王宇寧，孫志禮，楊 麗，佟 操

（東北大學(xué) 機(jī)械工程與自動(dòng)化學(xué)院，遼寧 沈陽 110819）

對(duì)于機(jī)械傳動(dòng)系統(tǒng)，通過局部分析來評(píng)估結(jié)構(gòu)整體的受力分析會(huì)產(chǎn)生較大的誤差，而航空發(fā)動(dòng)機(jī)附件機(jī)匣作為復(fù)雜傳動(dòng)系統(tǒng)，其包含了很多軸、軸承、齒輪等構(gòu)件，整個(gè)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)狀況決定構(gòu)件內(nèi)部的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)和受力狀況，同時(shí)也決定其應(yīng)力應(yīng)變的分布.若要精確地模擬整個(gè)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)，則須對(duì)傳動(dòng)系統(tǒng)進(jìn)行整體分析.但整體結(jié)構(gòu)分析由于規(guī)模大、難度高，成為十分迫切與關(guān)鍵的瓶頸問題.國內(nèi)外很多學(xué)者進(jìn)行了相關(guān)研究，張勇等從彎扭耦合振動(dòng)的角度建立了軸系的數(shù)學(xué)模型［1］；孫偉等針對(duì)高速主軸系統(tǒng)在靜止及運(yùn)轉(zhuǎn)狀態(tài)下進(jìn)行了動(dòng)力學(xué)特性對(duì)比分析［2］；劉桂珍等考慮油膜力特征對(duì)轉(zhuǎn)子－軸承系統(tǒng)進(jìn)行了非線性動(dòng)力學(xué)研究［3］；LYRIDIS等以船用柴油機(jī)的軸系結(jié)構(gòu)為研究對(duì)象進(jìn)行了可靠性分析［4］；LARMI對(duì)內(nèi)燃機(jī)軸系的扭振進(jìn)行了自由振動(dòng)分析和強(qiáng)迫振動(dòng)分析［5］.裝配誤差對(duì)軸系傳動(dòng)性能的影響還鮮有報(bào)道，而齒輪軸線平行度偏差是裝配過程中比較常見的一種情況［6］，因此，通過變換齒輪軸不平行時(shí)角度的大小，實(shí)現(xiàn)齒輪軸線平行度偏差的變化，應(yīng)用有限元法對(duì)軸系結(jié)構(gòu)進(jìn)行靜力分析，研究齒輪、軸承的應(yīng)力變化，對(duì)于指導(dǎo)傳動(dòng)系統(tǒng)在實(shí)際工況中的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)具有重要意義.

本文以軸-齒輪-軸承組成的附件機(jī)匣傳動(dòng)系統(tǒng)中的軸系結(jié)構(gòu)為研究對(duì)象，基于接觸問題的求解算法采用ANSYS對(duì)軸系結(jié)構(gòu)進(jìn)行靜態(tài)仿真，在考慮了裝配誤差因素的軸線平行度偏差的情況下分別對(duì)軸系結(jié)構(gòu)、齒輪和滾動(dòng)軸承進(jìn)行靜態(tài)對(duì)比分析.

1 求解接觸問題的有限元法

設(shè)A1，A2在接觸面上的接觸對(duì)分別為i（1）和i（2），i＝1，2，3，…，r，接觸對(duì)的柔度方程［7］為

接觸邊界為

式中：δ0為初始位移向量.

則得到全部接觸對(duì)的接觸方程：

式中：rj為接觸點(diǎn)j的接觸位移向量；θi為接觸點(diǎn)i的轉(zhuǎn)動(dòng)角；δi為節(jié)點(diǎn)i節(jié)點(diǎn)引起的外部加載位移向量；Tw施加的外部轉(zhuǎn)矩.

式（3）形成了全部接觸對(duì)的接觸方程，用對(duì)稱方程組的（Cholesky）分解法進(jìn)行每次迭代，通過接觸狀態(tài)對(duì)接觸點(diǎn)對(duì)中最大負(fù)接觸內(nèi)力進(jìn)行剔除，形成了新的柔度子矩陣，進(jìn)行循環(huán)迭代求解.

2 軸系結(jié)構(gòu)裝配誤差的確定

齒輪軸線平行度偏差包括軸線平面內(nèi)的平行度偏差fδ和垂直平面上的平行度偏差fβ；其中fδ是在兩軸線的公共平面上測量的，此公共平面的是用兩軸承跨距中較長的一個(gè)L和另一根軸上的一個(gè)軸承來確定的；而fβ是在與軸線公共平面相垂直的平面上測量的；為了軸線平面內(nèi)的平行度偏差fδ變化對(duì)于軸系結(jié)構(gòu)的影響，將軸線平面內(nèi)的平行度偏差fδ等效成主動(dòng)輪心軸由一端面為支點(diǎn)向外扭的角度α，通過改變?chǔ)恋拇笮⊙芯糠治鰧?duì)于軸系結(jié)構(gòu)的影響.

通過軸線平行度偏差的相關(guān)資料［8］可知α為0.21°左右，因此，選取理想值0°和可用值0.2°以及可用值之外的角度0.4°，如圖1所示，通過改變?chǔ)两嵌鹊拇笮?，使主?dòng)輪心軸由一端面為支點(diǎn)向外分別扭轉(zhuǎn)0°，0.2°，0.4°，這樣能更利于觀察明顯的變化結(jié)果.

圖1 軸線不平行的情形示意圖Fig.1 Uneven rows of two－axis diagram of error conditions

3 邊界條件和載荷的確定

軸系中的結(jié)構(gòu)件采用的是面－面接觸方式，根據(jù)目標(biāo)面和接觸面的選擇原則建立接觸對(duì)，齒輪、軸承、軸的接觸面和目標(biāo)面的選擇如表1所示.

表1 接觸面和目標(biāo)面Tab.1 Contact surface and target surface

用ANSYS做靜態(tài)接觸時(shí)，不允許接觸對(duì)間有間隙，因此需要打開閉合間隙，同時(shí)需要施加初始滲透開關(guān)，選擇高斯積分節(jié)點(diǎn)作為接觸監(jiān)測點(diǎn).

對(duì)于軸系中的齒輪，通過ALL DOF命令約束從動(dòng)輪全部邊界的節(jié)點(diǎn)，限制從動(dòng)齒輪的轉(zhuǎn)動(dòng)；對(duì)主動(dòng)輪通過DOF約束齒輪輪轂邊界主要節(jié)點(diǎn)的軸向約束和法向約束，然后在主動(dòng)輪輪轂邊界節(jié)點(diǎn)上施加切向力，稱為直接施加扭矩；對(duì)于軸系中的軸承，將帶有軸承的齒輪軸的空心軸兩端施加軸向約束，耦合空心軸內(nèi)圈表面所有節(jié)點(diǎn)的自由度，使其在載荷作用下具有相同的位移.將節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)系轉(zhuǎn)化到柱坐標(biāo)系下，施加圓周切線作用力，對(duì)另一個(gè)齒輪內(nèi)圈表面全部節(jié)點(diǎn)施加全約束［9］.

4 算例

以某軸－齒輪－軸承所組成的附件機(jī)匣傳動(dòng)系統(tǒng)的軸系為研究對(duì)象，軸承的主要幾何參數(shù)如表2所示，齒輪的主要幾何參數(shù)如表3所示，材料的彈性模量為211GPa，泊松比為0.3，齒輪的轉(zhuǎn)矩為210 N·m，軸系的實(shí)體模型如圖2所示.

表2 深溝球軸承的尺寸Tab.2 Size of the deep groove ball bearings

對(duì)于齒輪的網(wǎng)格劃分主要采用的是掃掠網(wǎng)格劃分，而對(duì)于軸承滾動(dòng)體采用的是映射網(wǎng)格劃分的方法，根據(jù)表1確定軸系結(jié)構(gòu)中齒輪、軸承的接觸對(duì)，如圖3所示.

當(dāng)兩軸誤差傾斜角變化為0°，0.2°，0.4°時(shí)，整體軸系結(jié)構(gòu)的靜力分析等效應(yīng)力值如表4所示.圖4—8均為應(yīng)力云圖.

表3 齒輪的主要參數(shù)Tab.3 Basic parameters of gear

圖2 軸系結(jié)構(gòu)實(shí)體模型Fig.2 Solid model of shafting structure

圖3 接觸對(duì)的建立Fig.3 Establishment of the contact

表4 隨角度變化的整體結(jié)構(gòu)的等效應(yīng)力值Tab.4 Shafting institutions stress with the change in angle

為了更直觀地看出轉(zhuǎn)變角度之后的應(yīng)力結(jié)果變化，選取0°和0.4°的應(yīng)力云圖，如圖4所示.對(duì)軸系整體結(jié)構(gòu)進(jìn)行比較時(shí)，可以看出，其中在0°時(shí)，最大等效應(yīng)力發(fā)生在軸承滾動(dòng)體上，而在齒輪軸不平行時(shí)誤差為0.2°到0.4°時(shí)，最大等效應(yīng)力發(fā)生在齒輪嚙合處，可以說明隨著齒輪軸不平行時(shí)誤差的增加，軸系結(jié)構(gòu)的等效應(yīng)力大小變化比較明顯，尤其對(duì)齒輪應(yīng)力的影響非常明顯，因此在以后對(duì)軸系結(jié)構(gòu)進(jìn)行裝配時(shí)應(yīng)該嚴(yán)格的控制軸線平行度偏差.

圖4 隨角度變化的軸系應(yīng)力云圖Fig.4 Shafting structure stress cloud with the change in angle

當(dāng)兩軸誤差傾斜角變化為0°，0.2°，0.4°時(shí)，齒輪等效應(yīng)力值如表5所示.選取0°和0.4°的應(yīng)力云圖，如圖5所示.

圖5 隨角度變化的主從動(dòng)齒輪應(yīng)力云圖Fig 5 Driving and driven gear stress cloud with the change in angle

表5 隨角度變化的主從動(dòng)齒輪軸的等效應(yīng)力值Tab.5 Driving and driven gear stress with the change in angle

通過應(yīng)力云圖5可以看出，齒輪軸不平行時(shí)誤差為0°時(shí)，齒輪在嚙合的過程中，應(yīng)力主要集中在接觸部位和齒根部位，并且最大應(yīng)力發(fā)生在齒根部位，輪齒在嚙合受載后發(fā)生了變形，兩個(gè)齒輪的接觸線為均勻的面接觸.

當(dāng)兩軸誤差傾斜角變化為0°，0.2°，0.4°時(shí)，滾動(dòng)體的靜力分析等效應(yīng)力值如表6所示.

表6 隨角度變化的滾動(dòng)體的等效應(yīng)力值Tab.6 Rolling element stress with the change in angle

選取0°和0.4°時(shí)的應(yīng)力云圖，如圖6所示.

通過圖6可以看出，軸承與內(nèi)外圈接觸時(shí)，接觸區(qū)域成橢圓形分布，其長短半軸的偏差也比較明顯，這與赫茲接觸理論［10］一致；在軸承正下方的滾動(dòng)體和相接觸的內(nèi)外圈受力最大，即軸承發(fā)生破壞時(shí)，危險(xiǎn)部位即為滾動(dòng)體與內(nèi)外圈接觸點(diǎn)處.

圖6 隨角度變化的滾動(dòng)體應(yīng)力云圖Fig.6 Rolling stress cloud with the change in angle

當(dāng)兩軸誤差傾斜角變化為0°，0.2°，0.4°時(shí)，軸承內(nèi)圈的靜力分析等效應(yīng)力值如表7所示.

表7 隨角度變化的軸承內(nèi)圈的等效應(yīng)力值Tab.7 Bearing inner race stress with the change in angle

同樣選取0°和0.4°時(shí)的應(yīng)力云圖，如圖7所示：

圖7 隨角度變化的軸承內(nèi)圈應(yīng)力云圖Fig.7 Bearing inner race stress cloud with the change in angle

當(dāng)兩軸誤差傾斜角變化為0°，0.2°，0.4°時(shí)，軸承外圈的靜力分析等效應(yīng)力值如表8所示.

表8 隨角度變化的軸承外圈的等效應(yīng)力值Tab.8 Bearing outer ring stress with the change in angle

同樣選取0°和0.4°時(shí)的應(yīng)力云圖，如圖8所示.

圖8 隨角度變化的軸承外圈應(yīng)力云圖Fig.8 Bearing outer race stress cloud with the change in angle

當(dāng)軸系結(jié)構(gòu)在齒輪軸不平行時(shí)誤差分別為0°，0.2°，0.4°，對(duì)滾動(dòng)軸承來說，從圖6—8可以得出，隨著齒輪軸不平行時(shí)誤差的增加，軸承內(nèi)圈、外圈、滾動(dòng)體的等效應(yīng)力變化相對(duì)較小，這說明軸不平行時(shí)誤差的變化對(duì)于軸承的應(yīng)力變化影響較小.這是由于在靜力學(xué)計(jì)算時(shí)，隨著齒輪軸不平行時(shí)誤差的增加，主動(dòng)輪施加給從動(dòng)輪上的力的總大小是一樣的，進(jìn)而滾動(dòng)軸承所承受的力是一樣的，故而變化較小.

5 結(jié)論

（1）齒輪在嚙合的過程中在接觸部位和齒根部位的的應(yīng)力的大小受齒輪軸不平行度誤差的影響，最大應(yīng)力發(fā)生在齒根部位.

（2）齒輪軸不平行度誤差對(duì)軸承內(nèi)圈、外圈、滾動(dòng)體的等效應(yīng)力變化相對(duì)較小，軸承發(fā)生破壞時(shí)，危險(xiǎn)部位為滾動(dòng)體與內(nèi)外圈接觸點(diǎn)處.

（3）隨著齒輪軸不平行時(shí)誤差的增加，軸系結(jié)構(gòu)的等效應(yīng)力相應(yīng)地增加，且齒輪應(yīng)力變化較為明顯，軸承的應(yīng)力變化較小.因此在實(shí)際裝配中，應(yīng)該嚴(yán)格控制齒輪的裝配誤差，保證軸系結(jié)構(gòu)的正常運(yùn)轉(zhuǎn).

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