黃正洪

圓內(nèi)兩弦相交，有相交弦定理，該兩弦在圓周上確定的四邊形與其對角線的關(guān)系，有托勒密定理.那么圓內(nèi)多弦相交于一點(diǎn)會有什么情形產(chǎn)生呢？對此一問的結(jié)論是：當(dāng)相交于一點(diǎn)的弦數(shù)為多于2的偶數(shù)時(shí)，由最基本的兩弦相交的相交弦定理和托勒密定理的拓展，我們可以尋覓到一些有趣的現(xiàn)象，但這其間更多真正的奧秘還有待于探索和挖掘.而當(dāng)相交于一點(diǎn)的弦數(shù)為多于1的奇數(shù)時(shí)，我們發(fā)現(xiàn)這里邊有一個數(shù)學(xué)的汪洋大海，面對海岸邊迷人的風(fēng)光，叫人不舍離去，也許是造化不負(fù)有心尋覓之人，作為回報(bào)一看似極為平常實(shí)際卻很珍貴的小顆粒發(fā)出了奪目的閃光，這寶貝肯定是先賢不小心失落，對這一拾得物我們可作如下描述：“過圓內(nèi)一點(diǎn)M的（2n-1）（n=2，3，4…）條弦在圓周上所確定的多邊形的兩組不相鄰的邊的乘積相等.”以上敘述就是我們自詡的“圓內(nèi)共點(diǎn)弦定理”.下面為該定理作出證明：

如圖（一），假設(shè)（2n-1）條圖（一）弦在圓O內(nèi)相交于M點(diǎn)，我們定義這些弦的兩個端點(diǎn)在圓周上所確定的2（2n-1）邊形為A1A2A3…A2（2n-1）.

于是知這些共點(diǎn)弦分別為：A1A2n，A2A（2n+1），…，A2（2n-1）A（2n-1）.設(shè)MA1=a1，MA3=a2，…，MA（2i-1）=ai（i=1，2，3…）.

于是由兩弦所夾的兩對頂三角形分別相似的情形，在圓的360°范圍內(nèi)由相交弦定理，我們可得如下所有（2n-1）組等式：

A1A2/A2nA（2n+1）=a1/a（n+1）.（1）

……

A（2n-3）A（2n-2）/A（4n-4）A（4n-3）=a（n-1）/a（2n-1）.（2）

A（2n-1）A2n/A（4n-2）A1=an/a1.（3）

……

A（4n-3）A（4n-2）/A（2n-2）A（2n-1）=a（2n-1）/an.（4）

將以上（2n-1）組等式的兩邊分別連乘，于是就得到：

A1A2×…×A（2n-3）A（2n-2）×A（2n-1）A2n×…×A（4n-3）A（4n-2）/A2nA（2n+1）×…×A（4n-4）A（4n-3）×A（4n-2）A1×…×A（2n-2）A（2n-1）=a1×…×a（n-1）×an×…×a（2n-1）/a（n+1）×…×a（2n-1）×a1×…×an=1.（5）

由（5）式，于是我們就有：

A1A2×…×A（2n-3）A（2n-2）×A（2n-1）A2n×…×A（4n-3）A（4n-2）=A2nA（2n+1）×…×A（4n-4）A（4n-3）×A（4n-2）A1×…×A（2n-2）A（2n-1）.（6）

等式（6）就是“圓內(nèi)共點(diǎn)弦定理”的表達(dá)式，它在平面幾何的證題中有一定的現(xiàn)實(shí)意義.這里讓我們來作一應(yīng)用舉例：

如圖（二），已知 M，N是圓周上的任意可移動的兩個點(diǎn)，P是直徑AB上的動點(diǎn)，求證：tan∠AMP×tan∠BNP為定值.

圖（二）證明 設(shè)圖中NP的延長線交圓O于D，MP的延長線交圓O于C，且設(shè)圖中∠AMP=α，∠BNP=β.于是根據(jù)同弧上的圓周角相等我們可推知∠ABC=α，∠BAD=β.因AB為直徑，進(jìn)一步由直角三角形邊長與三角函數(shù)的關(guān)系我們可得：

tan∠AMP=tan∠α=AC/BC.（7）

tan∠BNP=tan∠β=BD/AD.（8）

將（7）乘上（8）于是我們可得：

tan∠AMP×tan∠BNP=AC×BD/AD×BC.（9）

在圓內(nèi)接四邊形ABCD中，由托勒密定理我們可得：

AC×BD=AD×BC+AB×CD.（10）

將（10）代入（9）我們有：

tan∠AMP×tan∠BNP=（AD×BC+AB×CD）/AD×BC.（11）

將（11）化簡可得：

tan∠AMP×tan∠BNP=1+AB×CD/AD×BC.（12）

至此我們應(yīng)用“圓內(nèi)共點(diǎn)弦定理”，且只取當(dāng)（n=2）時(shí)的情形（即將共點(diǎn)弦數(shù)定為三條），于是我們可得如下等式：

AD×BC×MN=AM×BN×CD.（13）

將（13）改寫我們可得：

AD×BC=（AM×BN×CD）/MN.（14）

將（14）代入（12）就有：

tan∠AMP×tan∠BNP=1+AB×CD×/（AM×BN×CD/MN）.（15）

將（15）化簡可得：

tan∠AMP×tan∠BNP=1+AB×MN/AM×BN.（16）

在圓內(nèi)接四邊形ABNM中，又由托勒密定理的改寫式我們可得：

AB×MN=AN×BM-AM×BN.（17）

將（17）代入（16）就有：

tan∠AMP×tan∠BNP=1+（AN×BM-AM×BN）/AM×BN.（18）

將（18）化簡可得：

tan∠AMP×tan∠BNP=1+AN×BM/AM×BN-1.（19）

將（19）整理可得：

tan∠AMP×tan∠BNP=AN×BM/AM×BN.（20）

由（20）知tan∠AMP×tan∠BNP為一定值.證明完畢.

通過對“圓內(nèi)共點(diǎn)弦定理”的應(yīng)用舉例，我們發(fā)覺該定理的確有其存在的價(jià)值，今后我們?nèi)缫平馔惢蛳嚓P(guān)的試題，一定會因有此定理的存在而使思路更為清晰，其表述過程也會因此而得到簡化，故我們感覺有必要將此“小顆粒”以定理的形式記錄下來，并希有更多的人能從更多的信息渠道獲知此定理的存在和了解到其存在的意義.

注：如圖（一）中的A（4n-2）點(diǎn)即A2（2n-1）點(diǎn)，在圖中改寫和使用A（4n-2）是為了簡便表達(dá)A（4n-3）這類點(diǎn)特意而安排的，其他諸如此類情形的點(diǎn)的表達(dá)，我們不再一一加注，特此說明.