劉 磊，馬 軍，鄭玉權(quán)

(1.長春理工大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，吉林長春130022;

2.中國科學(xué)院長春光學(xué)精密機(jī)械與物理研究所，吉林長春130033)

1 引言

離軸三反TMA光學(xué)系統(tǒng)由三塊反射鏡組成，其光路可折疊，結(jié)構(gòu)緊湊;各反射面采用非球面表面后其系統(tǒng)傳遞函數(shù)接近衍射極限;具有視場(chǎng)大、空間分辨率高、無色差、平像場(chǎng)、及寬光譜等優(yōu)勢(shì)［1-3］，因此該系統(tǒng)已經(jīng)廣泛應(yīng)用于空間相機(jī)中。

空間相機(jī)所處的運(yùn)載和運(yùn)行環(huán)境條件(如沖擊、振動(dòng)、壓力和溫度等)非常復(fù)雜。為了在復(fù)雜的環(huán)境條件下保證相機(jī)的成像質(zhì)量，要求相機(jī)在具備良好的動(dòng)力學(xué)性能的同時(shí)還需要具有良好的微重力環(huán)境適應(yīng)性能［4-6］。

空間相機(jī)光機(jī)結(jié)構(gòu)一般由光學(xué)元件、支撐結(jié)構(gòu)、調(diào)焦機(jī)構(gòu)、掃描機(jī)構(gòu)等部分組成。光學(xué)元件是空間相機(jī)完成對(duì)地成像任務(wù)的核心，通常由光學(xué)透鏡或反射鏡組成，實(shí)現(xiàn)對(duì)地面景物成像;支撐結(jié)構(gòu)是用來固定和支撐各光學(xué)元件，承受來自力學(xué)環(huán)境及溫度環(huán)境變化帶來的沖擊和擾動(dòng)，確保鏡頭具有必要的成像精度。支撐結(jié)構(gòu)可以是承力筒、夾層板、框架結(jié)構(gòu)、板式構(gòu)架，以及桿系結(jié)構(gòu)等形式。

無論光學(xué)元件還是支撐結(jié)構(gòu)，由于受到空間微重力環(huán)境的影響，相機(jī)在地面受到的重力載荷得到釋放，使相機(jī)結(jié)構(gòu)產(chǎn)生與地面重力加速度方向相反的位移，導(dǎo)致光學(xué)元件表面面型、曲率半徑、鏡間隔等參數(shù)產(chǎn)生變化。曲率半徑、鏡間隔的變化直接導(dǎo)致焦面產(chǎn)生離焦，即相機(jī)的CCD靶面偏離焦平面，最終降低光學(xué)系統(tǒng)傳遞函數(shù)、降低成像質(zhì)量。因此，本文主要研究微重力對(duì)相機(jī)離焦的影響。

2 離焦理論分析

對(duì)于F#為9的光學(xué)系統(tǒng)，離焦量與光學(xué)傳遞函數(shù)關(guān)系如圖1所示。當(dāng)離焦量達(dá)到焦深位置0.1 mm時(shí)，離焦傳函達(dá)到0.66，此時(shí)相機(jī)的成像質(zhì)量大大降低。根據(jù)相機(jī)系統(tǒng)傳遞函數(shù)的分配，相機(jī)允許的離焦傳函為0.97，其對(duì)應(yīng)的離焦量僅為0.028 2 mm，因此，由于空間微重力產(chǎn)生的離焦量必須計(jì)算。

圖1 離焦量與光學(xué)傳遞函數(shù)關(guān)系Fig.1 Relationship between defocusing range and optical transfer function

圖2為TMA光學(xué)系統(tǒng)，r1、r2和r3分別為主、次鏡、第三鏡半徑，s1為主鏡與次鏡間隔，s2為次鏡與第三鏡間隔，l'F為后截距。

圖2 離軸三反光學(xué)系統(tǒng)Fig.2 Configuration of off-axial TMA optical system

等效高斯光學(xué)系統(tǒng)矩陣［7-8］:

3 微重力下鏡間隔計(jì)算方法

有限元法作為數(shù)值模擬計(jì)算的一種有效方法，可以解決工程中的結(jié)構(gòu)分析問題。文中將使用有限元分析方法對(duì)反射鏡面型進(jìn)行詳細(xì)的分析，在有限元仿真分析后，將反射鏡鏡面各節(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)通過一定的數(shù)據(jù)處理方法處理后，可以得到鏡面的位置變化［9］。

光學(xué)元件的剛體位移包括在X、Y、Z方向的平移及繞X、Y、Z軸的旋轉(zhuǎn)。

齊次坐標(biāo)變換在圖像處理中是一種較為常用的方法，通過它可以實(shí)現(xiàn)圖像的旋轉(zhuǎn)、縮放、平移。在這里通過齊次坐標(biāo)變換來計(jì)算鏡面剛體位移。

齊次坐標(biāo)方法是用一個(gè)n+1維的分向量來表示一個(gè)n維向量。例如，在A坐標(biāo)系中的點(diǎn)P直角坐標(biāo)為(x，y，z)，表示成齊次坐標(biāo)為(x，y，z，1)。齊次坐標(biāo)變換則是描述一個(gè)齊次坐標(biāo)系到另為一個(gè)齊次坐標(biāo)系的變換關(guān)系。

在相機(jī)的光機(jī)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)中，如果反射鏡鏡面受到載荷作用后，相對(duì)于各自初始位置沿x、y、z軸的平移量分別為e、f、g，繞x、y、z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)量分別為 θx、θy、θz，通過齊次坐標(biāo)變換，可求出位移后鏡面有限元節(jié)點(diǎn)與初始狀態(tài)下鏡面節(jié)點(diǎn)間的坐標(biāo)變換矩陣。雖然坐標(biāo)變換矩陣時(shí)不同的順序會(huì)出現(xiàn)不同形式的坐標(biāo)變換矩陣，但考慮到 θx、θy、θz是微小的角度，在數(shù)值上作近似處理，讓cosθ≈1，sinθ≈θ，并略去高階小量，得到總的坐標(biāo)變換矩陣形式統(tǒng)一，最終公式如下:

式中，(xi，yi，zi)為變形前鏡面上的節(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)，(x'i，y'i，z'i)為變形后鏡面上的節(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)。公式變換得:

利用最小二乘法求解Q的最小值，對(duì)所有未 知數(shù)求偏導(dǎo)，得到6個(gè)方程如下:

對(duì)方程組的求解就可以得到鏡面在微重力作用下的剛體平移量和偏轉(zhuǎn)量。把主鏡與次鏡的Z向平移量相減可以獲得變化后的主鏡與次鏡間隔參數(shù)s1的變化量，同理，把第三鏡與次鏡的Z向平移量相減可以獲得變化后的第三鏡與次鏡間隔參數(shù)s2變化量。

隨機(jī)選取首都醫(yī)科大學(xué)2013級(jí)臨床和基礎(chǔ)醫(yī)學(xué)等專業(yè)60名學(xué)生作為研究對(duì)象，將60名學(xué)生分為10個(gè)小組，每組5～7人。

4 球面半徑擬合計(jì)算方法

從有限元中得到變形后的反射鏡鏡面節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)后，需要采用最小二乘算法擬合出一個(gè)新球面，其方法是將待擬合的新球面參數(shù)作為待定系數(shù)，將每個(gè)采樣數(shù)據(jù)和理想?yún)?shù)之間殘留誤差的平方和相加，平方和最小時(shí)所對(duì)應(yīng)的待定系數(shù)就是擬合值［10］。

假設(shè)近似球面的球心為C(x0，y0，z0)，半徑為r，則該球面可以寫成如下的標(biāo)準(zhǔn)形式(x－x0)2+(y－y0)2+(z－z0)2=r2，基于代數(shù)殘差的目標(biāo)函數(shù)l為:

進(jìn)一步簡化式(6)，將分?jǐn)?shù)形式改為非分?jǐn)?shù)形式:

式(7)中的待定參數(shù)受B2+C2+D2－4AE=1公式約束。

顯然，λ和μ分別是廣義特征值和廣義特征向量。而鏡面變形后的擬合球面半徑為:

5 計(jì)算實(shí)例

相機(jī)在地面采用臥式裝配，各反射鏡鏡面與重力方向平行。當(dāng)相機(jī)入軌后，由于受到空間微重力載荷的影響，在地面上受到的載荷得到釋放，各反射鏡的間隔、半徑發(fā)生變化，從而導(dǎo)致光學(xué)系統(tǒng)后截距發(fā)生變化，焦面產(chǎn)生離焦。

本文主要以有限元仿真分析方法完成相機(jī)的力學(xué)分析，采用MSC/Patran進(jìn)行前處理，MSC/Nastran解算器求解。相機(jī)整機(jī)有限元模型(見圖3)主要采用8節(jié)點(diǎn)HEX單元和4節(jié)點(diǎn)QUAD單元?jiǎng)澐?，?51 813個(gè)節(jié)點(diǎn)，150 787個(gè)單元。

圖3 相機(jī)有限元模型Fig.3 Finite element model of camera

相機(jī)主框架采用鋁基碳化硅復(fù)合材料，密度為2.8×103kg/m3，彈性模量為95 GPa，泊松比為0.28，線脹系數(shù)為 1.9×10－5。主鏡、次鏡、第三境均采用碳化硅材料，碳化硅材料的密度為3.05×103kg/m3，彈性模量為400 GPa，泊松比為0.16，線脹系數(shù)為2.5 ×10－6。

相機(jī)入軌后，重力載荷得到釋放，可以用地面重力方向的反方向(+Y向)施加慣性載荷來模擬，對(duì)相機(jī)的連接座約束6自由度位移后，通過有限元計(jì)算得到主鏡、次鏡、第三鏡反射鏡鏡面有限單元節(jié)點(diǎn)的位移結(jié)果帶入球面半徑擬合式(11)及鏡面剛體位移式(5)，計(jì)算得到各反射鏡鏡面剛體位移、曲率半徑變化，結(jié)果見表1，主鏡、次鏡、第三鏡在微重力載荷作用下位移圖見圖4。

表1 各鏡面位移及半徑變化Tab.1 Mirror displacement and radius change (mm)

圖4 主鏡、次鏡、第三鏡在微重力載荷作用下的位移Fig.4 Mirror displacement diagram in microgravity loading

把表中的剛體位移量、半徑變化量修正后截距式(2)中各參數(shù)后，得到空間微重力環(huán)境下后截距為1 509.556 7 mm，減去相機(jī)在地面重力環(huán)境下后截距1 509.535 2 mm，得到相機(jī)離焦量0.021 mm，接近相機(jī)允許的離焦量0.028 5 mm。

為了驗(yàn)證該套計(jì)算方法的正確性，在實(shí)驗(yàn)室將相機(jī)翻轉(zhuǎn)90°(見圖5)，使相機(jī)承受+Z向重力載荷作用，原先－Y方向的重力載荷得到釋放。通過焦面調(diào)焦機(jī)構(gòu)調(diào)整焦面位置［11］，當(dāng)焦面達(dá)到最佳位置時(shí)測(cè)得調(diào)焦量為0.04 mm，與+Z向施加重力載荷及+Y方向的重力載荷得到釋放后相機(jī)離焦量0.039 mm的分析結(jié)果基本吻合。

6 結(jié)論

由3塊反射鏡組成的空間相機(jī)在軌道空間微重力的影響下，其反射鏡面間隔、曲率半徑往往發(fā)生改變。雖然其變化量在設(shè)計(jì)允許的范圍之內(nèi)，但對(duì)系統(tǒng)的后截距產(chǎn)生較大的影響，最終導(dǎo)致相機(jī)離焦，降低成像質(zhì)量。通過對(duì)三反系統(tǒng)的等效高斯光學(xué)系統(tǒng)分析，得到其后截距公式;采用有限元分析方法得到反射鏡鏡面節(jié)點(diǎn)的位移值，通過齊次坐標(biāo)變換，得到反射鏡面剛體位移公式，求出鏡間隔變化量Δs;通過采用最小二乘算法擬合計(jì)算得到微重力環(huán)境下的鏡面半徑r，利用文中推導(dǎo)出的三反光學(xué)系統(tǒng)后截距公式，計(jì)算出空間微重力環(huán)境下相機(jī)后截距，與重力環(huán)境下的后截距相減后得到相機(jī)在微重力環(huán)境下的離焦量，為相機(jī)調(diào)焦機(jī)構(gòu)的設(shè)計(jì)提供了理論依據(jù)。

圖5 相機(jī)立式檢測(cè)Fig.5 Camera under vertical detection

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