鄭燦基

重點(diǎn)難點(diǎn)

本部分內(nèi)容包括線面垂直的判定與性質(zhì)，面面垂直的判定與性質(zhì).

重點(diǎn)：（1）理解線面垂直的定義，掌握線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理，掌握面面垂直的判定定理和性質(zhì)定理;（2）能運(yùn)用公理、定理和已獲得的結(jié)論，證明一些有關(guān)空間圖形的垂直關(guān)系的簡(jiǎn)單命題.

難點(diǎn)：掌握線線垂直、線面垂直和面面垂直這三種垂直關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化.

方法突破

一、一種關(guān)系——垂直問題的轉(zhuǎn)化關(guān)系

垂直關(guān)系證明的基本思想是轉(zhuǎn)化，即由線線垂直得線面垂直（線面垂直的判定定理），由線面垂直得面面垂直（面面垂直的判定定理），而由面面垂直得線面垂直（面面垂直的性質(zhì)定理），由線面垂直得線線垂直（線面垂直的定義）. 垂直關(guān)系的證明就是在這些性質(zhì)定理和判定定理的使用中，將各種垂直關(guān)系不斷進(jìn)行轉(zhuǎn)化.在處理實(shí)際問題的過程中，我們常常需要先從題設(shè)條件入手，明確已有的垂直關(guān)系，再?gòu)慕Y(jié)論分析待證的垂直條件，從而搭建起已知與未知之間的“橋梁”.

二、三類證法

1. 證明線線垂直的方法

（1）定義：兩條直線所成的角為90°.

（2）平面幾何中證明線線垂直的方法：如勾股定理、三角形全等、直線斜率的乘積為-1等.

（3）線面垂直的性質(zhì)：a⊥α，b α a⊥b.

（4）線面垂直的性質(zhì)：a⊥α，b∥α a⊥b.

2. 證明線面垂直的方法

（1）定義：a與α內(nèi)任何直線都垂直 a⊥α.

（2）線面垂直的判定定理1：m，n α，m∩n=A，l⊥m，l⊥n l⊥α.

（3）線面垂直的判定定理2：a∥b，a⊥α b⊥α.

（4）面面平行的性質(zhì)：α∥β，a⊥α a⊥β.

（5）面面垂直的性質(zhì)：α⊥β，α∩β=l，a α，a⊥l a⊥β.

3. 證明面面垂直的方法

（1）定義：兩個(gè)平面相交，所成的二面角是直二面角.

（2）面面垂直的判定定理：a α，a⊥β α⊥β.

典例精講

例1 ?（2014年高考浙江卷）設(shè)m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個(gè)不同的平面，（ ? ?）

A. 若m⊥n，n∥α，則m⊥α

B. 若m∥β，β⊥α，則m⊥α

C. 若m⊥β，n⊥β，n⊥α，則m⊥α

D. 若m⊥n，n⊥β，β⊥α，則m⊥α

思索 ?本題考查線線、線面和面面之間的位置關(guān)系. 解答此類問題，首先要對(duì)概念認(rèn)識(shí)清楚、對(duì)定理理解透徹;其次要具備較強(qiáng)的空間想象能力，能通過對(duì)題設(shè)條件的分析想象出所研究的線線、線面、面面之間的位置關(guān)系，從而做出正確的判斷和簡(jiǎn)單的論證.

破解 ?對(duì)于A、B、D，m與平面α都可能有平行、相交或m在平面α內(nèi)三種情況;對(duì)于C，若m⊥β，n⊥β，則m∥n，而n⊥α，所以m⊥α. 故選C.

本題也可以構(gòu)造正方體ABCD-A1B1C1D1，對(duì)于A，根據(jù)已知條件取平面ABCD為α，直線A1D1為m，直線A1B1為n，但是m∥α，所以A錯(cuò). 對(duì)于B，根據(jù)已知條件取平面ABCD為α，平面ADD1A1為β，直線BC為m，但是m α，所以B錯(cuò). 對(duì)于D，根據(jù)已知條件取平面ABCD為α，平面ADD1A1為β，直線A1D1為m，直線A1B1為n，但是m∥α，所以D錯(cuò). 故答案為C.

例2 ?如圖1，在四棱錐P-ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD=2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分別是CD和PC的中點(diǎn)，求證：

（1）PA⊥底面ABCD;

（2）平面BEF⊥平面PCD.

圖1

思索 ?（1）面面垂直的性質(zhì)是用來推證線面垂直的重要依據(jù)，其核心是其中一個(gè)面內(nèi)的直線與交線垂直. 本題中由平面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD以及PA⊥AD可推出PA⊥底面ABCD.

（2）證明面面垂直，應(yīng)先轉(zhuǎn)化為證明線面垂直，再把證明線面垂直轉(zhuǎn)化為證明線線垂直. 若由已知條件所得的其他線面垂直的結(jié)論，常常利用其性質(zhì)輔助證明線線垂直.如第（1）問的結(jié)論就對(duì)第（2）問的證明起輔助作用.

破解 ?（1）因?yàn)槠矫鍼AD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PA 平面PAD且PA⊥AD，所以PA⊥底面ABCD.

（2）因?yàn)锳B⊥AD，而且易知四邊形ABED為平行四邊形，所以BE⊥CD，AD⊥CD. 由（1）知PA⊥平面ABCD， 所以PA⊥CD，所以CD⊥平面PAD，所以CD⊥PD. 因?yàn)镋和F分別是CD和PC的中點(diǎn)，所以PD∥EF，所以CD⊥EF. 又BE⊥CD，BE∩EF=E，所以CD⊥平面BEF. 又CD 平面PCD，所以平面BEF⊥平面PCD.

例3 ?如圖2，在四棱錐P-ABCD中，AB⊥平面PAD，AB∥CD，PD=AD，E是PB的中點(diǎn)，F(xiàn)是DC上的點(diǎn)，DF= AB，PH為△PAD中AD上的高.

（1）證明：PH⊥平面ABCD;

（2）若PH=1，AD= ，F(xiàn)C=1，求三棱錐E-BCF的體積;

（3）證明：EF⊥平面PAB.

圖2

圖3

思索 ?（1）線面垂直的證明，實(shí)質(zhì)是由線線垂直推證得來，途徑是找到一條直線與平面內(nèi)的兩條相交直線垂直. 推證線線垂直時(shí)注意分析幾何圖形，尋找隱含條件. 三角形底邊的高、等腰三角形底邊的中線、勾股定理等都是尋找線線垂直的有力工具. 甚至有時(shí)，當(dāng)證明線面垂直不易利用條件時(shí)，可試將線段沿特殊路徑平移至特殊位置，這時(shí)可能和已知條件更接近. 例如第（3）問，若直接證明思維受阻，則可以考慮利用已知條件平移直線EF.

（2）對(duì)于垂直與體積結(jié)合的問題，在求體積時(shí)，常常根據(jù)線面垂直得到表示高的線段，進(jìn)而求得體積，解題時(shí)應(yīng)充分利用已經(jīng)得到的結(jié)論，可以快速找到突破口.

破解 ?（1）因?yàn)镻H為△PAD中AD邊上的高，所以PH⊥AD. 因?yàn)锳B⊥平面PAD，PH 平面PAD，所以PH⊥AB. 又AD∩AB=A，所以PH⊥平面ABCD.

（2）如圖3，連結(jié)BH. 取BH的中點(diǎn)G，連結(jié)EG. 因?yàn)镋是PB的中點(diǎn)，所以EG∥PH，且EG= PH= . 因?yàn)镻H⊥平面ABCD，所以EG⊥平面ABCD. 因?yàn)锳B⊥平面PAD，AD 平面PAD，所以AB⊥AD，所以底面ABCD為直角梯形，所以V = ·S△BCF·EG= · ·FC·AD·EG= .

（3）如圖3，取PA的中點(diǎn)M，連結(jié)MD，ME. 因?yàn)镋是PB的中點(diǎn)，所以ME∥AB，ME= AB. 又因?yàn)镈F∥AB，DF= AB，所以ME∥DF且ME=DF，所以四邊形MEFD是平行四邊形，所以EF∥MD. 因?yàn)镻D=AD，所以MD⊥PA. 因?yàn)锳B⊥平面PAD，所以MD⊥AB. 因?yàn)镻A∩AB=A，所以MD⊥平面PAB，所以EF⊥平面PAB.

變式練習(xí)

1. （2014年高考廣東卷）若空間中四條兩兩不同的直線l1，l2，l3，l4，滿足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，則下列結(jié)論一定正確的是（ ? ?）

A. l1⊥l4 B. l1∥l4

C. l1與l4既不垂直也不平行

D. l1與l4的位置關(guān)系不確定

2. （2013年浙江高考）設(shè)m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個(gè)不同的平面，下列結(jié)論正確的是（ ? ?）

A. 若m∥α，n∥α，則m∥n

B. 若m∥α，m∥β，則α∥β

C. 若m∥n，m⊥α，則n⊥α

D. 若m∥α，α⊥β，則m⊥β

3. 如圖4，PA⊥圓O所在的平面，AB是圓O的直徑，C是圓O上的一點(diǎn)，E，F(xiàn)分別是PB，PC上的點(diǎn)，AE⊥PB，AF⊥PC，給出下列結(jié)論：①AF⊥PB;②EF⊥PB;③AF⊥BC;④AE⊥平面PBC. 其中正確結(jié)論的序號(hào)是________.

圖4

4. （2014年高考江蘇卷改編）如圖5，在三棱錐P-ABC中，D，E，F(xiàn)分別為棱PC，AC，AB的中點(diǎn). 已知PA⊥AC，PA=6，BC=8，DF=5.

（1）求證：DE⊥平面ABC.

（2）若BC⊥AB，求證：平面PAB⊥平面PBC

5. （2014年高考重慶卷）如圖6，在四棱錐P-ABCD中，底面是以O(shè)為中心的菱形，PO⊥底面ABCD，AB=2，∠BAD= ，M為BC上一點(diǎn)，且BM= .

（1）證明：BC⊥平面POM;

（2）若MP⊥AP，求四棱錐P-ABMO的體積.

圖6

參考答案：

1. D ?2. C ?3. ①②③

4. （1）因?yàn)镈，E，F(xiàn)分別為棱PC，AC，AB的中點(diǎn)，PA=6，BC=8，所以DE∥PA，DE= PA=3，EF= BC=4. 又因?yàn)镈F=5，所以DF2=DE2+EF2，所以DE⊥EF. 又PA⊥AC，DE∥PA，所以DE⊥AC. 因?yàn)锳C∩EF=E，所以DE⊥平面ABC.

（2）因?yàn)镈E⊥平面ABC，DE∥PA，所以PA⊥平面ABC. 因?yàn)锽C 平面ABC，所以PA⊥BC. 又BC⊥AB，AB∩PA=A，所以BC⊥平面PAB，因?yàn)锽C 平面PBC，所以平面PAB⊥平面PBC.

5. （1）因?yàn)樗倪呅蜛BCD為菱形，O為菱形的中心，連結(jié)OB，則AO⊥OB. 因?yàn)椤螧AD= ，所以O(shè)B=ABsin∠OAB=2sin =1. 又因?yàn)锽M= ，且∠OBM= . 在△OBM中，OM2=OB2+BM2-2OB·BM·cos∠OBM=1+ -2·1· ·cos = . 所以O(shè)B2=OM2+BM2，故OM⊥BM. 又PO⊥底面ABCD，BC 底面ABCD，所以PO⊥BC. 因?yàn)镺M∩PO=O，所以BC⊥平面POM.

（2）由（1）可得，OA=ABcos∠OAB=2cos = . 設(shè)PO=a，由PO⊥底面ABCD知，△POA為直角三角形，故PA2=PO2+OA2=a2+3. 又△POM也是直角三角形，故PM2=PO2+OM2=a2+ . 連結(jié)AM，在△ABM中，AM2=AB2+BM2-2AB·BM·cos∠ABM=4+ -2·2· ·cos = . 由已知MP⊥AP，故△APM為直角三角形，則PA2+PM2=AM2，即a2+3+a2+ = ，解得a=± . 所以PO= . 此時(shí)S四邊形ABMO=S△AOB+S△OMB= AO·OB+ BM·OM= . 所以四棱錐P-ABMO的體積V= S四邊形ABMO·PO= · · = .