劉鳳琴 金瑜

【摘 要】構(gòu)建合適的理論模型來(lái)估計(jì)和預(yù)測(cè)金融資產(chǎn)波動(dòng)率是衍生品定價(jià)、投資組合配置以及風(fēng)險(xiǎn)管理中的十分重要環(huán)節(jié)，因此相關(guān)學(xué)術(shù)研究已經(jīng)引起國(guó)內(nèi)外學(xué)者廣泛關(guān)注。本文主要基于已有研究文獻(xiàn)，從兩個(gè)方面對(duì)其研究成果進(jìn)行適當(dāng)梳理，首先分析了隨機(jī)波動(dòng)率的理論模型和所適用的金融環(huán)境，其次討論了常用參數(shù)估計(jì)方法的優(yōu)缺點(diǎn)，最后總結(jié)了模型進(jìn)一步發(fā)展的趨勢(shì).研究認(rèn)為：Heston模型在普通期權(quán)定價(jià)和利率市場(chǎng)方面應(yīng)用較為廣泛，SABR模型是目前金融市場(chǎng)最有效的風(fēng)險(xiǎn)管理工具之一；自適應(yīng)馬爾科夫鏈蒙特卡羅估計(jì)（MCMC）方法將是未來(lái)最佳的隨機(jī)波動(dòng)率模型參數(shù)估計(jì)方法之一。

【關(guān)鍵詞】隨機(jī)波動(dòng)率；SABR模型；自適應(yīng)MCMC

一、引言

對(duì)金融市場(chǎng)波動(dòng)的描述是現(xiàn)代金融理論的關(guān)鍵內(nèi)容之一，因?yàn)楝F(xiàn)代金融理論的核心便是不確定性，而波動(dòng)則是衡量這種不確定性的重要指標(biāo)。而且隨著近年來(lái)金融資產(chǎn)之間的聯(lián)系不斷加深和金融衍生品的不斷創(chuàng)新，金融市場(chǎng)的波動(dòng)日益加劇，表現(xiàn)出非常復(fù)雜、豐富的統(tǒng)計(jì)特征，如波動(dòng)的隱含微笑曲線、尖峰厚尾、長(zhǎng)期記憶性、非對(duì)稱性和溢出效應(yīng)等。

自從Taylor（1986）構(gòu)建隨機(jī)波動(dòng)率（Stochastic volatility，SV）模型，由于SV模型在描述金融資產(chǎn)波動(dòng)率動(dòng)態(tài)過(guò)程時(shí)比其他模型（如GARCH模型等）更靈活、更具有優(yōu)勢(shì)，SV模型逐漸在波動(dòng)率估計(jì)和預(yù)測(cè)中占據(jù)主導(dǎo)地位。國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)此開(kāi)展了大量研究，研究?jī)?nèi)容主要包括三個(gè)方面：

1.針對(duì)SV模型及其擴(kuò)展的研究

SV模型利用隨機(jī)變量描述金融市場(chǎng)任意給定時(shí)刻的資產(chǎn)價(jià)格及其波動(dòng)率。目前最流行的SV模型是Heston模型和SABR模型?，F(xiàn)階段的研究主要圍繞SV模型的擴(kuò)展展開(kāi)，如引入跳躍過(guò)程、構(gòu)建高頻數(shù)據(jù)的波動(dòng)模型等。

2.SV模型參數(shù)估計(jì)方法的研究

由于SV模型的特征函數(shù)無(wú)法導(dǎo)出精確表達(dá)式，難以使用普通的參數(shù)估計(jì)方法。近十幾年來(lái)，國(guó)內(nèi)外學(xué)者圍繞SV模型中擾動(dòng)項(xiàng)無(wú)法觀測(cè)的特性，提出了多種參數(shù)估計(jì)方法。歸納起來(lái)可分為三類：一是矩估計(jì)方法；二是極大似然估計(jì)方法；三是基于輔助模型的估計(jì)方法，主要是擴(kuò)展的MCMC方法等。本文主要介紹目前最常用的MCMC方法。

從上可知，MCMC具有兩個(gè)優(yōu)點(diǎn)：第一，MCMC可同時(shí)估計(jì)參數(shù)和狀態(tài)變量，而毋須事先估計(jì)參數(shù)，這為實(shí)際應(yīng)用帶來(lái)很多方便；第二，MCMC的效率顯著高于其他方法，由于MCMC在估計(jì)參數(shù)和狀態(tài)變量時(shí)都是條件模擬，因此在估計(jì)參數(shù)時(shí)，MCMC不需對(duì)大量數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合優(yōu)化。

由于MCMC方法在解決復(fù)雜模型計(jì)算問(wèn)題方面的顯著優(yōu)勢(shì)，從而在金融數(shù)學(xué)、信息安全、生物統(tǒng)計(jì)等方面得到廣泛應(yīng)用。Jacquier，Polson，Rossi（1994）首次應(yīng)用MCMC方法估計(jì)SV模型參數(shù)。

針對(duì)傳統(tǒng)的MCMC模擬方法存在計(jì)算效率低的缺陷，國(guó)內(nèi)外學(xué)者提出了新的MCMC方法。Carta A和Steel MFJ（2012）提出應(yīng)用塊抽樣方法提高M(jìn)CMC方法效率，并實(shí)驗(yàn)證明新抽樣方法的效率增益。汪衛(wèi)芳（2013）提出了一種新的MCMC方法中的自適應(yīng)Metropolis抽樣方法，研究結(jié)果表明：自適應(yīng)Metropolis方法的推薦分布隨著抽樣過(guò)程能自適應(yīng)的調(diào)整，其都明顯優(yōu)于傳統(tǒng)的MCMC方法。

四、總結(jié)和展望

本文總結(jié)了金融隨機(jī)波動(dòng)率模型的發(fā)展趨勢(shì)和適用的金融環(huán)境，簡(jiǎn)要討論了SV模型的主要參數(shù)估計(jì)方法。研究表明：Heston模型在普通期權(quán)定價(jià)和利率市場(chǎng)方面得到了廣泛應(yīng)用，但不適合結(jié)構(gòu)化產(chǎn)品建模；SABR模型已成為目前市場(chǎng)實(shí)務(wù)中管理“波動(dòng)率微笑”風(fēng)險(xiǎn)的行業(yè)標(biāo)準(zhǔn)模型之一，而且SABR模型較適合對(duì)奇異期權(quán)的估值；自適應(yīng)MCMC方法將是未來(lái)最佳的SV模型參數(shù)估計(jì)方法之一。雖然隨機(jī)波動(dòng)率模型的研究在過(guò)去20多年中取得了巨大的進(jìn)步，但還有眾多問(wèn)題需要研究和開(kāi)拓，可從以下幾個(gè)方面考慮：

1.現(xiàn)有文獻(xiàn)極少考慮波動(dòng)率跳躍對(duì)波動(dòng)率預(yù)測(cè)的影響。因此在考慮利率波動(dòng)的連續(xù)變化因素（由隨機(jī)波動(dòng)過(guò)程刻畫(huà)）的同時(shí)，可嘗試引入Levy過(guò)程等跳躍過(guò)程用于刻畫(huà)跳躍變化時(shí)刻及跳躍幅度。

2.目前期權(quán)交易規(guī)模和交易量迅速增長(zhǎng)，同時(shí)期權(quán)定價(jià)模型的復(fù)雜程度卻越來(lái)越高，如何按市場(chǎng)要求在盡可能短的時(shí)間內(nèi)對(duì)期權(quán)進(jìn)行定價(jià)變得越來(lái)越困難。對(duì)此可考慮利用GPU集群并行技術(shù)和全局優(yōu)化方法如模擬退火算法、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法等實(shí)現(xiàn)期權(quán)等金融衍生品的實(shí)時(shí)定價(jià)。

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