王艷紅

【摘要】構(gòu)造函數(shù)法是高等數(shù)學(xué)中最常用的分析手段之一，通過構(gòu)造函數(shù)法解答高數(shù)中的相關(guān)問題，是解題的重要方法，也是學(xué)生需要重點(diǎn)熟悉掌握的根本解題方法.本文筆者通過探討構(gòu)造函數(shù)法在解題中的運(yùn)用，提出構(gòu)造函數(shù)法在解題過程中的實(shí)際應(yīng)用.

【關(guān)鍵詞】構(gòu)造函數(shù)法；解題；應(yīng)用探討

高等數(shù)學(xué)中存在一種非常重要且經(jīng)常用于解決實(shí)際問題的方法——構(gòu)造函數(shù)法，在解題過程中有著廣闊的市場(chǎng)和空間，它屬于構(gòu)造法在數(shù)學(xué)的思想方法中的定義，構(gòu)造顧名思義就是按照固定的模式，經(jīng)過已經(jīng)固定的操作運(yùn)算步驟達(dá)到預(yù)期目的的方法.使用構(gòu)造函數(shù)法的時(shí)候，往往不是對(duì)問題本身進(jìn)行求解，通過腦海中重新定位組合尋找中間變量，從而轉(zhuǎn)換思路，達(dá)到解決問題的效果.該方法具有兩個(gè)十分鮮明的特征：直觀性和可行性，正是由于這兩個(gè)特征的存在，其才在數(shù)學(xué)方法運(yùn)用的市場(chǎng)上有立足之地，經(jīng)常在解決疑難問題的時(shí)候使用該方法，不論是在課題申報(bào)還是研究生答辯過程中，經(jīng)常會(huì)考查這樣的思維方法.但是由于其相對(duì)較為抽象，在理解上有一定難度，是教學(xué)和交流中的一大難題，需要不斷積累以及一定的天生資質(zhì)，如何幫助學(xué)生掌握這種重要的思想，本文筆者從構(gòu)造函數(shù)法在解題中的應(yīng)用入手，分析其特點(diǎn).

一、中值ξ的存在性證明

我們?cè)谧C明方程的根的存在性的時(shí)候，就是確認(rèn)中值ξ的存在性，找到合適的輔助函數(shù)是函數(shù)論證的關(guān)鍵.如果這類問題的出現(xiàn)一般都是通過中值的定理去解決，我們?cè)隍?yàn)證的過程中要注意是否滿足相關(guān)條件.如果題目的假設(shè)中僅僅提供了抽象函數(shù)連續(xù)性的相關(guān)條件，或者所給出的方程為某個(gè)具體的方程時(shí)，我們此時(shí)就應(yīng)該充分考慮是否使用零點(diǎn)定理.將方程的一端通過移項(xiàng)的方法轉(zhuǎn)換為零，函數(shù)的另一端便是所要構(gòu)造的輔助函數(shù)，如果在結(jié)果中出現(xiàn)含有中值ξ的等式，那么則可以將中值ξ轉(zhuǎn)換成x.例如函數(shù)f（x）在＼[0，1＼]區(qū)間內(nèi)為連續(xù)函數(shù)，且0≤f（x）≤1，通過構(gòu)造函數(shù)的方法證明函數(shù)f（x）=x在＼[0，1＼]上至少存在一個(gè)實(shí)根.通過構(gòu)造一個(gè)輔助函數(shù)F（x）=f（x）-X，并且要求F（0）=f（0）≥0，F(xiàn)（1）=f（1）-1≤0.如果在F（0），F(xiàn)（1）中出現(xiàn)了至少一個(gè)零，那么在0，1之中必然至少有一個(gè)為方程的解.假如F（0）>0而F（1）<0則可以通過零點(diǎn)定理得知，中值ξ在（0，1）之間，使得F（ξ）=0，由此可知函數(shù)方程組f（x）=x在＼[0，1＼]內(nèi)至少存在一個(gè)解.所以我們可知方程f（x）=x在＼[0，1＼]上至少有一個(gè)實(shí)根.對(duì)于一個(gè)具體方程或者含有中值ξ的等式，如果構(gòu)造的函數(shù)不能夠滿足零點(diǎn)定理，我們就需要通過改用羅爾定理進(jìn)行驗(yàn)證.

對(duì)于零點(diǎn)定理不能解決的問題我們用羅爾定理繼續(xù)證明，我們此時(shí)進(jìn)行構(gòu)造函數(shù)的主要方法就是找到原函數(shù)，主要步驟如下所示，首先如果需要證明的是含有ξ的等式，那么我們可以先將ξ轉(zhuǎn)換為x，使得題目中所給的等式成為方程；那么我們就可以將函數(shù)方程f（x）看成是對(duì)未知函數(shù)的微積分方程，下一步需要做的就是去解決這個(gè)微積分方程；通過計(jì)算求出解后，將任意一個(gè)常數(shù)c移動(dòng)到函數(shù)方程的一端，而函數(shù)方程的另一端便是所要構(gòu)造的輔助函數(shù)方程.我們還可以通過觀察法解決形式簡單的函數(shù)方程或者含有ξ的等式.

二、構(gòu)造函數(shù)法在不等式證明中的運(yùn)用步驟

構(gòu)造函數(shù)在簡單方程函數(shù)運(yùn)算時(shí)可以通過單調(diào)性進(jìn)行相關(guān)證明，對(duì)于如f（x）g（x）的不等式函數(shù)，我們可以通過簡單變換構(gòu)造輔助函數(shù)，即F（x）=f（x）-g（x）或者F（x）=g（x）-f（x），然后用單調(diào)遞增函數(shù)或單調(diào)遞減函數(shù)進(jìn)行證明.

對(duì)于相對(duì)復(fù)雜的常數(shù)不等式以及函數(shù)不等式，我們還可以通過拉格朗日定理進(jìn)行證明，經(jīng)過恒等變形后，如果一旦出現(xiàn)方程函數(shù)的差值與自變量之間之差相比較，一旦符合拉格朗日中值的公式，那么我們就可以用拉格朗日中值定理進(jìn)行相關(guān)證明.與此同時(shí)，我們所需要構(gòu)造的這個(gè)函數(shù)也可以通過觀察法得出相應(yīng)的結(jié)果.

構(gòu)造函數(shù)利用拉格朗日定理證明不等式對(duì)于常值不等式或函數(shù)不等式，通過恒等變形后，若出現(xiàn)函數(shù)差值與自變量之差之比，符合拉格朗日中值公式的形式，則用拉格朗日中值定理證明之.此時(shí)，所要構(gòu)造的函數(shù)可以直接觀察得出.

構(gòu)造函數(shù)法中有一種重要的方法，就是利用凹凸性來證明不等式函數(shù)方程，我們通過構(gòu)造函數(shù)法形成一個(gè)輔助函數(shù)，利用函數(shù)方程中的凹凸定義，從而對(duì)不等式進(jìn)行證明，達(dá)到預(yù)期的效果.有時(shí)候可以構(gòu)造輔助函數(shù)，利用函數(shù)凹凸定義，證明某些不等式.

對(duì)于那些函數(shù)不等式中包含有等號(hào)的，可以通過利用函數(shù)最大值或最小值來進(jìn)行相關(guān)證明，如果出現(xiàn)函數(shù)方程在區(qū)間內(nèi)不發(fā)生變號(hào)的時(shí)候，則不能通過構(gòu)造函數(shù)法利用簡單的單調(diào)性進(jìn)行證明，因?yàn)槿绻脝握{(diào)性進(jìn)行證明的時(shí)候需要分很多種情況進(jìn)行討論，往往會(huì)因?yàn)榇中拇笠庠斐汕闆r的遺漏，相對(duì)會(huì)比較麻煩.此時(shí)我們可以通過函數(shù)方程中最值的思想進(jìn)行證明.

總結(jié)

構(gòu)造函數(shù)法在高等數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用還有很多，都可以使得很多復(fù)雜的問題簡單化，除了介紹的應(yīng)用外還可以進(jìn)行相關(guān)數(shù)值的近似計(jì)算、求解函數(shù)值等.構(gòu)造函數(shù)的方法不勝枚舉，需要合理巧妙地運(yùn)用，具體問題進(jìn)行具體分析，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)構(gòu)造合適的函數(shù).關(guān)于構(gòu)造函數(shù)法的具體相關(guān)技巧性，我們需要進(jìn)一步探討.

【參考文獻(xiàn)】

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