桂再安

“一葉而知秋，一題一世界.”

俗語(yǔ)說(shuō)：“一葉而知秋”，這句話給我們提供了一種研究問(wèn)題的思路，體現(xiàn)了微觀和宏觀之間的一種共通和互融的關(guān)系，是一種通過(guò)現(xiàn)象看問(wèn)題本質(zhì)的途徑. 就我們數(shù)學(xué)教師而言，提高大家的解題能力是我們共同的目的，而實(shí)際上往往事與愿違，我們讓題海包圍，而同學(xué)們卻讓題海淹沒(méi)，學(xué)習(xí)效率沒(méi)有得到更大的改善和提高. 筆者認(rèn)為，只有深入研究問(wèn)題求解中的各種可能性和問(wèn)題所呈現(xiàn)出的有利于學(xué)習(xí)的隱性資源，通過(guò)一題多解調(diào)動(dòng)我們頭腦中沉睡的知識(shí)鏈接，改善我們固化的思維習(xí)慣，讓大家樂(lè)于思考，勇于探索，進(jìn)而改善并提高大家學(xué)習(xí)的內(nèi)驅(qū)動(dòng)力，這才是我們所追求和倡導(dǎo)的. 下面以一道高考數(shù)學(xué)題為例進(jìn)行說(shuō)明和論述，該題如下：

設(shè)e1，e2為單位向量，非零向量b=xe1+ye2，x，y∈R，若e1，e2的夾角為 ，則 的最大值等于_________.

追本溯源，感知命題背景

該題考查了對(duì)平面向量的基本概念的綜合運(yùn)用，其“源”題來(lái)自于必修4平面向量一章的課本習(xí)題第4題（第102頁(yè)），這道課本習(xí)題的條件和高考題非常相似，高考題就是以這道課本題為原型進(jìn)行改編的. 題目文字雖然不多，卻涵蓋了單位向量、平面向量的基本定理、夾角、向量的模等反映向量特點(diǎn)的概念和定理，在一定程度上做到了知識(shí)點(diǎn)的有效覆蓋. 該題已知條件平易近人，最值問(wèn)題求解，體現(xiàn)了靜中有動(dòng)、動(dòng)中有靜的特點(diǎn)，題目簡(jiǎn)約而不簡(jiǎn)單，給考生在知識(shí)運(yùn)用上留有足夠的回旋余地.

一題多解，探析解題思路

解法1 由已知，b2=b2=（xe1+ye2）2=x2+y2+ xy，所以可得 = = = （令 =t∈R），則有 = = ≤2，所以 的最大值為2.

該解法從函數(shù)入手，通過(guò)相關(guān)運(yùn)算得到一個(gè)二元函數(shù)，然后換元轉(zhuǎn)換為一元函數(shù)求解最值，從這個(gè)角度而言，盡管是考查平面向量的有關(guān)內(nèi)容，卻沒(méi)有放棄對(duì)主干知識(shí)函數(shù)的考查.

解法2 b2=x2+y2+ xy（ ）.

設(shè) =t，則x=tb，代入（ ）式得y2+ tby+t2b2-b2=0.

上式可看做關(guān)于y的一元二次方程，方程有解，

所以Δ=（ tb）2-4（t2-1）·b2≥0，所以3t2b2-4（t2-1）b2≥0. 因?yàn)閎≠0，所以t2≤4. 因?yàn)閠≥0，所以0≤t≤2.

該解法運(yùn)用了函數(shù)到方程的轉(zhuǎn)換，利用判別式求得最值，體現(xiàn)了方程思想.

解法3 ?b2=b2=（xe1+ye2）2=x2+y2+ xy 1= ?+ ?+ · ?.

令 =m， =n，則上式可化為1=m2+n2+ mn 1= m2+ m+n ，利用三角換元 m=cosα， m+n=sinα，所以m的最大值為2.

該解法通過(guò)換元轉(zhuǎn)化，利用三角函數(shù)的特性求出最值.

解法4 結(jié)合平面向量的基本定理可以從形的角度解決該問(wèn)題（如圖1）.

圖1

利用平行四邊形法則，考慮到x，y的符號(hào)，向量b可以是圖中向量 ， ， ， 的某一個(gè)，其中 = =y， = =x，∠BOC=30°. 根據(jù)正弦定理，結(jié)合兩個(gè)三角形觀察（△OCG，△OCF）， = = ，所以 =2sinθ≤2.

解法5 ?不妨設(shè)x≠0，由b=xe1+ye2，x，y∈R可得： =e1+ e2，所以 =e1+ e2 ?∈R，結(jié)合平行四邊形法則（如圖2）得 min= （垂直時(shí)），所以 的最大值為2.

圖2

解法4和解法5利用數(shù)形結(jié)合，直觀而簡(jiǎn)潔.

解法6 利用坐標(biāo)化的思想，不妨將原題進(jìn)一步特殊化，若e1，e2的夾角為 ，則向量b的坐標(biāo)可以設(shè)為（y，x），則 =sinα，最大值轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值問(wèn)題，所以通過(guò)建立坐標(biāo)系問(wèn)題應(yīng)該能得以解決（如圖3）. 可得坐標(biāo)A ， ，B（1，0），則向量b的坐標(biāo)為 x+y， x. 若b的起點(diǎn)為原點(diǎn)O，設(shè)b與x軸正向所成角為α，則sinα= ，所以 =2sinα≤2.

從以上6種解法來(lái)看，該題在解答過(guò)程中呈現(xiàn)出了比較豐富的知識(shí)背景，就這一點(diǎn)而言，體現(xiàn)了高考的命題取向，使得考生在解答過(guò)程中有較大的選擇余地，能夠更好地反映同學(xué)們知識(shí)的掌握程度. 就數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)而言，“解題方法的多樣性，大大增強(qiáng)了同學(xué)們基礎(chǔ)知識(shí)的運(yùn)用能力，使得我們?cè)谟邢薜臅r(shí)間內(nèi)僅僅通過(guò)一題就可以感受到整個(gè)高中數(shù)學(xué)的總體脈絡(luò)，是對(duì)已有知識(shí)的一個(gè)凝聚和整合的過(guò)程，這樣必將提高我們的學(xué)習(xí)效率，就好像從一滴海水可以看到整個(gè)海洋的秘密，從一道題感受到整個(gè)數(shù)學(xué)體系的魅力，可謂是“一題一世界”. 如果將該題的條件進(jìn)一步一般化，可以給出更為一般性的結(jié)論，如下：

設(shè)e1，e2為兩個(gè)不共線的非零向量，e1=a，e2=b，非零向量c=xe1+ye2，x，y∈R，若e1，e2的夾角為θ（θ∈（0，π）），則 的最大值等于 . （同學(xué)們可以利用以上的某種方法推導(dǎo)一下）

類題求解，感受共性特征

例1 ?設(shè)△ABC中，P0是邊AB上一定點(diǎn)，滿足P0B= AB，且對(duì)于邊AB上任意一點(diǎn)P，恒有 · ≥ · ，則（ ?）

A. ∠ABC=90°

B. ∠BAC=90°

C. AB=AC

D. AC=BC

解：條件 · ≥ · ?{ · }min= · ，以AB的中點(diǎn)O建立直角坐標(biāo)系（如圖4）.

設(shè)A（-b，0），B（b，0），C（s，t），P ?，0. 因?yàn)镻為AB上任意一點(diǎn)，所以設(shè)P（x，0）， =（b-x，0）， =（s-x，t），則 · =x2-（b+s）x+bs. ?· 取得最小值時(shí)，x= = ，所以s=0，可以得出AC=BC，故選D.

例2 已知a，b為單位向量，a·b=0，若向量c滿足c-a-b=1，則c的取值范圍是________.

圖5

解：數(shù)形結(jié)合（如圖5），C的軌跡是半徑為1的一個(gè)圓，所以通過(guò)圖形觀察得出c的取值范圍為[ -1， +1].

從以上兩個(gè)類題和前面提及的各種解法和分析可以看出，平面向量的問(wèn)題求解往往能夠呈現(xiàn)出多樣的解題方法，體現(xiàn)了四個(gè)方面的思想：函數(shù)思想、方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、坐標(biāo)化的思想. 因此，注重思想領(lǐng)會(huì)，淡化解題技巧，體現(xiàn)問(wèn)題實(shí)質(zhì)，深度挖掘習(xí)題背后的資源，增加必要的解題經(jīng)驗(yàn)和反思能力才是我們平時(shí)學(xué)習(xí)中應(yīng)當(dāng)貫徹和執(zhí)行的.