陶良勝

（蕪湖縣第一中學(xué)安徽·蕪湖241100）

中學(xué)數(shù)學(xué)“點到直線的距離”的教學(xué)設(shè)計

陶良勝

（蕪湖縣第一中學(xué)安徽·蕪湖241100）

數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，教師必須促使學(xué)生積極參與到教學(xué)中去，通過主動建構(gòu)來學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，獲的知識，因此數(shù)學(xué)課堂的教學(xué)設(shè)計至關(guān)重要。數(shù)學(xué)課堂教學(xué)設(shè)計首先要創(chuàng)設(shè)情境，建立數(shù)學(xué)模型，激發(fā)學(xué)生的興趣和提高探索解決問題的能力；其次要教學(xué)中要凸顯數(shù)學(xué)思維，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)主動性；最后通過數(shù)學(xué)思想方法的提煉，來加深學(xué)生對知識概念的理解，促使學(xué)生數(shù)學(xué)思維了學(xué)習(xí)能力的提高。

中學(xué)數(shù)學(xué) 課堂教學(xué) 教學(xué)設(shè)計 教學(xué)方法

新課程標(biāo)準(zhǔn)指出：“要重視從學(xué)生的生活實踐和已有知識中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，理解數(shù)學(xué)。”在教學(xué)過程中，應(yīng)讓學(xué)生積極主動參與全過程，促進學(xué)生思維最大限度地得到發(fā)展，所以在課堂上如何讓學(xué)生的思維動起來是首要任務(wù)。用建構(gòu)主義的觀點來看，一堂課的效果如何首先應(yīng)當(dāng)關(guān)注學(xué)生學(xué)得如何，因為知識是不能傳遞的，教師傳遞的只是信息，知識必須通過學(xué)生的主動建構(gòu)才能獲得。教師提出問題，為學(xué)生的探索活動提供一種可能與條件，促進了學(xué)生對知識的主動構(gòu)建。

一、創(chuàng)設(shè)問題情境，建立數(shù)學(xué)模型，引發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)主動性

本節(jié)課的開頭部分，我是這樣設(shè)計的：

第一步：用多媒體展示生活背景：電信局計劃年底解決本地區(qū)新建小區(qū)P的電話通信問題，離它最近的只有一條線路通過，要完成這項任務(wù)，至少需要多長的電纜？讓學(xué)生從熟知的生活中理解點到直線距離的定義和意義：點到直線的距離是點與直線上的所有點的距離中最小的。

第二步：針對此具體的實例，把生活問題數(shù)學(xué)化，通過地圖，建立數(shù)學(xué)模型，把直線和點放在平面直角坐標(biāo)系中，并設(shè)出它們的坐標(biāo)，得到問題1：求點0（1，2）到直線l:2x+y+1=0的距離。

問題1可以通過提問的形式解決，設(shè)置符合最近發(fā)展區(qū)原則，是在學(xué)生已有知識的基礎(chǔ)上建立的，學(xué)生用已有的直線的知識，包括兩點距離公式、直線方程、求兩條直線的交點等，通過自己的努力，絕大多數(shù)同學(xué)都是可以解決的。所以通過這兩步的安排，使學(xué)生主動地解決了一個具體的問題，從中也體會到了學(xué)習(xí)的樂趣，引發(fā)了他們學(xué)習(xí)的主動性，繼續(xù)探索，接受挑戰(zhàn)。

二、巧設(shè)思辨性問題，凸顯數(shù)學(xué)思維，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性

本節(jié)課的課型屬于“問題教學(xué)”，學(xué)起于思，思起于疑。在組織教學(xué)的過程當(dāng)中，以問題為中心和紐帶，把問題貫穿在始終，使學(xué)生的學(xué)習(xí)過程成為感受、理解知識產(chǎn)生和發(fā)展的過程，把學(xué)習(xí)知識的過程變成學(xué)生自主探究的再發(fā)現(xiàn)、再創(chuàng)造的過程，進而培養(yǎng)學(xué)生的問題意識和科學(xué)精神。本節(jié)課的重點在于得到點到直線的距離公式，而在不斷追問的過程當(dāng)中，也達到了突出重點和分散難點的目的。

問題1的解決只是“淺嘗”，我們還要進一步的“深究”。而有了問題1的基礎(chǔ)，符合學(xué)生的認知規(guī)律，符合從具體到抽象的規(guī)律，此時乘勝追擊，馬上拋出問題2：求點0（x0+y0）到直線l:x+y+=0的距離。

本環(huán)節(jié)中，我是這樣設(shè)計的：第一步：問題2提出后，給學(xué)生一點思考的時間，并找同學(xué)回答解題思路。因為問題1的解決已經(jīng)給了明顯的提示，大部分同學(xué)可以想到利用求垂足點Q的坐標(biāo)的辦法。這種辦法記為解法1：直接法，解法1思路直接自然，學(xué)生易于接受。學(xué)生有此想法后，讓他們動手計算，但只是讓學(xué)生淺嘗則止，體會一下計算的繁瑣，（也可布置作為課后作業(yè)），從情感上理解“知難也可退”，也許“退一步海闊天空”。

第二步：學(xué)生有了對解法1的暫時避讓后，思維又開始活動，愿意主動探究其他更優(yōu)的解法。此時教師適時點撥，設(shè)計思辨性的小問題，不斷地進行追問：

（1）既然解法1繁，那么繁在哪里？（學(xué)生不難發(fā)現(xiàn)難在求交點。）

（2）那么你有好的辦法嗎？（應(yīng)該可以想到避開求交點。）

（3）線段0Q的長度可以直接求嗎？（引導(dǎo)學(xué)生用平面幾何的知識，用轉(zhuǎn)化化歸的數(shù)學(xué)思想，可以把線段放在圖形中，而且一般是找三角形。在此過程中滲透“轉(zhuǎn)化化歸”的數(shù)學(xué)思想，以思想來指導(dǎo)行動。）

（4）如何構(gòu)造三角形？（有前面兩點間距離公式的推導(dǎo)，引導(dǎo)學(xué)生想到過點0作平行于x,y軸的直線，從而構(gòu)造出三角形，把0Q作為三角形的高，當(dāng)然也有其它解法。）

通過這樣一層層地深入提問，不斷地引導(dǎo)學(xué)生解決舊問題，提出新問題，給學(xué)生完整地顯現(xiàn)了整個的思維過程。但學(xué)生又不完全受教師的約束，在第（4）問中給學(xué)生自由，發(fā)揮想象的空間，學(xué)生可以構(gòu)造出各種不同的三角形，有一般的，也有特殊的三角形。在實際教學(xué)中，我重點強調(diào)解法2：等積法。而其他的解法學(xué)生中有出現(xiàn)的典型提示思路，主要布置課后探究式作業(yè)，也符合本節(jié)課的特點。

這一環(huán)節(jié)，是本節(jié)課最易出彩的地方，通過層層追問，教師的主導(dǎo)作用發(fā)揮得淋漓盡致，而學(xué)生的主體作用也體現(xiàn)到位，符合新課程的理念。又由于本節(jié)課的課型限制，重點不在于解決公式的推導(dǎo)，而在于公式的掌握和簡單應(yīng)用。所以我在設(shè)計時目標(biāo)非常明確，以建構(gòu)主義理論作為教學(xué)依據(jù)，注重學(xué)生自己提出解決問題的方法，帶領(lǐng)學(xué)生尋找解決問題的途徑，體驗解決問題的全過程，從而提高解決問題的能力。在課堂上，學(xué)生從緊張思維，到適當(dāng)討論，再到動手運算，積極主動地參與到活動中來，一方面構(gòu)建知識體系，同時又完成了一次次認識的飛躍。這樣在課堂上不是讓學(xué)生的思維到處開花，而是讓他們的思維得到縱向發(fā)展。

三、通過對思想方法的提煉，提高學(xué)生對數(shù)學(xué)本質(zhì)的認識

理論指導(dǎo)實踐，數(shù)學(xué)的靈魂是數(shù)學(xué)思想與方法。盡管新課程對課堂教學(xué)提出了更高的要求，但是數(shù)學(xué)的本質(zhì)不變，而且永遠不能變。所以在課堂中，要有意識地把數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)滲透到教學(xué)環(huán)節(jié)和知識的教學(xué)中。

本課從公式的推導(dǎo)到公式的應(yīng)用，牽涉到好多數(shù)學(xué)思想和方法，我在授課過程中對學(xué)生不斷進行強化。如公式的推導(dǎo)中，書上的方法“等積法”，我認為教材這樣安排有其妙處，故在教學(xué)時重點強調(diào)這種方法，其實“等積法”在解決一些幾何問題包括平面幾何、解析幾何、立體幾何中都有重要的作用。所以有意識地把數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)滲透進去，使學(xué)生在接受知識的過程當(dāng)中理解數(shù)學(xué)方法。

在例題教學(xué)中，我本著尊重教材的精神，創(chuàng)造性地使用了教材。課本例題具有典型性和示范性，于是對它進行剖析、改造和深化，設(shè)計了變式題組，如下：

例1、已知點，求點A到下列直線的距離

變式1：且有點(-2,-1)，(2,3)，求△的面積。

本節(jié)課對公式的要求是會簡單應(yīng)用，變式1是公式最直接的應(yīng)用，非常自然。而變式2是從另一個角度考察對公式的應(yīng)用，在教學(xué)過程中，我非常注重數(shù)學(xué)方法的滲透，“待定系數(shù)法”是數(shù)學(xué)中一種非常重要的數(shù)學(xué)方法。變式3是由變式2變化來的，能力要求更進一步，主要考慮斜率不存在的情況，可以結(jié)合圖形，突出“數(shù)形結(jié)合”的數(shù)學(xué)思想，達到“以形助數(shù)”的目的。

例題講解完，教學(xué)任務(wù)似乎已經(jīng)完成，學(xué)生已經(jīng)比較滿足于知識應(yīng)用的階段。我卻覺得意猶未盡，若有所思，設(shè)置了下面一個問題：課堂探究：已知實數(shù)x, y滿足3x+4y=5，求的最小值。

通過我的實際教學(xué)，大部分學(xué)生可以解決這個問題，所以課堂上可以不必花太多的時間。在本堂課的最后設(shè)置如此問題，可謂畫龍點睛。一方面突出點到直線距離的意義，即點到直線的距離是點與直線上的所有點的距離的最小值，回歸到開頭的問題情境；另一方面，強調(diào)代數(shù)問題幾何解決，突出“數(shù)形結(jié)合”的數(shù)學(xué)思想。我自認為這也是本課最后的精彩所在，達到前后呼應(yīng)，突出重點，使知識得到升華，并且強化了數(shù)學(xué)思想方法。

[1]陳柏良.數(shù)學(xué)課堂教學(xué)設(shè)計的藝術(shù)[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（高中），2006(6).

[2]陶維林.哪種方法用于課堂教學(xué)好[J].數(shù)學(xué)通報，2006(9).

G633.6

A

1009-8534（2014）03-0160-02

2013-09-21

陶良勝（1975-），男，安徽蕪湖人，蕪湖縣第一中學(xué)數(shù)學(xué)教師，教育碩士，中教一級。