曹雅玲

【摘要】分?jǐn)?shù)一詞來(lái)自拉丁文的“ frangere”，意義是指分開(kāi)，通常用來(lái)描述一個(gè)被分開(kāi)的全體之部分.分?jǐn)?shù)的發(fā)明最初即是為了因應(yīng)各種測(cè)量上的需要，而“分?jǐn)?shù)”的概念也與我們的生活關(guān)系密切，日常生活中我們常有分東西的經(jīng)驗(yàn)，例如把一個(gè)蛋糕分成幾塊，或是把一些鉛筆平分給幾個(gè)小朋友等，在分的過(guò)程中，往往會(huì)考慮到要如何分？可以分得多少？或是在測(cè)量物體的長(zhǎng)度時(shí)會(huì)遭遇到所使用的單位度量并不能剛好量完的情形，諸如此類(lèi)的問(wèn)題都跟分?jǐn)?shù)的概念有密切的關(guān)系.“分?jǐn)?shù)”就成了數(shù)學(xué)教材中極為重要的一員.

【關(guān)鍵詞】分?jǐn)?shù)概念；小學(xué)數(shù)學(xué)；教學(xué)方法

目前的小學(xué)數(shù)學(xué)中，分?jǐn)?shù)概念的學(xué)習(xí)是課程的重點(diǎn)之一，主要原因?yàn)椋海?）兒童具備基本的分?jǐn)?shù)概念后，才能進(jìn)一步發(fā)展有理數(shù)概念；（2）兒童在比較兩個(gè)分?jǐn)?shù)的次序關(guān)系時(shí)，須考慮分?jǐn)?shù)的等價(jià)關(guān)系，借由分?jǐn)?shù)的學(xué)習(xí)，兒童能增進(jìn)等價(jià)的觀念；（3）分?jǐn)?shù)概念的了解有助于學(xué)生處理有關(guān)分?jǐn)?shù)的四則運(yùn)算問(wèn)題；（4）分?jǐn)?shù)和許多重要的數(shù)學(xué)概念（如比、比例、機(jī)率、小數(shù)、百分率等）有密切的關(guān)聯(lián)性，而這些概念是兒童學(xué)習(xí)基礎(chǔ)科學(xué)知識(shí)所必需.由此可見(jiàn)分?jǐn)?shù)在數(shù)學(xué)中的重要性.學(xué)童在學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)時(shí)若發(fā)生困難，將會(huì)影響未來(lái)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí).因此，教師若能事先了解分?jǐn)?shù)概念之發(fā)展，診斷出學(xué)童是否有正確之分?jǐn)?shù)概念，以為教學(xué)上之參考.

皮亞杰等人（ 1960）使用連續(xù)量的具體物研究4 ～7歲兒童對(duì)面積的分割行為，以探討兒童如何建構(gòu)部分與整體的關(guān)系，來(lái)形成分?jǐn)?shù)的概念.作者歸納 Ning （1992）、皮亞杰（1960）等人的觀點(diǎn)，認(rèn)為兒童在了解分?jǐn)?shù)運(yùn)算之前必須具有下列4個(gè)子概念，分別敘述如下：

（一）對(duì)單位量的認(rèn)知

處理分?jǐn)?shù)問(wèn)題最重要的一個(gè)概念就是單位量的指認(rèn)，例如：學(xué)生在回答一盒鉛筆有12 支，其中的一支是幾盒的問(wèn)題時(shí)，能夠回答十二分之一盒；或者是一盒鉛筆有12 支時(shí)，學(xué)生能夠?qū)?[]6盒視為12支鉛筆的六等份中的 一份，就是2支鉛筆；2[]6盒視為12支鉛筆的六等份中的兩份，就是4 支.學(xué)生在解題時(shí)，能夠?qū)⒔o定的單位量?jī)?nèi)容視為一支整體，在分辨所給定的單位（盒）和單位分量（支）之間的關(guān)系后，再予以分割.

（二）應(yīng)分完而且沒(méi)有余數(shù)的等分割概念

處理完分?jǐn)?shù)問(wèn)題另一個(gè)重要的概念就是必須有一個(gè)可以除盡的全體才有分?jǐn)?shù)的思考，學(xué)生開(kāi)始接觸正式的分?jǐn)?shù)課程時(shí)，大多從分東西的經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，然后才以圓餅圖或方形圖介紹分?jǐn)?shù)，因此學(xué)生認(rèn)為幾分之幾就是要做“分”的動(dòng)作，而且分完沒(méi)有剩余.例如：一箱飲料有24 罐時(shí)，1[]4箱就是6 罐，2[]4箱是12 罐.因?yàn)?罐是一份，1 箱剛好是4 等份.

（三）具有部分與整體間的關(guān)系

處理分?jǐn)?shù)問(wèn)題重要的概念必須了解分?jǐn)?shù)的意義，避免忽略了分?jǐn)?shù)是要對(duì)整體進(jìn)行等分割的活動(dòng).分?jǐn)?shù)是具有部分與整體間的關(guān)系，學(xué)生能視分?jǐn)?shù) a/b 為一個(gè)數(shù)，且a 為整數(shù)b 的部分（連續(xù)量情境）或a為集合b 的子集（離散量情境）.例如：一箱飲料有24 罐時(shí)，1[]4箱是6 罐，因?yàn)? 罐為1 份，1 箱剛好是4 份，1[]4箱是4 份當(dāng)中的其中 1 份.因此，兒童具有等比例運(yùn)思與等值分?jǐn)?shù)的概念.

（四）單位分量（數(shù)）的確認(rèn)

處理分?jǐn)?shù)問(wèn)題重要的概念也包含單位分量（數(shù)）的確認(rèn).當(dāng)兒童操作了再細(xì)分的部分概念或子分割時(shí)，他們了解到此細(xì)分的部分是全體的一部分，同時(shí)這一個(gè)細(xì)分的部分本身也是一個(gè)可以再細(xì)分的全體，因?yàn)榉謹(jǐn)?shù)是從全體而來(lái)，其全體始終不變.

但是從過(guò)去的研究顯示，分?jǐn)?shù)是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一個(gè)絆腳石，其本身所具備的多重意義，經(jīng)常是造成學(xué)生學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)困難的重要原因之一.對(duì)學(xué)生而言，分?jǐn)?shù)是一個(gè)非常抽象的概念，不容易與日常生活經(jīng)驗(yàn)相連接，因?yàn)樗婕暗氖且环N基準(zhǔn)化的能力，與往后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有極大相關(guān)，因此教師如何教，才能培養(yǎng)學(xué)生基準(zhǔn)化的能力，進(jìn)而有效地發(fā)展分?jǐn)?shù)概念，獲得分?jǐn)?shù)數(shù)感，并且把分?jǐn)?shù)應(yīng)用到問(wèn)題的情境上是教師們需要努力的目標(biāo).在小學(xué)階段的數(shù)學(xué)大都是分析具體物的性質(zhì)以形成概念，教師不應(yīng)為了趕進(jìn)度而省略了一些具體的操作過(guò)程，或?qū)⒐娇谠E視為教學(xué)法寶，因而錯(cuò)過(guò)了一些生活可用的寶貴題材，因?yàn)閿?shù)學(xué)源于日常生活的需要，能與生活相關(guān)聯(lián)的知識(shí)才是活知識(shí)，也唯有與兒童生活相呼應(yīng)的學(xué)習(xí)內(nèi)容，才會(huì)引起學(xué)生的興趣.就小學(xué)高年級(jí)的數(shù)學(xué)而言，分?jǐn)?shù)的學(xué)習(xí)是他們的一個(gè)痛點(diǎn)，尤其是進(jìn)入分?jǐn)?shù)乘除法中，更是暈頭轉(zhuǎn)向，分析其教材內(nèi)容，多數(shù)涉及了兩量間的關(guān)系，再加上分?jǐn)?shù)所賦予它的意義有所不同，導(dǎo)致學(xué)生有如此大的挫折感，如何幫助學(xué)生確實(shí)讓研究者有些困擾.作者基于多年來(lái)的教學(xué)與研究經(jīng)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，教學(xué)內(nèi)容一旦涉及分?jǐn)?shù)概念的文字題時(shí)，學(xué)生的表現(xiàn)總是不如人意，尤其是在分?jǐn)?shù)乘除法運(yùn)算上更是屢屢受挫，歸究其原因發(fā)現(xiàn)，學(xué)生無(wú)法正確地掌握兩量關(guān)系為分?jǐn)?shù)倍的情境經(jīng)驗(yàn)，所以作者認(rèn)為學(xué)生是否擁有分?jǐn)?shù)基準(zhǔn)化能力常是影響分?jǐn)?shù)乘除法運(yùn)算的重要因素.根據(jù)學(xué)者的研究顯示，學(xué)生之所以分?jǐn)?shù)學(xué)習(xí)及運(yùn)算上有很大困難，其原因是學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)概念難以理解，分?jǐn)?shù)符號(hào)與分?jǐn)?shù)意義疏離，只會(huì)機(jī)械式地使用分?jǐn)?shù)算則或套用口訣來(lái)解題，但卻不了解算則的意義.本文將研究者多年來(lái)在課室教學(xué)中的經(jīng)驗(yàn)及綜合各學(xué)者的相關(guān)研究文獻(xiàn)，歸納學(xué)生在分?jǐn)?shù)四則運(yùn)算中的一些迷思概念，分述如下：

（1）僅停留在“起始單位分?jǐn)?shù)”（initial unit fraction ）的階段，并未到達(dá)可復(fù)制的“單位分?jǐn)?shù)階段”.不了解異分母加法需將分母通分的概念及技巧，例如將1[]2+1[]3，學(xué)生直接將分母加分母、分子加分子，就像在處理整數(shù)加法時(shí)一般，完全不去注意分?jǐn)?shù)的表示方式，像這樣的學(xué)生，并不了解不同分母的分?jǐn)?shù)表示其分割數(shù)不相同，因此，進(jìn)行兩個(gè)不同分母分?jǐn)?shù)的合成分解時(shí)，必須先找出這兩個(gè)分?jǐn)?shù)的共測(cè)單位（共同的測(cè)量單位）.

（2）在無(wú)完整分?jǐn)?shù)概念下，以背誦“口訣”來(lái)進(jìn)行解題.總結(jié)教學(xué)的經(jīng)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)一個(gè)共通的現(xiàn)象是學(xué)生在計(jì)算方面的技巧非常熟練，但卻不能理解分?jǐn)?shù)的真正意義.最明顯的例子就是，計(jì)算1[]A除以1[]B時(shí)，為什么要將1[]B倒過(guò)來(lái)再與1[]A相乘呢？大部分的教師都會(huì)請(qǐng)學(xué)生記住這個(gè)運(yùn)算方式，很少人會(huì)在課堂上探究其中的原因，也或許是教師本身的分?jǐn)?shù)知識(shí)欠佳所造成.分?jǐn)?shù)的意義會(huì)隨其應(yīng)用的情境不同而有不同的解釋?zhuān)男螒B(tài)多變又與其他數(shù)學(xué)知識(shí)有密切的關(guān)聯(lián)，使得無(wú)論是學(xué)生或是身為教學(xué)者的成人都容易產(chǎn)生多種的迷思概念.分?jǐn)?shù)是一個(gè)非常抽象的概念，其學(xué)習(xí)的過(guò)程沒(méi)有整數(shù)概念來(lái)得長(zhǎng)，所以在學(xué)生無(wú)法快速吸收的狀況下，背誦“口訣”.

（3）數(shù)與量的概念無(wú)法區(qū)別.分?jǐn)?shù)的數(shù)與量概念出現(xiàn)混淆，如：一瓶 5公升的果汁，喝掉了整瓶果汁的2[]3，還剩下多少公升？當(dāng)學(xué)生的解題為 5-2[]3時(shí)，學(xué)生無(wú)法理解2[]3在此是一個(gè)運(yùn)算子，而將它視為是一個(gè)量.

（4）異分母的合成分解在通分上有困難.學(xué)生在對(duì)分?jǐn)?shù)的意義不了解的情況下，胡亂使用分?jǐn)?shù)算則，不知使用等值分?jǐn)?shù)、通分等基本概念，因此在分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)換成假分?jǐn)?shù)或者是在處理分?jǐn)?shù)計(jì)算的過(guò)程中，便容易導(dǎo)致錯(cuò)誤的發(fā)生，影響了分?jǐn)?shù)的學(xué)習(xí)；當(dāng)學(xué)生在等值分?jǐn)?shù)及因數(shù)倍數(shù)的概念發(fā)展不完全時(shí)，一旦面對(duì)分?jǐn)?shù)的合成與分解時(shí)，必定會(huì)慌了手腳，因?yàn)楫惙帜傅暮铣煞纸馐嵌ㄎ辉趯ふ夜矞y(cè)單位的基礎(chǔ)上，而共測(cè)單位的分母必為被加（減）數(shù)及加（減）數(shù)分母公倍數(shù).

（5）基準(zhǔn)量與比較量相混淆.學(xué)生對(duì)兩量之間關(guān)系的比較所易犯的迷思是，先出現(xiàn)的數(shù)先寫(xiě)，例如：小明喝了112杯的鮮奶，小英喝了214杯的鮮奶，請(qǐng)問(wèn)小英喝的鮮奶是小明的幾倍？學(xué)生在解此題時(shí)常常忽略了基準(zhǔn)量是小明，而直接將先出現(xiàn)的數(shù)112 寫(xiě)在算式的前項(xiàng)，后提到的數(shù)214 則寫(xiě)在后項(xiàng).

（6）離散量與單位量相混淆.當(dāng)單位分?jǐn)?shù)所指內(nèi)容物為離散量時(shí)，如果內(nèi)容物個(gè)數(shù)大于分母時(shí)，學(xué)生較為可能發(fā)生解題錯(cuò)誤，尤其是當(dāng)題目中同時(shí)包含兩個(gè)單位時(shí)，學(xué)生分?jǐn)?shù)運(yùn)算便明顯地受到干擾.

（7）大數(shù)除以小數(shù).高年級(jí)學(xué)生分?jǐn)?shù)概念的發(fā)展時(shí)，有部分學(xué)生在內(nèi)容物小于整數(shù)量時(shí)，常常依舊以大數(shù)除以小數(shù)來(lái)解題，他們并不知道以真分?jǐn)?shù)來(lái)表示相對(duì)比較的結(jié)果.例如：甲的 7 倍是3，乙的5倍是2，請(qǐng)問(wèn)甲乙兩數(shù)共多少？學(xué)生很容易以7÷ 3來(lái)求得甲數(shù)，以5÷2 來(lái)求得乙數(shù).

Behr等人（1983）則設(shè)計(jì)了一個(gè)有理數(shù)教學(xué)的概念架構(gòu)，依此架構(gòu)先教等分及部分整體概念，再教比、運(yùn)算子、商、測(cè)量，最后才教等價(jià)分?jǐn)?shù)、乘法、解題和加法 （如圖）.

有理數(shù)教學(xué)的概念架構(gòu) （Behr al.，1983）

此外，Kierren （1988）提供如何進(jìn)行有效的有理數(shù)知識(shí)概念的建構(gòu)，由具體事實(shí)到較抽象概念的階層，建構(gòu)了一個(gè)有理數(shù)知識(shí)的概念結(jié)構(gòu)，此知識(shí)系統(tǒng)可以分成下列幾個(gè)層次：（1）具體事實(shí)——生活中可以觀察的一些現(xiàn)象，例如將蘋(píng)果切成兩份、把10顆糖果平分給兩人等等是具體事實(shí).局部概念——由具體事實(shí)所抽象出來(lái)的基層概念，如公平、快慢等等為局部概念.（2）有理數(shù)的第一階層的概念——等分、等值、單位.這三個(gè)建構(gòu)使得兒童能解決與分?jǐn)?shù)有關(guān)的問(wèn)題.（3）有理數(shù)的第二階層概念——測(cè)量、商、比、和運(yùn)算子.（4）純量與函數(shù)的關(guān)系.（5）乘法結(jié)構(gòu)及形式化的乘法.（6）形式化的加法與形式化的乘法.（7）有理數(shù)體——完整的形式化系統(tǒng)，抽象代數(shù)所探討的領(lǐng)域.目前小學(xué)課程中，先由等分來(lái)引入分?jǐn)?shù)概念，學(xué)生理解的階層約到第三層.對(duì)于這樣的概念結(jié)構(gòu)，教師需有深入的了解才能依學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展適當(dāng)?shù)剡M(jìn)行教學(xué).

在教學(xué)上，課程的設(shè)計(jì)必須符合學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展，課程的深淺必須依照概念發(fā)展的順序進(jìn)行編排，讓學(xué)生由最基本最易學(xué)習(xí)的概念開(kāi)始學(xué)習(xí).依據(jù)Lesh，Post & Behr（1987）的表征結(jié)構(gòu)，老師在教學(xué)時(shí)，應(yīng)強(qiáng)調(diào)實(shí)物表征、具體操作物表征、圖形表征、口語(yǔ)表征、符號(hào)表征之間的聯(lián)結(jié)，因?yàn)閷W(xué)生在學(xué)習(xí)同分母真分?jǐn)?shù)的加減法時(shí)，已是一、二年級(jí)或三年級(jí)了，此時(shí)學(xué)生已漸漸脫離需要實(shí)物與具體操作物的時(shí)期，因此老師在教學(xué)時(shí)可以同時(shí)加強(qiáng)圖形表征、口語(yǔ)表征、符號(hào)表征之間的聯(lián)結(jié).同時(shí)也應(yīng)讓學(xué)生了解，當(dāng)老師在評(píng)量時(shí)，可以運(yùn)用他在課堂上所熟悉的圖形表征或者把口語(yǔ)表征文字化來(lái)說(shuō)明他所了解的概念，才不會(huì)出現(xiàn)上述大部分學(xué)生只寫(xiě)算式，不知道如何表達(dá)他的概念性知識(shí).教師的任務(wù)在于幫助學(xué)生能有意義及有效的學(xué)習(xí)，一般認(rèn)為分析學(xué)生的迷思概念可以了解學(xué)生的內(nèi)在概念，能使教師更清晰地了解學(xué)生的心理運(yùn)作，對(duì)于教學(xué)策略的修正、補(bǔ)救教學(xué)的實(shí)施有相當(dāng)大的幫助.因此，面對(duì)學(xué)生分?jǐn)?shù)學(xué)習(xí)成效不佳的問(wèn)題，教師應(yīng)對(duì)此作深入的了解，才能針對(duì)學(xué)生在分?jǐn)?shù)學(xué)習(xí)上可能遭遇的困難加以防范，并對(duì)其所產(chǎn)生的錯(cuò)誤加以診斷.此外，教師需努力加強(qiáng)自身的分?jǐn)?shù)知識(shí)和分?jǐn)?shù)教學(xué)知識(shí)，然后設(shè)計(jì)適當(dāng)?shù)慕虒W(xué)方案，并注意在設(shè)計(jì)問(wèn)題時(shí)，應(yīng)包含由各個(gè)類(lèi)型出發(fā)的題目，以提升學(xué)生的學(xué)習(xí)成效.以抽象的分?jǐn)?shù)概念教學(xué)來(lái)說(shuō)，與其在黑板上講得口沫橫飛，倒不如讓學(xué)生多一點(diǎn)“玩”的經(jīng)驗(yàn)，以量杯、直尺、拼板，甚至繩子或棍子，讓學(xué)生“玩”出比例的概念，從中體會(huì)分?jǐn)?shù)運(yùn)算的法則，像這樣從學(xué)生的先備經(jīng)驗(yàn)及生活經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，目的是要引出學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的感覺(jué)，有了這種參與、討論、對(duì)話及實(shí)作的感覺(jué)后，數(shù)學(xué)興趣自然提升，然后再來(lái)講解分?jǐn)?shù)運(yùn)算及實(shí)際例題等，可能會(huì)有比較好的學(xué)習(xí)效果.

總而言之，學(xué)生在學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)運(yùn)算的過(guò)程中障礙重重，教師有必要針對(duì)其運(yùn)算上的迷思點(diǎn)追溯到問(wèn)題的源頭，采取有效的教學(xué)來(lái)幫助學(xué)生.在分?jǐn)?shù)加減運(yùn)算上，學(xué)生需先能理解等值分?jǐn)?shù)及通分的意義，并能尋求共測(cè)單位，才能進(jìn)一步解決異分母的合成分解問(wèn)題；在分?jǐn)?shù)乘除運(yùn)算上，亦應(yīng)先由單位量轉(zhuǎn)換及等分割的觀點(diǎn)來(lái)引導(dǎo)學(xué)生成功解題，必要時(shí)再引入成人的分?jǐn)?shù)運(yùn)算法則，讓學(xué)生能知其所以然.