王永偉,艾 華,卓仁善,曹艷波

(1.中國(guó)科學(xué)院 長(zhǎng)春光學(xué)精密機(jī)械與物理研究所,吉林 長(zhǎng)春 130033；2.中國(guó)科學(xué)院大學(xué),北京 100049；3.空軍駐長(zhǎng)春地區(qū)軍事代表室,吉林 長(zhǎng)春 130012)

干涉測(cè)量波面重構(gòu)DCT算法研究

王永偉1,2,3,艾 華1*,卓仁善1,曹艷波1

(1.中國(guó)科學(xué)院 長(zhǎng)春光學(xué)精密機(jī)械與物理研究所,吉林 長(zhǎng)春 130033；2.中國(guó)科學(xué)院大學(xué),北京 100049；3.空軍駐長(zhǎng)春地區(qū)軍事代表室,吉林 長(zhǎng)春 130012)

采用一種空間移相干涉儀測(cè)量凹形非球面反射鏡光學(xué)表面，使用偏振元件和多幅圖像同步采集實(shí)現(xiàn)移相，并對(duì)測(cè)量得到的干涉條紋采用基于離散余弦變換的相位解包裹算法，對(duì)不連續(xù)相位分布采用非加權(quán)的最小二乘法進(jìn)行優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)，最終重構(gòu)出被測(cè)光學(xué)表面的面形。這種結(jié)構(gòu)形式的干涉儀具有一定的抗振能力，同時(shí)在數(shù)字圖像處理上優(yōu)化了算法，能夠快速穩(wěn)定地得到被測(cè)面形，而且對(duì)硬件要求不高。結(jié)果表明：這種算法能夠適用于非實(shí)驗(yàn)室條件下的光學(xué)測(cè)量，在一定干擾條件下可以達(dá)到較高的測(cè)量精度。

干涉測(cè)量；離散余弦變換；相位解包裹；最小二乘法；曲面擬合

1 引言

干涉測(cè)量的精度隨著精密加工和數(shù)字圖像處理技術(shù)的發(fā)展而得到了不斷地提高。通過(guò)移相技術(shù)可以獲得測(cè)量表面不同相位的面形信息；通過(guò)光電探測(cè)。圖像處理和計(jì)算機(jī)運(yùn)算等手段，可以得到高分辨率的面形信息。空間移相技術(shù)可以同步地得到多幅不同相位的干涉條紋，通過(guò)合成算法和相位解包裹運(yùn)算，可以得出準(zhǔn)確的測(cè)量信息，并且不受振動(dòng)等外界條件的干擾［1-4］。通過(guò)對(duì)同步采集的干涉條紋進(jìn)行合成運(yùn)算，可以得到測(cè)量表面的相位分布。由于相位分布是根據(jù)干涉條紋計(jì)算得出的，其必然存在相位的周期重復(fù)纏繞，因此需要通過(guò)一定的算法對(duì)相位進(jìn)行解纏繞運(yùn)算。相位解纏繞又稱為相位解包裹運(yùn)算，是合成孔徑雷達(dá)干涉測(cè)量、光學(xué)干涉測(cè)量、波前補(bǔ)償以及醫(yī)學(xué)核磁共振圖像處理等領(lǐng)域圖像信息獲取的一個(gè)重要步驟，目前比較成熟的相位解包裹算法主要包括3種：基于路徑積分的算法、最小范數(shù)算法和網(wǎng)絡(luò)規(guī)劃算法。這3種算法都有各自的優(yōu)缺點(diǎn)，在計(jì)算速度與計(jì)算精度兩方面進(jìn)行折中，根據(jù)具體情況加以選擇。其中基于路徑積分的算法是從一個(gè)已知真實(shí)相位值的像元點(diǎn)開始，對(duì)其鄰近像元點(diǎn)進(jìn)行包裹相位差值的累計(jì)，通過(guò)迭代擴(kuò)展直到圖像上所有像元點(diǎn)的相位信息都得到解包裹，這種算法通過(guò)最小二乘法使包裹函數(shù)的離散偏差微分和解包裹函數(shù)的離散偏差微分的差值達(dá)到最小。本文介紹了一種偏振移相的干涉測(cè)量光路，采用四步法移相，得到相位差依次為90°的四幅干涉圖，然后對(duì)干涉圖進(jìn)行基于離散余弦變換(DCT)的相位解包裹算法，該算法是一種基于優(yōu)化問(wèn)題的非加權(quán)最小二乘算法，減少了干涉圖中無(wú)效點(diǎn)在解包裹運(yùn)算中的影響，重構(gòu)出被測(cè)鏡面的面形圖，這種方法適用于對(duì)光學(xué)鏡面干涉測(cè)量的精確面形重構(gòu)，且可以抵消測(cè)量過(guò)程中的部分隨機(jī)振動(dòng)［5-9］。

2 干涉測(cè)量的信息獲取

干涉測(cè)量使用的儀器主要是干涉儀，目前使用比較成熟的用于大口徑光學(xué)表面測(cè)量的干涉儀主要有Fizeau型和Twyman-Green型兩種結(jié)構(gòu)形式，前者由于共光路結(jié)構(gòu)，能夠抵消部分測(cè)量誤差，但是對(duì)標(biāo)準(zhǔn)鏡要求比較嚴(yán)格；后者參考鏡要求可以相對(duì)簡(jiǎn)單，而且通過(guò)鏡頭的選擇可擴(kuò)展測(cè)量范圍。本文設(shè)計(jì)的干涉儀結(jié)構(gòu)采用Twyman-Green型，其結(jié)構(gòu)形式如圖1所示。

圖1 Twyman-Green干涉儀的結(jié)構(gòu)示意Fig.1 Schematic diagram of the Twyman-Green interferometer

被測(cè)鏡面為曲率為R=-0.008，二次曲面常數(shù)K=-0.15的凹形非球面反射鏡(本文鏡面為理想鏡面，不包含加工誤差)。相干光源采用窄線寬半導(dǎo)體激光，波長(zhǎng)為780 nm，其為線偏振光，偏振方向與圖示光學(xué)主截面成45°，經(jīng)過(guò)偏振分光棱鏡(PBS)后，分成幅值相等的兩個(gè)分量：反射的s矢量和透射的p矢量，s矢量經(jīng)過(guò)兩次1/4波片(QWP)和參考鏡面后，變成p矢量；透射的p矢量經(jīng)過(guò)兩次1/4波片(QWP)和透鏡組及被測(cè)鏡面后，變成s矢量；這兩個(gè)振動(dòng)方向垂直的線偏振光再次經(jīng)過(guò)偏振分光棱鏡(PBS)后，一起再通過(guò)1/4波片(QWP)，變成兩個(gè)旋向相反的圓偏振光，再經(jīng)過(guò)消偏振分光棱鏡(NPBS)和兩個(gè)偏振分光棱鏡(PBS)后，實(shí)現(xiàn)空間移相，得到相位依次相差90°的干涉條紋，如圖2所示，對(duì)應(yīng)點(diǎn)的光強(qiáng)分布如下式所示：

圖2 空間移相法測(cè)量得到的干涉圖Fig.2 Interferograms measured from space phase shifting method

式中：θ為被測(cè)鏡面的位相分布，a，b分別為對(duì)應(yīng)于參考鏡和被測(cè)鏡的經(jīng)過(guò)兩次偏振分光棱鏡的相互垂直的振動(dòng)矢量的幅值，通過(guò)聯(lián)立式(1)～(4)，可以解出：

干涉儀測(cè)量表面面形是根據(jù)被測(cè)光學(xué)表面與標(biāo)準(zhǔn)參考表面的光束干涉而產(chǎn)生包含光強(qiáng)信息的干涉條紋，通過(guò)將光強(qiáng)信息轉(zhuǎn)化為相位信息來(lái)得到被測(cè)光學(xué)表面的空間信息，即表面面形，而實(shí)際上通過(guò)干涉條紋運(yùn)算所得到的相位差被限制在［-π，+π］之間，如何恢復(fù)模糊的相位周期而獲得目標(biāo)的絕對(duì)相位差就需要進(jìn)行相位解包裹運(yùn)算。

3 基于DCT算法的相位解包裹

通過(guò)上述偏振移相的方法得到相位差依次為90°的四幅干涉條紋后，一般要進(jìn)行濾波處理以消除部分非共模量噪聲［10］。這種方法一般稱為四步法，其對(duì)CCD的二次非線性響應(yīng)和多光束干涉效應(yīng)有很好的抑制作用，并且同步采集對(duì)環(huán)境擾動(dòng)和結(jié)構(gòu)振動(dòng)有一定抗性。處理得到的干涉條紋在滿足采樣定理的條件下，才能進(jìn)行相位解包裹運(yùn)算。而實(shí)際測(cè)量的干涉圖即使經(jīng)過(guò)了濾波處理，還會(huì)殘余一些噪聲，如斑點(diǎn)、低調(diào)制度、隨機(jī)擾動(dòng)、表面突變等使得局部區(qū)域不滿足采樣條件，這就要求相位解包裹算法具有一定的除噪聲功能，在這里路徑追蹤算法和優(yōu)化目標(biāo)的算法都得到了很廣泛的應(yīng)用。而基于DCT算法的相位解包裹正是基于優(yōu)化算法而發(fā)展出來(lái)的。

相位解包裹運(yùn)算的評(píng)價(jià)指標(biāo)有結(jié)果的一致性和精確性［11-12］。結(jié)果的一致性是指，假設(shè)某點(diǎn)的相位解包裹值為φi，j，用這一方法去求解任意另外一點(diǎn)的解包裹相位值φi，j時(shí)，φi，j不會(huì)有兩個(gè)或者兩個(gè)以上的結(jié)果，一致性也可以理解為解包裹運(yùn)算要與運(yùn)算選取的路徑無(wú)關(guān)；結(jié)果的精確性是指，用這一方法求得的解包裹相位φi，j要盡量逼近原始相位。當(dāng)干涉圖像中包含噪聲、重疊或遮擋等干擾時(shí)，它們會(huì)引起相位解包裹結(jié)果的不一致和時(shí)間上的去相干等現(xiàn)象，因此簡(jiǎn)單積分會(huì)產(chǎn)生誤差傳遞和累積。利用最小二乘法，求取與包裹相位斜率偏差平方和最小的相位曲面，能夠有效抑制噪聲點(diǎn)的影響，從而保證解包裹所得的曲面的連續(xù)性。優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)J可表示為：

Ghiglia提出了利用DCT來(lái)求解Poisson方程(7)，主要采用迭代非加權(quán)算法，以減少干涉圖中無(wú)效點(diǎn)或者壞點(diǎn)在解包裹位相中的影響，這種算法不依賴于積分路徑，解包裹的結(jié)果是連續(xù)的，不存在無(wú)解的區(qū)域，容易實(shí)現(xiàn)因此實(shí)用性很強(qiáng)。

利用二維DCT對(duì)定解方程進(jìn)行求解，得到：

式中：

一般基于DCT算法的波面相位解包裹的計(jì)算流程如框圖3所示，算法主要分為5個(gè)步驟，需要經(jīng)過(guò)一次濾波處理，同時(shí)算法本身對(duì)除邊界外的噪聲有一定抑制作用。

圖3 DCT算法波面重構(gòu)流程框圖Fig.3 Schematic flow of the wavefront reconstruction by DCT algorithm

4 干涉條紋的面形重構(gòu)計(jì)算結(jié)果

對(duì)上述Tywman-Green干涉儀測(cè)量得到的干涉條紋進(jìn)行波面重構(gòu)，對(duì)于實(shí)際測(cè)量得到的干涉圖要先進(jìn)行去除噪聲的處理，部分非共模噪聲可以通過(guò)圖像濾波的方法可以消除，共模噪聲則可以通過(guò)不同相位的差分運(yùn)算得以消除。經(jīng)過(guò)消噪處理后，在干涉圖上疊加相同的掩模，計(jì)算得到初始的幅值分布和相位分布，分別如圖4和圖5所示。

圖4 移相合成的初始幅值分布Fig.4 Initial magnitude distribution from phase shifting synthesis

圖5 移相合成的初始相位分布Fig.5 Initial phase distribution from phase shifting synthesis

通過(guò)簡(jiǎn)單迭代算法，由初始相位分布，采用DCT算法進(jìn)行相位解包裹運(yùn)算，可以得到解包裹后的相位分布，結(jié)果如圖6所示。通過(guò)對(duì)比初始相位可以看出，整個(gè)波面的相位分布由不連續(xù)變成連續(xù)分布，邊緣出現(xiàn)毛刺的原因是由于掩模邊緣與初始相位的重疊位置出現(xiàn)相位數(shù)值的躍變，進(jìn)而導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果的不收斂，這些數(shù)值基本不影響測(cè)量結(jié)果，適當(dāng)選擇掩模的范圍可以減小邊緣毛刺的影響。計(jì)算過(guò)程根據(jù)處理的像元尺寸的大小而變化，但是對(duì)計(jì)算機(jī)的硬件要求不高［13-14］。

圖6 DCT解包裹后的相位分布Fig.6 Phase distribution after phase-unwrapping based on DCT

由于相位分布和波面面形是線性關(guān)系ΔH= Δθ·λ/(4π)，可以得到波面面形如圖7所示(x，y坐標(biāo)分別表示像元點(diǎn)位置)，從結(jié)果可以看出，面形基本符合非球面的特征參數(shù)，由于算法在邊界處的不穩(wěn)定性，會(huì)出現(xiàn)一定的毛刺區(qū)域，可以在后期處理中通過(guò)附加掩模的方法得到平滑的結(jié)果。通過(guò)Zernike多項(xiàng)式擬合的方法可以得到波面像差分量，可以用于定量分析光學(xué)表面的特征。

圖7 DCT解包裹后的重構(gòu)面形Fig.7 Reconstructed wavefront after phase-unwrapping based on DCT

5 結(jié)論

在對(duì)精密光學(xué)元件及光學(xué)系統(tǒng)的檢測(cè)方法中，干涉測(cè)量是目前最為有效的超精密檢測(cè)手段之一。空間移相干涉儀由于原理具有很好的抗干擾能力，成為目前主流的干涉測(cè)量設(shè)備。干涉測(cè)量得到的結(jié)果是干涉條紋，對(duì)干涉條紋的處理有多種數(shù)字圖像處理算法，相位解包裹算法是得到連續(xù)面形的常用方法。本文針對(duì)一種空間移相的Twyman-Green結(jié)構(gòu)干涉儀對(duì)光學(xué)表面進(jìn)行干涉測(cè)量，采用空間移相得到相位差依次為90°的4幅干涉圖，這種移相方法實(shí)現(xiàn)同步四步法采集干涉圖像，可以消除部分環(huán)境擾動(dòng)與振動(dòng)帶來(lái)的測(cè)量誤差，從而提高了系統(tǒng)測(cè)量精度；并對(duì)干涉圖采用基于DCT的方法，對(duì)干涉條紋進(jìn)行非加權(quán)最小二乘法的相位解包裹運(yùn)算，最后重構(gòu)出了被檢測(cè)光學(xué)表面(非球面)的面形圖，結(jié)果表明這種易于實(shí)現(xiàn)、快速的算法在硬件條件有限的情況下也能高效的得到計(jì)算結(jié)果，對(duì)復(fù)雜條件下的光學(xué)檢測(cè)提供一種可選的技術(shù)方案。

［1］CREATH K.Phase-measurement interferometry techniques［J］.Progress Optics，1988，10（26）：349-398.

［2］WYANT J C.Interferometric optical metrology：basic system and principles［J］.Laser Focus，1982，18（1）：65-71.

［3］BURNING J H，HERRIOTT D R.Digital wavefront measuring interferometer for testing optical surfaces and lenses［J］.Appl.Opt.，1974，13（11）：2693-2703.

［4］DECK L L，SOOBITSKY J A.Phase-shifting via wavelength tuning in very large aperture interferometers［J］.SPIE，1999，3782：432-442.

［5］莫衛(wèi)東，范琦，賈晉超，等.非球面檢測(cè)中最佳入射球面波和最佳參考球面波的確定［J］.中國(guó)光學(xué)，2012，5(3)：263-268.

MO W D，F(xiàn)AN Q，JIA J CH，et al..Determination of optimum positions of incident spherical wave and reference spherical wave in testing aspheric surface［J］.Chinese Optics，2012，5(3)：263-268.(in Chinese)

［6］楊亞威，李俊山，張士杰，等.基于視覺(jué)對(duì)比敏感度與恰可察覺(jué)失真感知的圖像復(fù)原［J］.光學(xué)精密工程，2014，22 (2)：459-466.

YANG Y W，LI J SH，ZHANG SH J，et al..Image restoration based on visual contrast sensitivity and just noticeable distortion perception［J］.Opt.Precision Eng.，2014，22(2)：459-466.(in Chinese)

［7］SCHWIDER J，BUROW R，MERKEL K.Digital wavefront measuring interferometry：some systematic error sources［J］.Appl.Opt.，1983，22(21)：3421-3432.

［8］KERR D，KAUFMANN G H，GALIZZI G E.Unwrapping of interferometric phase-fringe maps by the discrete cosine transform［J］.Appl.Opt.，1996，35(5)：810-816.

［9］GHIGLIA D C，PRITT M D.Two-Dimensional Phase Unwrapping Theory，Algorithms，and Software［M］.New York：John Wiley&Sons，Inc，1998.

［10］QUIROGA J A，BERBABEAU E.Phase-unwrapping algorithm for noisy phase-map processing［J］.Appl.Opt.，1994，33 (29)：6725-6731.

［11］DE VEUSTER C，SLANGEN P，RENOTTE Y，et al..Disk-Growing Algorithm for phase-map unwrapping：application to speckle interferogram［J］.Appl.Opt.，1996，35(2)：240-247.

［12］HUNTLEY J M，SALDNER H.Temporal phase-unwrapping algorithm for automated interferogram analysis［J］.Appl. Opt.，1993，32(17)：3047-3502.

［13］GHIGLIA D C，ROMERO L A.Robust two-dimensional weighted and unweighted phase unwrapping that uses fast transforms and iterative methods［J］.J.Opt.Soc.Am.A，1994，11(1)：107-117.

［14］劉江，苗二龍，曲藝，等.基于光強(qiáng)自標(biāo)定移相算法檢測(cè)光學(xué)面形［J］.光學(xué)精密工程，2014，22(8)：2007-2013.

LIU J，MIAO E L，QU Y，et al..Measurement of optical surface based on intensity self-calibration phase-shift algorithm［J］.Opt.Precision Eng.，2014，22(8)：2007-2013.

Wavefront reconstruction of interferometry by DCT algorithm

WANG Yong-wei1，2，3，AI Hua1*，ZHUO Ren-shan1，CAO Yan-bo1
(1.Changchun Institute of Optics，F(xiàn)ine Mechanics and Physics，Chinese Academy of Science，Changchun 130033，China；2.University of Chinese Academy of Sciences，Beijing 100049，China；3.Air Force Military Delegate Office in Changchun，Changchun 130012，China)

We use a type of interferometer with space phase-shifting technique to measure the optical surface of the concave aspheric mirror in this paper.By using polarized elements and multi-image collected in synchronism we implement the phase-shifting process，and we adopt the phase unwrapping algorithm based on discrete cosine transform(DCT)onto the interferograms that we measured.For the discontinuous phase distribution，we adopt the un-weighted least square method to optimize the objective function，and finally reconstruct the wavefront surface of the measured optical surface.This type of interferometer has the capacity of anti-vibration，and can optimize the algorithm in the digital image processing procedure，so we can get the measuredsurface shape rapidly and steadily，and it is no need for high performance hardware.This approach can be used as optical measurement out of laboratory conditions，and we can get high measuring precision under the condition of disturbance existing.

interferometry；discrete cosine transform(DCT)；phase unwrapping；least square method；surface fitting

TP394.1；TH691.9

A

10.3788/CO.20140706.1012

2095-1531(2014)06-1012-07

王永偉(1983—)，男，山西汾陽(yáng)人，學(xué)士，工程師，2006年于空軍工程大學(xué)獲得學(xué)士學(xué)位，主要從事光電測(cè)量設(shè)備等方面的研究。E-mail：yongwei.516@163.com

卓仁善(1960—)，女，吉林省吉林市人，研究員，碩士生導(dǎo)師，1986年于東北工學(xué)院獲得碩士學(xué)位，主要從事光電經(jīng)緯儀結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)方面的研究。E-mail：zhuornshan@sina.com

艾 華(1961—)，男，吉林長(zhǎng)春人，研究員，博士生導(dǎo)師，1984年于長(zhǎng)春光學(xué)精密機(jī)械學(xué)院獲得學(xué)士學(xué)位，主要從事微納量位移測(cè)量和半導(dǎo)體激光器在光學(xué)儀器中的應(yīng)用方面的研究。E-mail：aih@ciomp.ac.cn

曹艷波(1984—)，男，湖北黃石人，碩士，助理研究員，2009年于華中科技大學(xué)獲得碩士學(xué)位，主要從事精密儀器設(shè)計(jì)與分析方面的研究。E-mail：pinocchio84@163.com

2014-09-15；

2014-10-17

長(zhǎng)春光機(jī)所領(lǐng)域前沿創(chuàng)新項(xiàng)目(No.Y26532B120)

*Corresponding author，E-mail：aih@ciomp.ac.cn