高彥琴，魏 勇

（西華師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息學(xué)院，四川 南充 637002）

求解灰色Verhulst模型參數(shù)的新方法

高彥琴，魏 勇

（西華師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息學(xué)院，四川 南充 637002）

灰色Verhulst模型；灰色微分方程；參數(shù)求解；最小二乘法

一、引 言

灰色系統(tǒng)模型是通過(guò)累加生成序列的隨機(jī)性，尋找系統(tǒng)變化規(guī)律，經(jīng)過(guò)定性分析建立模型，通常具有較高的模擬和預(yù)測(cè)精度，可以得到較好地應(yīng)用效果［1］123－126。對(duì)于數(shù)據(jù)呈S型的序列，通常適合灰色Verhulst模型進(jìn)行建模預(yù)測(cè)，灰色Verhulst模型具有小樣本下特定優(yōu)勢(shì)，在適用范圍方面優(yōu)于傳統(tǒng)的Verhulst模型，因此，近年來(lái)該模型得到了廣泛的應(yīng)用［2－4］。熊萍萍等優(yōu)化了等間距灰色Verhulst模型的背景值，取得較原模型更高的模擬預(yù)測(cè)精度［5］。王正新等對(duì)非奇次指數(shù)函數(shù)作導(dǎo)數(shù)生成，構(gòu)建無(wú)偏灰色Verhulst模型，取得較好的模擬預(yù)測(cè)效果［6］。戴文戰(zhàn)通過(guò)優(yōu)化結(jié)構(gòu)參數(shù)估計(jì)法和重構(gòu)背景值，構(gòu)建了改進(jìn)的灰色Verhulst模型［7］。針對(duì)非等間距的灰色Verhulst模型的預(yù)測(cè)應(yīng)用問(wèn)題也有學(xué)者進(jìn)行研究。偶昌寶等通過(guò)在區(qū)間上求積分改進(jìn)了非等時(shí)距Verhulst模型的背景值計(jì)算公式，實(shí)現(xiàn)了對(duì)沉降量的預(yù)測(cè)［8］。韓朝暉等研究了非等間距Verhulst直接模型，實(shí)現(xiàn)了在裝載機(jī)銷(xiāo)售量中的預(yù)測(cè)［9］。Hu Wei等通過(guò)增加系數(shù)項(xiàng)優(yōu)化背景值，實(shí)現(xiàn)了未來(lái)網(wǎng)絡(luò)安全形勢(shì)的預(yù)測(cè)［10］。張宏斌等研究了非等時(shí)距Verhulst修正模 型，對(duì) 直 升 機(jī) 累 計(jì) 故 障 率 進(jìn) 行 預(yù) 測(cè)［11］。Xiong Pingping等建立了時(shí)間響應(yīng)函數(shù)優(yōu)化的非等間距Verhulst模型，并取得了較原模型更高的模擬預(yù)測(cè)精度［12］。本文改變“通過(guò)代入初始條件（1）（k1）＝x（1）（k1）＝x（0）（k1）整理求解α，β”的傳統(tǒng)方法為“通過(guò)灰色微分方程利用最小二乘法確定α，β”新方法，對(duì)灰色Verhulst模型的建模方法進(jìn)行改進(jìn)，并通過(guò)等間距與非等間距的實(shí)例，將傳統(tǒng)模型及近期一些優(yōu)化模型對(duì)比分析，說(shuō)明了新方法的可行性和優(yōu)越性。

二、傳統(tǒng)灰色Verhulst模型的建模方法

（一）基本概念

設(shè)時(shí)間序列為K＝ ｛k1，k2，…，kn｝，其對(duì)應(yīng)原始數(shù)據(jù)序列為：

（二）傳統(tǒng)灰色Verhulst模型的建模方法

三、優(yōu)化的灰色Verhulst模型的建模過(guò)程

四、實(shí)例比較分析

（一）等間距灰色Verhulst模型的建模方法比較分析

例1中國(guó)2002—2009年天然原油生產(chǎn)量數(shù)據(jù)如表1［7］。

表1 中國(guó)2002—2009年天然原油生產(chǎn)量數(shù)據(jù) 單位：億噸

觀察表1中的監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)可以發(fā)現(xiàn)，此組數(shù)據(jù)本身呈S型的形態(tài)，這時(shí)可以取原始數(shù)據(jù)為X（1）（ki），不經(jīng)過(guò)一階累加生成本文的灰色Verhulst模型。

通過(guò)式（3），解得a＝－0．199 1。通過(guò)式（6）解得α＝0．011 1，β＝0．049 5。從而可得原始序列模擬預(yù)測(cè)公式：

傳統(tǒng)方法與改進(jìn)Verhulst模型的方法及本文方法的計(jì)算結(jié)果比較見(jiàn)表2。

表2 原始數(shù)據(jù)與各種預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)的比較

由表2可以看出本文方法構(gòu)建的灰色Verhulst模型的平均相對(duì)誤差最小，為0．55%，傳統(tǒng)方法構(gòu)建的等間距灰色Verhulst模型的平均相對(duì)誤差最大，為17．40%，改進(jìn)Verhulst模型的平均相對(duì)誤差居中，為0．84%。本文方法不僅誤差小，而且參數(shù)估計(jì)的計(jì)算過(guò)程比其他方法簡(jiǎn)單。

（二）非等間距灰色Verhulst模型的建模方法比較分析

例2某型直升機(jī)累計(jì)故障率數(shù)據(jù)見(jiàn)表3［11］。

表3 某型直升機(jī)累計(jì)故障率數(shù)據(jù)

觀察表3中的數(shù)據(jù)可以發(fā)現(xiàn)，此組數(shù)據(jù)本身呈S型形態(tài)，這時(shí)可以取原始數(shù)據(jù)為X（1）（ki），不經(jīng)過(guò)一階累加生成本文灰色Verhulst模型。

傳統(tǒng)方法、增加預(yù)測(cè)誤差修正項(xiàng)的方法與本文方法的非等間距Verhulst模型的計(jì)算結(jié)果比較見(jiàn)表4。

由表4可以看出本文構(gòu)建的灰色Verhulst模型的平均相對(duì)誤差最小，為4．70%，傳統(tǒng)方法構(gòu)建的非等間距灰色Verhulst模型的平均相對(duì)誤差最大，為7．34%，非等間距Verhulst修正模型平均相對(duì)誤差居中，為6．86%。

表4 原始數(shù)據(jù)與各種預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)的比較

五、結(jié)束語(yǔ)

本文所舉實(shí)例不僅說(shuō)明本文方法的可行性，也說(shuō)明了本文方法既適合等間距，又適合于非等間距。與傳統(tǒng)模型比較，該方法大幅度提高了預(yù)測(cè)精度。

［1］ 劉思峰，黨耀國(guó)，方志耕．灰色系統(tǒng)理論及其應(yīng)用［M］．北京：科學(xué)出版社，2004．

［2］ 羅戰(zhàn)友，龔曉南，楊曉軍．全過(guò)程沉降量的灰色Verhulst預(yù)測(cè)方法［J］．水利學(xué)報(bào)，2003（3）．

［3］ 張伏生，劉芳，趙文彬．灰色 Verhulst模型在中長(zhǎng)期負(fù)荷預(yù)測(cè)中的應(yīng)用［J］．電網(wǎng)技術(shù)，2003，27（5）．

［4］ 劉峰．基于灰色 Verhulst模型對(duì)邊坡變形預(yù)測(cè)研究［J］．公路工程，2013，38（4）．

［5］ 熊萍萍，黨耀國(guó)，姚天祥，等．灰色Verhulst模型背景值優(yōu)化的建模方法研究［J］．中國(guó)管理科學(xué)，2012，20（6）．

［6］ 王正新，黨耀國(guó)，劉思峰．無(wú)偏灰色 Verhulst模型及其應(yīng)用［J］．系統(tǒng)工程理論與實(shí)踐，2009，29（10）．

［7］ 戴文戰(zhàn)，熊偉，楊?lèi)?ài)萍．灰色 Verhulst模型的改進(jìn)及其應(yīng)用［J］．化工學(xué)報(bào)，2010，61（8）．

［8］ 偶昌寶，俞亞南，王戰(zhàn)國(guó)．不等時(shí)距灰色Verhulst模型及其在沉降預(yù)測(cè)中的應(yīng)用［J］．江南大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2005（1）．

［9］ 韓朝暉，董湘懷．裝載機(jī)銷(xiāo)售量的非等間距Verhulst直接模型研究［J］．湖南師范大學(xué)自然科學(xué)學(xué)報(bào)，2008，31（2）．

［10］Hu Wei，Li Jianhua，Chen Xiuzhen，etc．Network Security Situation Prediction Based on Improved Adaptive Grey Verhulst Model［J］．Journal of Shanghai Jiaotong University，2010，15（4）．

［11］張宏斌，曹學(xué)峰，孫世霞．非等時(shí)距Verhulst修正模型及其在直升機(jī)故障率預(yù)測(cè)中的應(yīng)用［J］．直升機(jī)技術(shù)，2012，173（4）．

［12］Xiong Pingping，Dang Yaoguo，Qian Wuyong．The Optimization of Time Response Function in Non-Equidistant Verhulst Model［J］．The Journal of Grey System，2010，22（3）．

New Method of Solving Parameters in Grey Verhulst Model

GAO Yan-qin，WEI Yong
（Mathematics and Information Institute，China West Normal University，Nanchong 637002，China）

grey Verhulst model；grey differential equation；solving parameters；the least square method

N941．5

A

1007－3116（2014）04－0014－04

2013－11－16

四川省應(yīng)用基礎(chǔ)研究資助項(xiàng)目《灰預(yù)測(cè)與灰決策量化方法及應(yīng)用研究》（2008JY0112）；四川省高等教育人才培養(yǎng)質(zhì)量和教學(xué)改革資助項(xiàng)目《灰預(yù)測(cè)與灰決策課程教學(xué)內(nèi)容體系改革與教法探索》（P09264）；四川省留學(xué)人員科技活動(dòng)擇優(yōu)資助項(xiàng)目《預(yù)測(cè)與決策方法及應(yīng)用研究》（川人社函2010年32號(hào)）

高彥琴，女，山西呂梁人，碩士生，研究方向：灰色系統(tǒng)理論；

魏 勇，男，重慶豐都人，工學(xué)博士，教授，碩士生導(dǎo)師，研究方向：灰色系統(tǒng)理論。

（責(zé)任編輯：李 勤）