曾 波，孟 偉，熊 遙

（重慶工商大學(xué)a．商務(wù)策劃學(xué)院；b．電子商務(wù)及供應(yīng)鏈系統(tǒng)重慶市重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室；c．長(zhǎng)江上游經(jīng)濟(jì)研究中心，重慶 400067）

基于核和灰度的灰色異構(gòu)數(shù)據(jù)代數(shù)運(yùn)算法則及其應(yīng)用

曾 波a，b，孟 偉a，b，熊 遙c

（重慶工商大學(xué)a．商務(wù)策劃學(xué)院；b．電子商務(wù)及供應(yīng)鏈系統(tǒng)重慶市重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室；c．長(zhǎng)江上游經(jīng)濟(jì)研究中心，重慶 400067）

為解決灰色異構(gòu)數(shù)據(jù)的建模問題，應(yīng)用“核和灰度”對(duì)灰色異構(gòu)數(shù)據(jù)代數(shù)運(yùn)算法則及其性質(zhì)展開研究。將灰信息表征為“核和灰度”，通過(guò)“核”將灰色異構(gòu)數(shù)據(jù)代數(shù)運(yùn)算轉(zhuǎn)換為實(shí)數(shù)之間代數(shù)運(yùn)算，根據(jù)灰度不減公理確定運(yùn)算結(jié)果之灰度，在此基礎(chǔ)上構(gòu)建灰色異構(gòu)數(shù)據(jù)的代數(shù)運(yùn)算法則，并將該法則應(yīng)用于灰色異構(gòu)數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)模型的構(gòu)建及空氣質(zhì)量指數(shù)（AQI）的預(yù)測(cè)。研究成果對(duì)豐富與完善灰色系統(tǒng)基礎(chǔ)理論具有積極意義。

灰色理論；代數(shù)運(yùn)算法則；灰色異構(gòu)數(shù)據(jù)；核和灰度；

一、引 言

1982年中國(guó)著名學(xué)者鄧聚龍基于“灰箱”思想創(chuàng)立了灰色系統(tǒng)理論，并被廣泛應(yīng)用于工業(yè)、農(nóng)業(yè)、醫(yī)學(xué)、軍事等領(lǐng)域［1－3］。灰色系統(tǒng)用灰數(shù)、灰色方程、灰色矩陣等來(lái)描述，其中灰數(shù)是灰色系統(tǒng)的基本“單元”或“細(xì)胞”，主要包括區(qū)間灰數(shù)及離散灰數(shù)等［4］；灰數(shù)之間的代數(shù)運(yùn)算是構(gòu)建灰色系統(tǒng)模型的基礎(chǔ)，劉思峰較早對(duì)灰數(shù)運(yùn)算法則進(jìn)行了研究，提出了灰數(shù)均值白化數(shù)的概念，并以此為基礎(chǔ)構(gòu)建新的灰數(shù)運(yùn)算體系，但由于難以處理令人棘手的擾動(dòng)灰元而無(wú)果，之后劉思峰試圖通過(guò)借鑒區(qū)間數(shù)的研究方法來(lái)構(gòu)建區(qū)間灰數(shù)運(yùn)算體系，但由于前者同樣存在若干問題而一直爭(zhēng)議較多；方志耕等人定義了第一和第二標(biāo)準(zhǔn)區(qū)間灰數(shù)的運(yùn)算，設(shè)計(jì)了普通區(qū)間灰數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)區(qū)間灰數(shù)之間的轉(zhuǎn)換規(guī)則，構(gòu)建了標(biāo)準(zhǔn)區(qū)間灰數(shù)之間的比較與運(yùn)算法則體系，這對(duì)解決區(qū)間灰數(shù)之間的大小比較與運(yùn)算問題的解決起到了一定的推動(dòng)作用，但該方法的運(yùn)算工作量隨著運(yùn)算復(fù)雜程度的增加而呈快速遞增的趨勢(shì)，在一定量的運(yùn)算復(fù)雜程度下該方法的適用性較差［5］；劉思峰等人又給出了區(qū)間灰數(shù)“核”的定義，并基于“核”和灰數(shù)灰度建立了區(qū)間灰數(shù)運(yùn)算公理和灰數(shù)運(yùn)算法則［6］。至此，灰數(shù)之間的代數(shù)運(yùn)算被化為實(shí)數(shù)運(yùn)算，區(qū)間灰數(shù)之間的運(yùn)算問題在一定程度上得到了解決。

上述灰數(shù)之間的代數(shù)運(yùn)算均在同構(gòu)數(shù)據(jù)之間進(jìn)行，如區(qū)間灰數(shù)之間、標(biāo)準(zhǔn)離散灰數(shù)之間，而對(duì)于具有不同數(shù)據(jù)類型的灰色異構(gòu)數(shù)據(jù)（如區(qū)間灰數(shù)與離散灰數(shù)）之間尚無(wú)有效的代數(shù)運(yùn)算規(guī)則，因?yàn)殡y以知道一個(gè)區(qū)間灰數(shù)與一個(gè)離散灰數(shù)之間的運(yùn)算結(jié)果究竟應(yīng)該是什么類型的灰數(shù)［7］。盡管灰色異構(gòu)數(shù)據(jù)具有不同的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)及灰信息特征，但均同屬“灰數(shù)”范疇，都具有“核”和“灰度”這一基本的共同屬性，因此可以利用“核”和“灰度”來(lái)研究灰色異構(gòu)數(shù)據(jù)之間的代數(shù)運(yùn)算法則，通過(guò)“核”將灰色異構(gòu)數(shù)據(jù)之間的代數(shù)運(yùn)算轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)運(yùn)算，這在一定程度上解決了灰色異構(gòu)數(shù)據(jù)之間運(yùn)算難題，為灰色異構(gòu)數(shù)據(jù)建模提供理論支撐，對(duì)豐富與完善灰色系統(tǒng)理論體系和拓展灰色模型適用范圍具有積極意義。

二、定義及公理

公理1［6］（灰度不減公理）兩個(gè)灰度不同的區(qū)間灰數(shù)進(jìn)行和、差、積、商運(yùn)算時(shí)，運(yùn)算結(jié)果的灰度不小于灰度較大的區(qū)間灰數(shù)之灰度。

因此，通常可將灰色異構(gòu)數(shù)據(jù)之間運(yùn)算結(jié)果的灰度取為灰度較大的區(qū)間灰數(shù)的灰度。由公理1不難得到如下推論：

推論1［6］一個(gè)白數(shù)與一個(gè)區(qū)間灰數(shù)進(jìn)行和、差、積、商運(yùn)算時(shí)，運(yùn)算結(jié)果的灰度與區(qū)間灰數(shù)的灰度相同。

推論2 對(duì)具有相同論域的灰色異構(gòu)數(shù)據(jù)之間進(jìn)行“和、差、積、商”運(yùn)算時(shí)，運(yùn)算結(jié)果的信息域不小于灰色異構(gòu)數(shù)據(jù)中最大灰度所對(duì)應(yīng)灰數(shù)之信息域。

根據(jù)公理1及灰度的定義可知，推論1和推論2顯然成立，證明略；根據(jù)推論1及推論2可知，當(dāng)若干個(gè)灰色異構(gòu)數(shù)據(jù)進(jìn)行運(yùn)算時(shí)，首先對(duì)“核”作相應(yīng)運(yùn)算，然后按照取大準(zhǔn)則得到運(yùn)算結(jié)果的灰度或信息域，從而可得運(yùn)算結(jié)果的簡(jiǎn)化形式［13］。

三、灰信息“核”與“灰度”的計(jì)算

（一）灰信息“核”的計(jì)算

（二）灰信息“灰度”的計(jì)算

灰數(shù)的灰度反映了人們對(duì)灰色系統(tǒng)認(rèn)識(shí)的不確定程度。游中勝等人對(duì)區(qū)間灰數(shù)灰度的計(jì)算方法進(jìn)行了拓展研究［15］，即：

四、灰色異構(gòu)數(shù)據(jù)代數(shù)運(yùn)算法則

灰色異構(gòu)數(shù)據(jù)（區(qū)間灰數(shù)、離散灰數(shù)、實(shí)數(shù)或其他灰信息）雖然具有不同的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)及灰信息特征，但均同屬“灰數(shù)”范疇（實(shí)數(shù)是灰度為“0”的特殊灰數(shù)），都具有“核”和“灰度”這一基本的共同屬性，因此可以通過(guò)“核”和“灰度”來(lái)研究灰色異構(gòu)數(shù)據(jù)之間的代數(shù)運(yùn)算法則。顯然，灰色異構(gòu)數(shù)據(jù)之間進(jìn)行加、減、乘、除、開方以及矩陣等運(yùn)算之后，其運(yùn)算結(jié)果自然也是灰數(shù)。因此，將灰色異構(gòu)數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換為“核”與“灰度”，然后在此基礎(chǔ)上研究基于核和灰度的灰色異構(gòu)數(shù)據(jù)之間的代數(shù)運(yùn)算方法。

當(dāng)參與運(yùn)算的灰元均為區(qū)間灰數(shù)，則其和、差、積、商等運(yùn)算是法則1～6的特列，即劉思峰所討論的區(qū)間灰數(shù)運(yùn)算法則。因此，本文所研究的灰色異構(gòu)數(shù)據(jù)代數(shù)運(yùn)算法則是在其基礎(chǔ)上的推廣與拓展。

五、空氣質(zhì)量指數(shù)（AQI）預(yù)測(cè)

2013年初以來(lái)，中國(guó)發(fā)生了大范圍持續(xù)霧霾天氣。據(jù)統(tǒng)計(jì)，受霧霾影響區(qū)域包括華北平原、黃淮、江淮、江漢、江南、華南北部等地區(qū)，受影響面積約占國(guó)土面積的1／4，受影響人口約6億人。霧霾是一種災(zāi)害性天氣，對(duì)公路、鐵路、航空、航運(yùn)、供電系統(tǒng)、農(nóng)作物生長(zhǎng)等均產(chǎn)生重要影響，同時(shí)霧霾會(huì)造成空氣質(zhì)量下降，影響生態(tài)環(huán)境，給人體健康帶來(lái)較大危害。AQI（Air Quality Index，空氣質(zhì)量指數(shù)）是表征空氣質(zhì)量的重要參數(shù)，描述了空氣清潔或者污染程度以及對(duì)健康的影響。環(huán)保部門通過(guò)收集、分析、匯總分布在城市各個(gè)典型區(qū)域空氣監(jiān)測(cè)點(diǎn)的觀測(cè)數(shù)據(jù)，整理形成該城市的AQI指數(shù)，由于數(shù)據(jù)處理過(guò)程的不確定性并最終導(dǎo)致了灰色異構(gòu)時(shí)序數(shù)據(jù)的產(chǎn)生（因版面所限，圖省略）。

重慶2013年12月2日至12月6日的空氣質(zhì)量指數(shù)如表1所示。試應(yīng)用本文研究成果，構(gòu)建基于灰色異構(gòu)時(shí)序數(shù)據(jù)的重慶空氣質(zhì)量指數(shù)灰色預(yù)測(cè)模型，并根據(jù)該模型對(duì)重慶2013年12月7日至11日的AQI指數(shù)進(jìn)行預(yù)測(cè)（表1中數(shù)據(jù)的“核”信息來(lái)自PM2．5監(jiān)測(cè)網(wǎng)）。

表1 重慶2013年12月空氣質(zhì)量指數(shù)個(gè)表

根據(jù)式（11）可計(jì)算模型的模擬誤差，見表2。

表2 灰色異構(gòu)數(shù)據(jù)“核”序列的模擬值與模擬誤差表

步驟5 模型誤差檢驗(yàn)。

根據(jù)表2中的數(shù)據(jù)，可對(duì)式（11）所模擬的數(shù)據(jù)分別進(jìn)行平均相對(duì)誤差檢驗(yàn)和灰色關(guān)聯(lián)度檢驗(yàn)，并對(duì)模型的模擬結(jié)果進(jìn)行精度等級(jí)評(píng)價(jià)。

1．平均相對(duì)誤差檢驗(yàn)

3．誤差檢驗(yàn)結(jié)論

根據(jù)空氣質(zhì)量指數(shù)（AQI）的灰色異構(gòu)數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)模型（11），可得當(dāng)k＝6，7，8，9．10時(shí)重慶2013年12月7日—12日的AQI預(yù)測(cè)值，如表3所示。

表3 重慶2013年12月空氣質(zhì)量指數(shù)預(yù)測(cè)值表

從表3不難看出，重慶2013年12月空氣質(zhì)量指數(shù)呈現(xiàn)不斷下降的趨勢(shì)，表明重慶空氣質(zhì)量將持續(xù)好轉(zhuǎn)。預(yù)測(cè)結(jié)果對(duì)重慶市環(huán)保部門研究和制定空氣質(zhì)量環(huán)保措施具有一定的參考價(jià)值與借鑒意義。

六、結(jié) 論

本文應(yīng)用“核和灰度”對(duì)灰色異構(gòu)數(shù)據(jù)代數(shù)運(yùn)算法則及其性質(zhì)展開研究，并在此基礎(chǔ)上構(gòu)建空氣質(zhì)量指數(shù)（AQI）的灰色異構(gòu)數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)模型，研究成果對(duì)豐富與完善灰色系統(tǒng)基礎(chǔ)理論、拓展灰色系統(tǒng)模型的應(yīng)用范圍、促進(jìn)灰色系統(tǒng)模型與現(xiàn)實(shí)問題的有效融合，均具有積極意義。如何基于灰色異構(gòu)數(shù)據(jù)序列構(gòu)建灰色關(guān)聯(lián)模型與灰色決策模型以及多變量灰色異構(gòu)數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)模型等內(nèi)容，將是本項(xiàng)目團(tuán)隊(duì)下一步研究的主要內(nèi)容。

［1］ Deng Julong．Introduction to Grey System Theory［J］．The Journal of Grey System （UK），1989（1）．

［2］ 范德成，張偉．基于灰色變結(jié)構(gòu)控制的中國(guó)產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)優(yōu)化模型及分析研究［J］．統(tǒng)計(jì)與信息論壇，2010（10）．

［3］ 劉秋華，陳潔，甘海慶．基于改進(jìn)灰色模型的售電量預(yù)測(cè)分析［J］．統(tǒng)計(jì)與信息論壇，2009（11）．

［4］ Liu Sifeng，Lin Yi．On Measures of Information Content of Grey Numbers［J］．Kybernetes：The International Journal of Systems ＆Cybernetics，2006（5）．

［5］ 方志耕，劉思峰．基于區(qū)間灰數(shù)序列的 GM（1，1）模型（GMBIGN（1，1）研究［J］．中國(guó)工程科學(xué)，2005（2）．

［6］ 劉思峰，方志耕，謝乃明．基于核和灰度的區(qū)間灰數(shù)運(yùn)算法則［J］．系統(tǒng)工程與電子技術(shù)，2010（2）．

［7］ 曾波．基于核和灰度的雙重異構(gòu)數(shù)據(jù)序列預(yù)測(cè)建模方法研究［J］．統(tǒng)計(jì)與信息論壇，2013（10）．

［8］ 楊德嶺，劉思峰，曾波．基于核和信息域的區(qū)間灰數(shù)Verhulst模型［J］．控制與決策，2013（2）．

［9］ Liu Sifeng，Liu Yi．Grey Systems Theory and Applicationg［M］．Berlin Heidelberg：Springer-Cerlag，2010．

［10］Deng Julong．Whitening Definitions in Grey System Theory［J］．The Journal of Grey System，1998（2）．

［11］Liu Sifeng．On Measure of Grey Information［J］．The Journal of Grey System，1995（2）．

［12］曾波，劉思峰，李川，等．基于蛛網(wǎng)面積的區(qū)間灰數(shù)灰靶決策模型［J］．系統(tǒng)工程與電子技術(shù)，2013（10）．

［13］曾波．基于核和灰度的區(qū)間灰數(shù)預(yù)測(cè)模型［J］．系統(tǒng)工程與電子技術(shù)，2011（4）．

［14］Zeng Bo，Liu Sifeng．Calculation for Kernel of Interval Grey Number Based on Barycenter Approach［J］．Transaction of Nanjing University of Aeronautics ＆ Astronautics，2013（2）．

［15］You Zhongsheng，Zeng Bo．Calculation Method’s Extension of Grey Degree Based on the Area Method［J］．The Journal of Grey System，2012（1）．

［16］Xie Naiming，Liu Sifeng．Discrete Grey Forecasting Model and Its Optimization［J］．Applied Mathematical Modeling，2009（1）．

［17］劉思峰，黨耀國(guó)，方志耕，等．灰色系統(tǒng)理論及其應(yīng)用［M］．5版．北京：科學(xué)出版社，2010．

Algebra Algorithm Rules of Grey Isomerism Data Based on Kernel and Grey Degree and Its Applications

ZENG Boa，b，MENG Weia，b，XIONG Yaoc
（a．Strategical Planning College；b．Chongqing Key Laboratory of Electronic Commerce and Supply Chain System；c．Research Center of the Economy of the Upper Reaches of the Yangtze River，Chongqing Technology and Business University，Chongqing 400067，China）

In order to solve the modeling problem of grey isomerism data，this paper applies＇kernel and grey degree to study the algebra algorithm rules of grey isomerism data and its properties．Grey information is represented as kernel and grey degree，and the algebra algorithm is switched from grey isomerism data to real numbers through kernel．The grey degree of calculation result is defined by the axiom of grey degree not-reducing；on those basses the algebra algorithm rules of grey isomerism data is established．Finally，this paper employs the novel algorithm rules to build a prediction model of grey isomerism data sequence and forecast the air quality index （AQI）．The research findings have a positive significance for enriching and perfecting the basic theory of grey system．

grey theory；algebra algorithm rules；grey isomerism data；kernel and grey degree

N941．5∶O213．9

A

1007－3116（2014）04－0018－06

2013－06－24；修復(fù)日期：2014－01－09

重慶工商大學(xué)青年博士基金項(xiàng)目《灰色多源異構(gòu)數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)模型構(gòu)建研究》（1152003）

曾 波，男，四川威遠(yuǎn)人，系統(tǒng)工程博士，副教授，研究方向：系統(tǒng)預(yù)測(cè)、決策與評(píng)價(jià)；

孟 偉，男，湖北荊門人，博士生，副教授，研究方向：灰色理論及商務(wù)智能；

熊 遙，女，重慶梁平人，碩士生，研究方向：區(qū)域經(jīng)濟(jì)理論與政策。

（責(zé)任編輯：郭詩(shī)夢(mèng)）