張劍妹 李艷玲 吳海霞

【摘要】結(jié)合計(jì)算機(jī)專業(yè)的離散數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐，對(duì)數(shù)理邏輯、集合論、代數(shù)系統(tǒng)和圖論四個(gè)部分在計(jì)算機(jī)科學(xué)中的應(yīng)用進(jìn)行了深入探討，并通過具體應(yīng)用實(shí)例或練習(xí)闡述了如何將計(jì)算機(jī)應(yīng)用與離散數(shù)學(xué)教學(xué)結(jié)合起來，以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提高教學(xué)效率.

【關(guān)鍵詞】離散數(shù)學(xué)；計(jì)算機(jī)應(yīng)用；教學(xué)效率

【中圖分類號(hào)】G642

【基金項(xiàng)目】山西省高等學(xué)校教學(xué)改革重點(diǎn)項(xiàng)目（項(xiàng)目編號(hào)：J2012102），長(zhǎng)治學(xué)院教學(xué)研究項(xiàng)目（項(xiàng)目編號(hào)：2011205）.

離散數(shù)學(xué)是研究離散量的結(jié)構(gòu)及相互關(guān)系的數(shù)學(xué)學(xué)科，是計(jì)算機(jī)等信息類專業(yè)的專業(yè)基礎(chǔ)課.該課程的學(xué)習(xí)為數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)、編譯原理、操作系統(tǒng)、數(shù)據(jù)庫原理和人工智能等后續(xù)課程的學(xué)習(xí)打下了堅(jiān)實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，同時(shí)也有利于提高學(xué)生的抽象思維、邏輯思維和計(jì)算思維能力，為學(xué)生后續(xù)的學(xué)習(xí)和工作奠定了基礎(chǔ).鑒于離散數(shù)學(xué)在計(jì)算機(jī)科學(xué)中的重要性，中國(guó)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)科教程2002和教育部高等學(xué)校計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)教學(xué)指導(dǎo)委員會(huì)都將其列為計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)科教育的核心基礎(chǔ)課程.

離散數(shù)學(xué)具有內(nèi)容廣、概念多、邏輯性與理論性強(qiáng)、高度抽象等特點(diǎn)，對(duì)計(jì)算機(jī)專業(yè)的學(xué)生來講，他們更注重于計(jì)算機(jī)應(yīng)用技能的獲得，認(rèn)識(shí)不到離散數(shù)學(xué)與其專業(yè)的相關(guān)性，把離散數(shù)學(xué)作為一門純粹的數(shù)學(xué)課學(xué)習(xí)，導(dǎo)致一些學(xué)生失去學(xué)習(xí)熱情，嚴(yán)重影響教學(xué)效果.另一方面，純數(shù)學(xué)的教學(xué)方法也不能滿足應(yīng)用性人才培養(yǎng)的需求.為了解決這個(gè)問題，很多教師離散數(shù)學(xué)教學(xué)中增加相應(yīng)實(shí)驗(yàn)內(nèi)容，并且設(shè)計(jì)了切實(shí)可行的實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目.但這些實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目大多是對(duì)離散數(shù)學(xué)中的一些基本算法進(jìn)行實(shí)現(xiàn)，其目的在于鞏固學(xué)生所學(xué)的基本概念、原理和方法.筆者認(rèn)為影響離散數(shù)學(xué)教學(xué)效率的一個(gè)最根本的原因是學(xué)生不明白離散數(shù)學(xué)與所學(xué)專業(yè)的關(guān)系，如何將離散數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)應(yīng)用相結(jié)合起來成為提高離散數(shù)學(xué)教學(xué)效率的重要環(huán)節(jié).本文深入探討了離散數(shù)學(xué)在計(jì)算機(jī)科學(xué)中的應(yīng)用，并給出了必要的應(yīng)用實(shí)例，旨在引導(dǎo)廣大教師將更多的計(jì)算機(jī)應(yīng)用相關(guān)的實(shí)例引入離散數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到離散數(shù)學(xué)的實(shí)用性，從而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提高教學(xué)效率.

一、數(shù)理邏輯在計(jì)算機(jī)科學(xué)中的應(yīng)用

數(shù)理邏輯是以數(shù)學(xué)的方法研究形式邏輯中的推理，一般包括命題邏輯和謂詞邏輯兩部分內(nèi)容，它廣泛地應(yīng)用于人工智能、程序理論、數(shù)據(jù)庫理論和計(jì)算機(jī)硬件電路設(shè)計(jì)等研究中.在課堂教學(xué)中，如果教師僅用這些概括性的結(jié)論強(qiáng)調(diào)數(shù)理邏輯在計(jì)算機(jī)科學(xué)中的應(yīng)用，恐怕會(huì)適得其反，為了突出應(yīng)用，吸引學(xué)生的注意力，教師可以把如下幾個(gè)簡(jiǎn)單的應(yīng)用實(shí)例引入課堂教學(xué).

1.數(shù)理邏輯在硬件電路設(shè)計(jì)中的應(yīng)用

數(shù)理邏輯中的邏輯演算是數(shù)字邏輯的基礎(chǔ)，計(jì)算機(jī)系統(tǒng)中用高低電平來表示二進(jìn)制數(shù)據(jù)中的1和0，計(jì)算機(jī)電路設(shè)計(jì)中用與、或、非門來實(shí)現(xiàn)數(shù)據(jù)的算術(shù)運(yùn)算和邏輯運(yùn)算.離散數(shù)學(xué)教學(xué)中我們引入一位全加器的設(shè)計(jì)作為數(shù)理邏輯在硬件電路設(shè)計(jì)中的應(yīng)用實(shí)例.教師首先闡述邏輯電路設(shè)計(jì)的基本步驟（若還未開設(shè)數(shù)字邏輯課，教師可以詳細(xì)講解，否則，則是簡(jiǎn)單地復(fù)習(xí)已有知識(shí)），然后要求學(xué)生寫出邏輯表達(dá)式.

假設(shè)Ai，Bi為兩位操作數(shù)，Ci-1為低位的進(jìn)位，Si為本位和，Ci為本位向高位的進(jìn)位，根據(jù)加法的意義，學(xué)生很容易寫出如下真值表：

當(dāng)學(xué)生根據(jù)真值表寫出邏輯表達(dá)式時(shí)，教師只要稍加引導(dǎo)，學(xué)生就會(huì)發(fā)現(xiàn)寫出的邏輯表達(dá)式恰好是主析取范式，主析取范式與真值表的關(guān)系是書寫邏輯表達(dá)式最直接的理論依據(jù).既然學(xué)生已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了數(shù)理邏輯在硬件電路設(shè)計(jì)中的應(yīng)用，是否繼續(xù)畫邏輯電路已無關(guān)緊要了.對(duì)有余力的同學(xué)，教師還可以給出一些具體要求，讓學(xué)生設(shè)計(jì)一個(gè)表決器或者搶答器.

2.程序設(shè)計(jì)中的數(shù)理邏輯

數(shù)理邏輯可以用來驗(yàn)證程序的正確性，同時(shí)，學(xué)生在自覺不自覺中已經(jīng)將數(shù)理邏輯應(yīng)用到程序設(shè)計(jì)中.為了使問題更加清晰，教師可以將如下實(shí)例引入離散數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中.例，在數(shù)組StArr中查找“Jon”，使用方法StArr.size（）和StArr[i].getName（）寫出兩個(gè)循環(huán)條件并證明這兩個(gè)循環(huán)條件的等價(jià)性.學(xué)生很容易得出如下兩個(gè)循環(huán)條件并使用德摩根律證明兩個(gè)循環(huán)條件的等值性：

i

not （i>=StArr.size（） or StArr[i].getName（）=="Jon"

3.量詞在SQL語句的應(yīng)用

數(shù)理邏輯的謂詞演算被引入到關(guān)系運(yùn)算中，以此為基礎(chǔ)形成的關(guān)系數(shù)據(jù)庫查詢語言叫關(guān)系演算語言，如ALPHA語言，QEB語言等，關(guān)系數(shù)據(jù)庫的SQL查詢語句中也允許用戶使用全稱量詞和存在量詞.教師可以有意識(shí)地讓學(xué)生做SQL查詢方面的訓(xùn)練.假如某學(xué)生管理數(shù)據(jù)庫中有如下三個(gè)數(shù)據(jù)表：學(xué)生表S（S#，SNAME，SEX，AGE，DEP），課程名表C（C#，CNAME，TEACHER），學(xué)生選課表SC（S#，C#，GRADE）；要求學(xué)生用帶量詞的SQL語句完成如下查詢并驗(yàn)證其查詢結(jié)果是否正確.

①查詢至少選修一門課的學(xué)生的姓名；

②查詢選修全部課程的學(xué)生的姓名；

③查詢沒有學(xué)生選修的課程.

教師也可以給出相應(yīng)的查詢語句并讓學(xué)生解釋，使其體會(huì)到離散數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)應(yīng)用之間的關(guān)系.

二、集合論在計(jì)算機(jī)科學(xué)中的應(yīng)用

集合論一般包括集合代數(shù)、二元關(guān)系和函數(shù)三部分內(nèi)容.集合是具有共同性質(zhì)的、可確定的、可分辨一組事物組成整體，二元關(guān)系是由二元組作為元素構(gòu)成的集合，函數(shù)是特殊的二元關(guān)系.由此可見，二元關(guān)系和函數(shù)都是集合.集合是構(gòu)造離散結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)，在數(shù)據(jù)庫技術(shù)、數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)、軟件工程和程序設(shè)計(jì)中得到了廣泛的應(yīng)用.

1.集合在關(guān)系數(shù)據(jù)庫查詢中的應(yīng)用

一個(gè)關(guān)系數(shù)據(jù)庫表就是其行的集合，數(shù)據(jù)表中每個(gè)行就是由其數(shù)據(jù)項(xiàng)組成的一個(gè)n元組（表中有幾列就是幾元組），關(guān)系代數(shù)中選擇運(yùn)算和投影運(yùn)算及為二元關(guān)系中的限制運(yùn)算和像運(yùn)算，笛卡爾積運(yùn)算可以使用SQL語句中的多表連接查詢來實(shí)現(xiàn)，SQL查詢中還允許使用普通的并、交、差、補(bǔ)等運(yùn)算.在教學(xué)中，我們針對(duì)學(xué)生管理數(shù)據(jù)庫中的數(shù)據(jù)表設(shè)計(jì)了如下查詢，要求學(xué)生用連接運(yùn)算和集合運(yùn)算完成，并鼓勵(lì)學(xué)生在課外上機(jī)驗(yàn)證，以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.

例1 完成下列SQL查詢.

① 檢索數(shù)學(xué)系和計(jì)算機(jī)系的所有學(xué)生的姓名；

② 檢索既選修C2和C3課程的學(xué)生的姓名；

③ 檢索選修C2但不選修C3課程的學(xué)生的姓名；

④ 檢索沒有選修C2和C3課程的學(xué)生的姓名.

這個(gè)例子有助于學(xué)生很好的理解邏輯運(yùn)算和集合運(yùn)算之間的關(guān)系.如①的兩種SQL查詢語句分別如下：

I.SELECT S.SNAME FROM S WHERE DEP="數(shù)學(xué)系" and DEP="計(jì)算機(jī)系"

II.SELECT S.SNAME FROM S WHERE DEP="數(shù)學(xué)系"

UNIONSELECT S.SNAME FROM S WHERE DEP="計(jì)算機(jī)系"

例2 顯示下列SQL語句的執(zhí)行結(jié)果，分析該結(jié)果的正確性及其原因.

SELECT S.SNAME，C.CNAME FROM S，C

該例子的查詢結(jié)果是表S和表C的笛卡爾積，無論學(xué)生與課程之間是否有選課關(guān)系，都會(huì)將學(xué)生名和課程名連接起來.

2.等價(jià)類在軟件測(cè)試中的應(yīng)用

軟件測(cè)試是軟件開發(fā)的最后一個(gè)階段，其目的是通過運(yùn)行程序，發(fā)現(xiàn)程序中潛在的錯(cuò)誤.等價(jià)類劃分是黑盒測(cè)試最常用的方法，其基本思想是把輸入數(shù)據(jù)的可能取值劃分為若干個(gè)等價(jià)類，使每個(gè)等價(jià)類中的數(shù)據(jù)可以發(fā)現(xiàn)程序中的一類錯(cuò)誤，這樣只需從每個(gè)等價(jià)類中選擇一個(gè)數(shù)據(jù)作為測(cè)試用例就可測(cè)試出這類錯(cuò)誤，而不需要窮舉所有的數(shù)據(jù).實(shí)際教學(xué)中，教師可以寫出一個(gè)簡(jiǎn)單C語言程序要求學(xué)生使用等價(jià)類劃分法設(shè)計(jì)測(cè)試用例，如用戶登錄系統(tǒng)、輸入一個(gè)年月日計(jì)算這天為該年的第幾天等程序.這樣既有利于學(xué)生對(duì)等價(jià)關(guān)系、等價(jià)類、商集和劃分等概念的理解，也有利于學(xué)生理解離散數(shù)學(xué)在計(jì)算機(jī)科學(xué)中的應(yīng)用，從而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，變被動(dòng)學(xué)習(xí)為主動(dòng)學(xué)習(xí).

三、代數(shù)系統(tǒng)在計(jì)算機(jī)科學(xué)中的應(yīng)用

代數(shù)系統(tǒng)的研究方法和研究結(jié)果在構(gòu)造可計(jì)算數(shù)學(xué)模型、研究計(jì)算復(fù)雜性、編碼理論、程序設(shè)計(jì)語言的語義學(xué)等方面有著重要的意義.代數(shù)系統(tǒng)中的群論在計(jì)算機(jī)安全領(lǐng)域得到廣泛關(guān)注，比如利用置換群實(shí)現(xiàn)秘鑰交換.在講解枯燥無味的群論時(shí)作者引入了如下應(yīng)用實(shí)例.

計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)安全中常用的數(shù)據(jù)加密技術(shù)有對(duì)稱加密和不對(duì)稱加密.凱撒密碼是一種古老的對(duì)稱加密體制，其基本思想是通過把字母移動(dòng)一定的位數(shù)來實(shí)現(xiàn)加密和解密.凱撒密碼容易被破解，在實(shí)際應(yīng)用中無法保證通信安全.為了使密碼具有更高的安全性，出現(xiàn)了單字母替換密碼.如，

明碼表 A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z

密碼表 Q W E R T Y U I O P A S D F G H J K L Z X C V B N M

即明文中的A替換成Q、B替換成W、C替換成E等，如果密碼表是明碼表的任意中重排，秘鑰就會(huì)增加到26！種，破解非常困難.很顯然，每個(gè)字母表就是一個(gè)置換，這樣，在26個(gè)英文字母上的置換和置換的復(fù)合構(gòu)成了置換群.

使用字母表替換密碼，通信雙方需要預(yù)先約定好共享的保密秘鑰（即字母表）.若由于某種原因（如，原秘鑰受到威脅）需要臨時(shí)改變秘鑰，秘鑰交換就成為一個(gè)至關(guān)重要的問題.置換群可以實(shí)現(xiàn)用戶的密鑰交換，為了便于理解，假定通信雙方之間傳輸?shù)男畔⒅挥蠥，B，C三個(gè)字母，三個(gè)字母上有6個(gè)不同置換，這樣用戶A，B的公共信息為置換群G={σ1，σ2，σ3，σ4，σ5，σ6}.運(yùn)算表如下：

（1）用戶A從群G中構(gòu)造一個(gè)序列SA={σ2，σ3，σ4，σ5}并向外界公布，用戶B從群G中構(gòu)造一個(gè)序列SB={σ1，σ4，σ5，σ6}也向外界公布；

（2）用戶A在序列SA中選擇一個(gè)私鑰X，不妨設(shè)X-1=σ2σ3σ5=σ6，對(duì)SB中的元素進(jìn)行共軛運(yùn)算Xσ1X-1，Xσ4X-1，Xσ5X-1，Xσ6X-1，并把結(jié)果發(fā)給用戶B，本例中運(yùn)算結(jié)果為{σ1，σ2，σ5，σ6}；

（3）用戶B在序列SB中選擇一個(gè)私鑰Y，不妨設(shè)Y=σ4σ5σ6=σ4，并對(duì)SA中的元素進(jìn)行共軛運(yùn)算Yσ2Y-1，Yσ3Y-1，Yσ4Y-1，Yσ5Y-1，并把結(jié)果發(fā)給用戶A，本例中運(yùn)算結(jié)果為{σ3，σ2，σ4，σ6}；

（4）用戶A用自己的私鑰X和用戶B發(fā)給自己的信息可得：

X·YX-1Y-1=X·Y（σ2σ3σ5）Y-1=X·Yσ2Y-1·Yσ3Y-1·Yσ5Y-1=σ5σ3σ2σ6=σ6；

（5）用戶B用自己的私鑰Y和用戶A發(fā)給自己的信息可得：

XYX-1·Y-1=X（σ4σ5σ6）X-1·Y-1=Xσ4X-1·Xσ5X-1·Xσ6X-1·Y-1=σ2σ5σ6σ4=σ6.

用戶A和用戶B即得公共會(huì)話密鑰K=XYX-1Y-1=σ3=（1 3） （2 4）.

四、圖論在計(jì)算機(jī)科學(xué)中的應(yīng)用

圖論是一個(gè)應(yīng)用非常廣泛的數(shù)學(xué)分支.在圖論中用頂點(diǎn)表示事物，用頂點(diǎn)之間的邊表示事物的聯(lián)系，這樣，圖論就成為很自然的一種數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，這種數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)為許多問題的解決提供了抽象和描述方法，廣泛地應(yīng)用在計(jì)算機(jī)科學(xué)中.從圖的形式化定義看，圖中的頂點(diǎn)組成一個(gè)集合，邊是頂點(diǎn)集上的關(guān)系，這樣，圖論則是關(guān)系的圖形化表示.在離散數(shù)學(xué)中，為了激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，每個(gè)教師都會(huì)引入一些有趣的數(shù)學(xué)游戲和一些典型的應(yīng)用，如關(guān)鍵路徑問題和最短路徑問題.除此之外，教師還可以引入一些計(jì)算機(jī)應(yīng)用方面的實(shí)例，以突出圖論在計(jì)算機(jī)科學(xué)中的重要性.

1.圖在計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)設(shè)計(jì)中的應(yīng)用

在計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)工程中，設(shè)計(jì)者總希望用盡可能少的網(wǎng)絡(luò)布線連接網(wǎng)絡(luò)站點(diǎn)，這樣，就不可能通過站點(diǎn)之間的連線來確定它們是否連通.使用圖可以有效地測(cè)試網(wǎng)絡(luò)站點(diǎn)之間的連通性.網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)可以用有向圖表示，其中圖中的節(jié)點(diǎn)表示網(wǎng)站，節(jié)點(diǎn)間的有向邊表示網(wǎng)站之間的鏈接.教師可以給定一個(gè)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖，要求學(xué)生使用有向圖的鄰接矩陣計(jì)算是否可以從一個(gè)網(wǎng)站導(dǎo)航到另一個(gè)網(wǎng)站.事實(shí)上，如果把網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)之間的鏈接看成是一種關(guān)系的話，給定一組網(wǎng)絡(luò)站點(diǎn)，根據(jù)網(wǎng)絡(luò)站點(diǎn)之間的連接可以建立一個(gè)該節(jié)點(diǎn)集上的關(guān)系，這樣利用關(guān)系的傳遞閉包也可以判斷任意兩個(gè)網(wǎng)絡(luò)站點(diǎn)之間是否有網(wǎng)絡(luò)連接.通過這個(gè)例子，不僅可以使學(xué)生理解圖與計(jì)算機(jī)應(yīng)用之間的關(guān)系，還可以使學(xué)生進(jìn)一步理解關(guān)系與圖之間的關(guān)系，加深學(xué)生對(duì)圖的形式化定義的理解.

2.哈夫曼樹在文本文件壓縮中的應(yīng)用

哈夫曼樹是一種最優(yōu)二元樹，用哈夫曼樹產(chǎn)生的二元前綴編碼叫哈夫曼編碼.在離散數(shù)學(xué)教材上，通常會(huì)以例題的形式給出哈夫曼編碼在信息傳輸中的應(yīng)用.事實(shí)上，這樣的例子足以說明樹在計(jì)算機(jī)科學(xué)中的應(yīng)用，但是由于該例題的局限性，很多學(xué)生沒有認(rèn)識(shí)到樹在計(jì)算機(jī)科學(xué)中的重要性.作者把這個(gè)例題稍做擴(kuò)展后，將哈夫曼編碼在文件壓縮中的應(yīng)用[10]引入到離散數(shù)學(xué)教學(xué)中.

壓縮分為有損壓縮和無損壓縮.視頻、音頻等多媒體信息經(jīng)常進(jìn)行有損壓縮，而本文只能采用無損壓縮，基于哈夫曼編碼的壓縮是一種無損壓縮.利用哈夫曼編碼壓縮文件的基本步驟如下：

（1）掃描原文件，統(tǒng)計(jì)各個(gè)字符出現(xiàn)的頻率.每個(gè)西文字符占一個(gè)字節(jié)，而且最高位為0；對(duì)于中文字符，將一個(gè)字符分為兩個(gè)字節(jié)，以字節(jié)為單位進(jìn)行統(tǒng)計(jì)；

（2）利用統(tǒng)計(jì)結(jié)果構(gòu)造哈夫曼樹；

（3）利用構(gòu)造好的哈夫曼樹對(duì)各字符進(jìn)行哈夫曼編碼；

（4）再次掃描原始文件，利用生成的哈夫曼編碼重新編碼原始文件，即得到一個(gè)壓縮文件.

五、結(jié)束語

通過將計(jì)算機(jī)應(yīng)用與離散數(shù)學(xué)理論相結(jié)合的教學(xué)方法，使學(xué)生對(duì)離散數(shù)學(xué)與其專業(yè)的相關(guān)性有了充分的認(rèn)識(shí)，激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提高了學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，有效地提高了離散數(shù)學(xué)的教學(xué)效率.未來，我們將在離散數(shù)學(xué)教學(xué)中增加更多的實(shí)用性內(nèi)容，以滿足應(yīng)用型人才培養(yǎng)的需求.

【參考文獻(xiàn)】

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