王永紅，李駿睿，孫建飛，劉 佩，楊連祥，2

(1.合肥工業(yè)大學(xué)儀器科學(xué)與光電學(xué)院，安徽合肥230009;

2.美國(guó)奧克蘭大學(xué)機(jī)械工程系，密歇根羅切斯特48309)

1 引言

散斑干涉測(cè)量技術(shù)利用激光散斑作為位移信息的載體，對(duì)物體的表面形變、位移、震動(dòng)進(jìn)行測(cè)量，是一種非接觸、測(cè)量精度高的實(shí)時(shí)全場(chǎng)光學(xué)測(cè)量技術(shù)［1-3］。利用時(shí)間相移技術(shù)［4-5］生成的干涉相位條紋圖被包裹于［－π，π］之間，為了獲得真實(shí)的相位分布，需要進(jìn)行相位解包裹計(jì)算。但是生成的包裹相位圖含有大量的噪聲，嚴(yán)重影響了相位解包裹的結(jié)果和精度，甚至?xí)蛟肼曔^(guò)大而造成相位解包裹的失敗。圖1(a)為利用時(shí)間相移技術(shù)得到的一幅原始包裹相位圖像，可以看出圖中存在大量的散斑噪聲。圖1(b)為其沿x軸截面上的相位分布圖，從圖中可以看出，此時(shí)的相位圖含有大量的噪聲干擾，這樣的相位圖無(wú)法實(shí)現(xiàn)解包裹處理。因此，在相位解包之前，需要對(duì)包裹的相位圖進(jìn)行濾波去噪處理。如何有效地去除條紋圖的散斑噪聲成為電子散斑干涉測(cè)量技術(shù)的關(guān)鍵問(wèn)題。

圖1 原始相位圖及x向相位分布Fig.1 Raw phase map and phase distribution in x direction

圖2 傳統(tǒng)濾波效果圖Fig.2 Filtered phase map using conventional methods

近年來(lái)國(guó)內(nèi)外許多學(xué)者做了大量的研究工作，如中值濾波、均值濾波、傅里葉變換濾波等［6-8］傳統(tǒng)的濾波方法，在濾掉散斑噪聲的同時(shí)，也會(huì)濾掉、模糊許多有用的信息。如均值濾波丟失了原始相位圖中的相位跳變信息和“尖峰”信息，模糊了條紋的邊界(見圖2(a))。中值濾波雖然保留了相位跳變信息(見圖2(b))，但是由于基于雙側(cè)指數(shù)函數(shù)的噪聲統(tǒng)計(jì)分布假設(shè)，對(duì)于噪聲水平高的場(chǎng)合并不適用，且需要對(duì)濾波窗口中每個(gè)像素值的大小進(jìn)行排序，計(jì)算時(shí)間較長(zhǎng);Annalisa Capanni等人提出了改進(jìn)的中值濾波法［9］，但存在誤判現(xiàn)象;H.A.Aebischer等人提出正余弦濾波方法，保留了圖像中的“尖峰”信息［10］;秦玉文等人提出一種基于回歸算法的條紋濾波技術(shù)［11］;楊磊等人提出一種基于殘差點(diǎn)的干涉相位圖自適應(yīng)濾波方法［12］;于起峰等人提出一種帶門限的旋濾波方法［13］，但是這些方法僅通過(guò)選取直線窗口內(nèi)數(shù)據(jù)求均方差值進(jìn)行比較判別，因此它受到噪聲的影響較大;當(dāng)圖像的噪聲水平較高時(shí)，必須去較大的窗口才能消除噪聲;王開福等人提出一種基于同態(tài)濾波原理的條紋濾波方法，對(duì)相位圖去噪的同時(shí)可以增強(qiáng)圖像的對(duì)比度［14］;李凱等人提出一種基于 Gabor濾波的平滑方法［15］等。本文采用一種條紋正余弦分解和頻域?yàn)V波結(jié)合的方法，可以更好地提高濾波的精度和速度。實(shí)驗(yàn)研究證明，與傳統(tǒng)的圖像降噪方法對(duì)比，，這種分解頻域?yàn)V波方法能夠在保留圖像“尖峰”信息的基礎(chǔ)上，較好地濾除圖像中的散斑噪聲，方法簡(jiǎn)單有效。

2 條紋頻域?yàn)V波原理

圖像處理方法可以分為空域分析法和頻域分析法?？沼蚍治龇ㄖ饕菍?duì)圖像矩陣進(jìn)行處理，而頻域分析法則是通過(guò)傅里葉變換、余弦變換、小波變換等變換方法將圖像從空域變換到頻域，在頻域的角度分析圖像的特征并進(jìn)行處理。傅里葉變換是一種經(jīng)典的圖像變換方法，本文基于傅里葉變換對(duì)散斑干涉相位圖在頻域上進(jìn)行濾波去噪處理。

2.1 離散傅里葉變換

在計(jì)算機(jī)上，圖像的存儲(chǔ)采用數(shù)字形式，連續(xù)的傅里葉變換不適用于計(jì)算機(jī)的處理，因此在計(jì)算機(jī)圖像處理中的傅里葉變換一般都采用離散傅里葉變換(DFT)［16］。

對(duì)于圖像處理領(lǐng)域，由于圖像為二維矩陣數(shù)據(jù)，故采用二維離散傅里葉變換加以處理。其中，圖像尺寸為M×N函數(shù)的離散傅里葉變換及其反變換的公式為:

通常在進(jìn)行傅里葉變換之前用(－1)x+y乘以輸入的圖像函數(shù)，可以將傅里葉變換的原點(diǎn)F(0，0)變換到頻率坐標(biāo)下的(M/2，N/2)上。F(0，0)為圖像的平均灰度級(jí)，也被稱為頻域譜的直流分量。

2.2 頻域低通濾波

在傅里葉變換域，一幅圖像的能量大部分集中在其頻譜的低頻和中頻段，而圖像的邊緣和其他尖銳的跳躍(例如噪聲)則對(duì)傅里葉變換的高頻分量有很大貢獻(xiàn)。因此，對(duì)一幅圖像進(jìn)行傅里葉變換得到頻譜后，對(duì)其頻域上一定范圍的高頻分量衰減，并使低頻分量順利通過(guò)，經(jīng)過(guò)反變換可以達(dá)到圖像的平滑效果。

然而，由于相位圖存在跳變邊緣，跳變邊緣信息也屬于高頻分量，能否區(qū)分出噪聲與正常跳變將對(duì)濾波效果造成影響。

由卷積定理，頻域低通濾波的表達(dá)式為［17］:

式中，F(xiàn)(u，v)為含有噪聲的原始圖像的傅里葉變換，H(u，v)為濾波器傳遞函數(shù)。常用的低通濾波器有理想低通濾波器、巴特沃斯濾波器、指數(shù)濾波器和梯形低通濾波器等。本文主要采用理想低通濾波器模型對(duì)圖像進(jìn)行平滑處理。

一個(gè)二維理想低通濾波器的傳遞函數(shù)可以表示為:

式中，D0為截止頻率。理想低通濾波器的特性為:假設(shè)傅里葉變換的原點(diǎn)已經(jīng)處于N×N矩陣的中心，以D0為半徑的圓內(nèi)的所有頻率分量無(wú)損通過(guò)，圓外的所有頻率分量完全衰減。

3 干涉相位圖的頻域去噪處理

圖3 頻譜及低通濾波結(jié)果Fig.3 Frequency domain and low-pass filter result

對(duì)實(shí)驗(yàn)獲取的原始包裹相位(見圖1(a))進(jìn)行二維傅里葉變換后得到的頻譜，如圖3(a)所示。根據(jù)上述原理，相位圖頻譜里的高頻分量對(duì)應(yīng)著相位圖中的噪聲和條紋間的跳變信息，因此，如果直接對(duì)圖像進(jìn)行頻域低通濾波，雖然濾除了原始相位圖中的噪聲，但是也嚴(yán)重?fù)p失了條紋圖中的跳變信息。圖3(b)為對(duì)圖3(a)直接進(jìn)行傳統(tǒng)的頻域低通濾波得到的結(jié)果，可以看出產(chǎn)生一定的平滑效果，但同時(shí)也丟失了原始相位圖中的跳變信息。

為了保留原始相位圖中的“尖峰”信息，本文采取了一種基于正余弦變換的頻域低通濾波方法，得到了很好的平滑效果。該方法的基本思路是在對(duì)相位圖像進(jìn)行頻域低通濾波處理前，先對(duì)將灰度分布呈鋸齒形函數(shù)分布的相位圖通過(guò)正余弦函數(shù)進(jìn)行映射轉(zhuǎn)換成兩幅圖，分別經(jīng)過(guò)頻域?yàn)V波，然后再合成為相位圖。這樣就可以在濾波的同時(shí)，有效保留相位跳變信息。映射轉(zhuǎn)換的規(guī)則如下式:

式中:g(i，j)為原始灰度值，g1(i，j)為轉(zhuǎn)換后的正弦灰度值，g2(i，j)為轉(zhuǎn)換后的余弦灰度值。

圖4 正余弦圖及處理效果Fig.4 Sine and Cosine fringe patterns and filter results

對(duì)圖1(a)進(jìn)行轉(zhuǎn)換后的正弦圖和余弦圖如圖4(a)、4(b)所示。分別對(duì)其進(jìn)行傅里葉變換，得到的頻譜如圖4(c)、4(d)所示?？梢钥闯鰣D像的信息主要集中在頻譜的低頻部分，即圖像中心的亮斑。選用上節(jié)所介紹的二階理想低通濾波器對(duì)正弦圖和余弦圖進(jìn)行頻域低通濾波，分別得到兩幅圖像的平滑結(jié)果，如圖4(e)、4(f)所示。

將濾波后得到的正余弦圖經(jīng)過(guò)反運(yùn)算合成一幅圖，就得到了最終的平滑結(jié)果，如圖5(a)所示。圖5(b)為其在x截面上的相位分布，從圖中可以看出，平滑效果比直接進(jìn)行頻域低通濾波的效果更好，在圖中間和邊緣均取得了很好的濾波結(jié)果，圖像已經(jīng)不再有任何散斑噪聲，并且很好地保留了條紋間的跳變信息。

圖5 頻域?yàn)V波相位圖及相位分布Fig.5 Low-pass filtered phase map and phase distribution

圖6 解包裹相位對(duì)比圖Fig.6 Contrast of genuine phase map after unwrapping

圖6為對(duì)頻域?yàn)V波后的圖像進(jìn)行相位解包得到的圖像，可見濾波后的相位圖進(jìn)行解包裹處理獲得的結(jié)果也是很好的，證明了本文方法的有效性和可靠性。

4 測(cè)量實(shí)驗(yàn)與結(jié)果

為研究頻域?yàn)V波方法對(duì)相位圖去噪的影響，本文分別對(duì)濾波次數(shù)、濾波窗口和截止頻率等參數(shù)的影響進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)研究。頻域?yàn)V波的平滑效果可以通過(guò)增加濾波次數(shù)來(lái)實(shí)現(xiàn)，濾波次數(shù)越多，濾波結(jié)果越平滑。但是，濾波處理的時(shí)間也會(huì)成倍增加，影響了對(duì)相位信息提取的速度。圖7是采用3×3操作窗口進(jìn)行空域?yàn)V波的實(shí)驗(yàn)結(jié)果圖，a、b、c三幅圖的濾波次數(shù)分別為1次、3次和7次。

圖7 正余弦圖及處理效果Fig.7 Sine and Cosine filtered phase map with different filtering times

另一方面，空域?yàn)V波操作窗口的大小也會(huì)影響濾波結(jié)果的平滑程度，窗口越大，平滑效果越好。因此可以通過(guò)增大操作窗口來(lái)減少空域?yàn)V波的次數(shù)，但是相對(duì)濾波精度也會(huì)有所降低。圖8是采用不同操作窗口進(jìn)行空域?yàn)V波的結(jié)果。

圖8 不同濾波窗口的空域?yàn)V波結(jié)果Fig.8 Filtered phase map with different size of operate window

選取不同大小截止頻率的二維理想低通濾波器，得到的濾波結(jié)果如圖9所示。比較后可以得出，頻域?yàn)V波后圖像的平滑程度與低通濾波器的截止頻率相關(guān)，截止頻率越小，濾波結(jié)果越平滑。因此只要選擇合適的截止頻率D0，一次濾波就可以得到理想的濾波效果，這樣相比于空域?yàn)V波，濾波的效率可以大大提高。

圖9 不同截止頻率下正余弦變換的頻域?yàn)V波結(jié)果Fig.9 Sine and Cosine filtered phase map with different cut-off frequency

通過(guò)濾波后相圖視覺效果及解包裹結(jié)果可以直觀地對(duì)濾波方法的優(yōu)劣進(jìn)行評(píng)判，而對(duì)濾波前后相位圖灰度信息保留比例的計(jì)算則可以客觀地展現(xiàn)不同方法的優(yōu)劣。表1分別對(duì)原始相位圖以3種傳統(tǒng)方法與新方法在不同濾波窗口下進(jìn)行一次濾波處理后的灰度保留比例做了對(duì)比。對(duì)于傳統(tǒng)濾波方法，加大濾波窗口對(duì)于灰度信息的丟失影響極大，在9×9窗口均值濾波中，損耗已經(jīng)接近40%。對(duì)于相圖，由于灰度峰值基本出現(xiàn)在條紋跳躍處，故可以近似認(rèn)為該處像素的濾波引入誤差接近40%。而新的分解頻域?yàn)V波方法中，灰度損耗僅為0.4%，且與濾波窗口大小無(wú)關(guān)，這樣就充分保護(hù)了相圖信息。

表1 灰度信息保留比例Tab.1 Retention rate of gray value after filtering

5 結(jié)論

干涉相位圖的降噪處理作為相位解包裹處理前的必要環(huán)節(jié)，如何在有效地去除條紋圖的散斑噪聲的同時(shí)，不會(huì)丟失和濾掉有用的信息(如相位跳變信息)是散斑干涉條紋處理的關(guān)鍵問(wèn)題。本文采用相位圖正余弦映射分解和頻域?yàn)V波結(jié)合的方法，實(shí)現(xiàn)了散斑干涉條紋的高精度濾波，良好的平滑處理避免了噪聲對(duì)相位解包裹處理的干擾，使其可以順利的完成解包裹，最終得到正確的相位分布圖。實(shí)驗(yàn)研究證明了該方法在較好地濾除圖像中散斑噪聲的基礎(chǔ)上，能夠有效保留相位中的“尖峰”信息，將傳統(tǒng)濾波方法中10% ～40%的灰度損耗降低至1%以下，能夠很好地滿足解包裹的需要，同時(shí)可以通過(guò)改變操作窗口大小、濾波次數(shù)和濾波器截止頻率等參數(shù)對(duì)不同程度的噪聲進(jìn)行抑制，方法簡(jiǎn)單有效。

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