趙圣濤 武金仙

立體幾何中的二面角問(wèn)題一直是高考的熱點(diǎn)，向量法是解決該問(wèn)題常用的方法. 該方法簡(jiǎn)單實(shí)用，便于掌握，但我們常在判斷二面角大小與其兩半平面法向量的夾角是相等還是互補(bǔ)時(shí)產(chǎn)生困難，原因在于難以準(zhǔn)確判斷出法向量的方向. 我們常采用直觀觀察的方法，這對(duì)空間想象力弱的同學(xué)來(lái)說(shuō)效果并不好，也有失數(shù)學(xué)學(xué)科的嚴(yán)謹(jǐn)性. 筆者結(jié)合自身教學(xué)經(jīng)驗(yàn)探索出了一個(gè)準(zhǔn)確判斷兩法向量方向的方法.

法向量方向的判斷方法

在判斷二面角大小和其兩法向量夾角的關(guān)系時(shí)，我們常采用如下方法：

已知二面角α-l-β的大小為θ，向量n1，n2分別為半平面α，β的法向量，若法向量n1，n2均指向二面角的內(nèi)部（或外部），則θ=π-〈n1，n2〉（圖1）;若法向量n1，n2一個(gè)指向二面角的內(nèi)部，另一個(gè)指向二面角的外部，則θ=〈n1，n2〉（圖2）.

在應(yīng)用該方法時(shí)，對(duì)法向量方向的判斷是個(gè)難點(diǎn)，本文將給出如下判斷方法：

定理：已知二面角α-l-β，半平面α的法向量為n1，在棱l上任取一點(diǎn)O，在半平面β內(nèi)任取一點(diǎn)A（點(diǎn)A不在棱l上），構(gòu)造輔助向量 ，當(dāng)n1· >0時(shí)，法向量n1指向二面角的內(nèi)部;當(dāng)n1· <0時(shí)，法向量n1指向二面角的外部（簡(jiǎn)記為“內(nèi)正外負(fù)”）.

證明：根據(jù)數(shù)量積定義，若n1· >0，則〈n1， 〉∈0， ，因?yàn)閷?duì)平面α，其法向量的方向只有兩個(gè)，所以，易知此時(shí)法向量n1的方向指向二面角的內(nèi)部（如圖1）.

若n1· <0，則〈n1， 〉∈ ，π，易知此時(shí)n1的方向指向二面角的外部（如圖2）. 同理，可判斷出半平面β的法向量n2的方向，當(dāng)n1，n2方向確定后，即可求出二面角.

該方法的優(yōu)點(diǎn)在于可準(zhǔn)確判斷出每一個(gè)法向量的方向，在實(shí)際應(yīng)用中，輔助向量 并不需要專門構(gòu)造，只需從已求得的向量中選取即可，這也是該方法簡(jiǎn)便實(shí)用的一個(gè)地方.

評(píng)注：定理中，在半平面β內(nèi)選取輔助向量 時(shí)，我們將起點(diǎn)限定在了棱l上，這主要是為了應(yīng)用方便，并不是必要條件. 實(shí)際上，輔助向量 只需滿足〈 ，m〉∈0， 即可，其中向量m是半平面β內(nèi)垂直于棱的一個(gè)向量，其方向如圖3所示.

方法應(yīng)用舉例

例1 ?如圖4， 在四棱錐P-ABCD中，已知PA⊥底面ABCD，BC=CD=2，AC=4，∠ACB=∠ACD= ，F(xiàn)為PC的中點(diǎn)，AF⊥PB.

（1）求PA的長(zhǎng);

（2）求二面角B-AF-D的余弦值.

圖4

解析：（1）略.

（2）如圖4， 連結(jié)BD交AC于點(diǎn)O. 因?yàn)锽C=CD， AC平分∠BCD，所以AC⊥BD， 過(guò)點(diǎn)O作OM∥AP，則OM⊥平面ABC. 以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以O(shè)B，OC，OM所在直線為x軸，y軸，z軸建立坐標(biāo)系O-xyz.

則OC=CDcos =1，而AC=4，所以AO=AC-OC=3，易知OD=CDsin = ，所以A（0，-3，0），B（ ，0，0），D（- ，0，0）.

由（1）知F（0，-1， ），故 =（ ，3，0）， =（- ，3，0）， =（0，2， ）.

設(shè)平面ABF的法向量為n1=（x1，y1，z1），則由n1· =0，n1· =0得 x1+3y1=0，2y1+ z1=0.取y1= ，得n1=（-3， ，-2）.

設(shè)平面ADF的法向量為n2=（x2，y2，z2），則由n2· =0，n2· =0得- x2+3y2=0，2y2+ z2=0.取y2= ，得n2=（3， ，-2）.

所以cos〈n1，n2〉= =- .

下面應(yīng)用定理判斷法向量n1，n2的方向：

分別取 ， 為法向量n1，n2的輔助向量，由n2· =6 >0，n1· =6 >0知，n1，n2均指向二面角的內(nèi)部，由此易知，〈n1，n2〉與二面角A-PD-C的大小是互補(bǔ)的關(guān)系，所以二面角A-PD-C為銳角，其余弦值為 .

點(diǎn)評(píng)：為便于選取輔助向量，在構(gòu)造向量計(jì)算法向量時(shí)，可將二面角棱上的點(diǎn)作為所構(gòu)造向量的起點(diǎn)，如例1中，A，D兩點(diǎn)所構(gòu)成的向量寫成 而非 的形式，這樣就省去了找點(diǎn)構(gòu)造輔助向量的麻煩.

例2 如圖5，在四棱錐P-ABCD中，∠ABC=∠BAD=90°，BC=2AD，△PAB和△PAD都是等邊三角形.

（1）證明：PB⊥CD;

（2）求二面角A-PD-C的大小.

圖5

解析：取BC的中點(diǎn)E，連結(jié)DE，則四邊形ABED為正方形.過(guò)P作PO⊥平面ABCD，垂足為O.連結(jié)OA，OB，OD，OE. 由△PAB和△PAD都是等邊三角形知PA=PB=PD，所以O(shè)A=OB=OD，即點(diǎn)O為正方形ABED對(duì)角線的交點(diǎn)，故BD⊥AE.

（1）略.

（2）以O(shè)為原點(diǎn)，建立坐標(biāo)系O-xyz（如圖5）. 設(shè) =1，則A（-1，0，0），C（2，-1，0）， D（0，-1，0），P（0，0，1）， =（2，-1，-1）， =（0，-1，-1）， =（-1，0，-1）.

設(shè)平面PCD的法向量為n1=（x1，y1，z1），則由n1· =0，n1· =0得2x1-y1-z1=0，y1+z1=0.取z1=1，得n1=（0，-1，1）.

設(shè)平面PAD的法向量為n2=（x2，y2，z2），則由n2· =0，n2· =0，得x2+z2=0，y2+z2=0.取z2=-1，得n2=（1，1，-1）.

所以cos〈n1，n2〉= = - .

下面應(yīng)用定理判斷法向量n1，n2的方向：

分別選取 ， 為法向量n1，n2的輔助向量，由n1· =-1<0，n2· =2>0知，n1指向二面角的外部，n2指向其內(nèi)部. 由此易知，〈n1，n2〉即為二面角A-PD-C的大小，所以二面角A-PD-C為鈍角，所以其大小為π-arccos .