8 和12 kN，滾珠個數(shù)在30 ～70 變化時，滾珠個數(shù)與絲杠進給系統(tǒng)軸向剛度的關系曲線如圖5。

由圖5 可知，絲杠進給系統(tǒng)的軸向接觸剛度隨滾珠個數(shù)的增加而增大，并且絲杠進給系統(tǒng)的軸向剛度與滾珠個數(shù)的變化關系接近線性。

3.4 螺旋升角

絲杠進給系統(tǒng)高速化，要求一方面提高絲杠軸的轉(zhuǎn)速，另一方面增加絲杠進給系統(tǒng)的導程。增大導程就意味著增大絲杠進給系統(tǒng)的螺旋升角。螺旋升角增大，絲杠進給系統(tǒng)的性能就會發(fā)生變化，尤其是絲杠進給系統(tǒng)的軸向接觸剛度。因此有必要研究螺旋升角對絲杠進給系統(tǒng)軸向接觸剛度的影響。

保持其他參數(shù)不變，絲杠進給系統(tǒng)的軸向載荷分別取2、4、6、8 和12 kN，螺旋升角在2° ～22°變化時，絲杠進給系統(tǒng)的螺旋升角對軸向剛度的影響如圖6 所示。由圖6 可知，絲杠進給系統(tǒng)的軸向接觸剛度隨螺旋升角的增加而增大，但增加幅度不明顯。

3.5 滾道曲率比

絲杠進給系統(tǒng)中螺紋滾道圓弧半徑與滾珠半徑的比值稱為滾道曲率比，滾道曲率比的大小對絲杠進給系統(tǒng)的傳動承載能力有很大的影響。

保持其它參數(shù)不變，絲杠進給系統(tǒng)的軸向接觸載荷分別為2、4、6、8 和12 kN，滾道曲率比在1.02 ～1.18 變化時，滾道曲率比對絲杠進給系統(tǒng)軸向接觸剛度的影響如圖7 所示。由圖7 可知，絲杠進給系統(tǒng)的軸向接觸剛度隨滾道曲率比的增加而減小，并且絲杠進給系統(tǒng)的軸向接觸剛度與滾道曲率比的變化關系呈非線性。

4 結語

本文利用赫茲接觸理論建立了絲杠進給系統(tǒng)的軸向接觸剛度模型，通過仿真實驗分析了絲杠進給系統(tǒng)軸向接觸剛度的影響因素。結果表明:絲杠進給系統(tǒng)軸向接觸剛度隨軸向載荷的增加而增大，并且軸向接觸剛度隨軸向載荷變化呈非線性;接觸角在30° ～60°變化時，絲杠進給系統(tǒng)的軸向接觸剛度隨接觸角的增加而增大;絲杠進給系統(tǒng)的軸向接觸剛度隨滾珠個數(shù)的增加而增大，并且絲杠進給系統(tǒng)的軸向剛度與滾珠個數(shù)的變化關系接近線性;絲杠進給系統(tǒng)的螺旋升角在2° ～22°變化時，絲杠進給系統(tǒng)軸向接觸剛度隨螺旋升角的增加而增大，但增大幅度不明顯;絲杠進給系統(tǒng)軸向接觸剛度隨曲率比的增加而明顯減小。

［1］Kim M S，Chung S C. A systematic approach to design high -performance feed drive systems［J］. International Journal of Machine Tools ＆Manufacture，2005，45(12):1421 -1435.

［2］Ebrahimi M，Whalley R. Analysis，modeling and simulation of stiffness in machine tool drives［J］. Computers ＆ Industrial Engineering，2000，38(1):93 -105.

［3］Zaeh M F，Oertli T. Finite element formulation of pre - stressed ball screw drives［C］. Proceedings of the 7th Biennial Conference on Engineering Systems Design and Analysis， Manchester， United Kingdom，2004.

［4］Maj R，Modica F ，Bianchi G. Machine tools mechatronic analysis［J］.Journal of Engineering Manufacture，2006，220:345 -353.

［5］Chen J S，Huang Y K，Cheng C C. Mechanical model and contouring analysis of high-speed ball-screw drive systems with compliance effect［J］. International Journal of Advanced Manufacturing Technology，2004，24(3):241 -250.

［6］Nakashima K，Takafuji K. Stiffness of a pre - loaded ball screw［J］.Transactions of the Japan Society of Mechanical Engineers，1987，53(492):1898 -1904.

［7］Harada H，Kagiwada T. Development of dimensional measurement and shape analysis system for ball screw［J］. Transactions of the Japan Society of Mechanical Engineers，1997，63(612):2911 -2917.

［8］蔣書運，祝書龍. 帶滾珠絲杠副的直線導軌結合部動態(tài)剛度特性［J］. 機械工程學報，2010，46(1):92 -99.

［9］尹明. 兩端固定支承的絲杠軸向剛度分析［J］. 精密制造與自動化，2007(3):32 -34.