王小斌，黃 劍，李貴杰

(蘭州交通大學(xué)數(shù)理學(xué)院，甘肅蘭州 730070)

離心調(diào)速器系統(tǒng)的混沌分岔及控制

王小斌，黃 劍，李貴杰

(蘭州交通大學(xué)數(shù)理學(xué)院，甘肅蘭州 730070)

建立了離心調(diào)速器系統(tǒng)的動力學(xué)方程，借助系統(tǒng)的相圖、分岔圖和Lyapunov指數(shù)圖分析了系統(tǒng)的混沌動力學(xué)形態(tài)．利用對系統(tǒng)分別施加周期參數(shù)強(qiáng)迫、周期激勵控制和x| x|控制的方法，通過適當(dāng)調(diào)整控制參數(shù)，將系統(tǒng)的混沌行為有效地控制到穩(wěn)定的周期軌道．運(yùn)用數(shù)值仿真驗(yàn)證了方法的有效性和可行性．

離心調(diào)速器；混沌；分岔；Lyapunov指數(shù)；相圖

自1990年OTT E. 等提出OGY方法[1]對混沌系統(tǒng)進(jìn)行控制以來，人們逐漸找到了控制混沌的有效方法，從而使混沌控制成為各學(xué)科領(lǐng)域普遍關(guān)注的學(xué)術(shù)熱點(diǎn)和前沿課題．目前，國內(nèi)外學(xué)者已提出了許多控制混沌的方法，這些方法從控制原理上可分為無反饋控制方法和反饋控制方法兩種．離心調(diào)速器在許多旋轉(zhuǎn)機(jī)械中起著重要作用，這類機(jī)械系統(tǒng)一旦受到外部干擾，系統(tǒng)的速度就會變化很大，若要改變這種動力學(xué)行為，就要避免系統(tǒng)產(chǎn)生混沌現(xiàn)象，很多學(xué)者也對其做了大量的研究[2-7]．本文主要討論了機(jī)械式離心調(diào)速器系統(tǒng)的分岔和混沌的形成過程，并利用三種無反饋方法[7-8]實(shí)現(xiàn)了對該系統(tǒng)混沌的控制，最后通過數(shù)值模擬，驗(yàn)證了這些方法的有效性和可行性．

1 力學(xué)模型

圖1為一類六角離心調(diào)速器系統(tǒng)的力學(xué)模型，其中，l 為桿長，m 為剛性球質(zhì)量，r 為旋轉(zhuǎn)軸到支撐點(diǎn)的距離，φ為旋轉(zhuǎn)軸與桿的夾角，ω為引擎角速度，η=nω為軸旋轉(zhuǎn)角速度，n 為比例系數(shù)，k 為彈簧的倔強(qiáng)系數(shù)，g 為重力加速度．忽略管和套管的質(zhì)量，并假設(shè)桿頭與剛性球連接處的粘性摩擦系數(shù)為c ，則系統(tǒng)的運(yùn)動方程為：

其中，J 為飛輪的轉(zhuǎn)動慣量，Q 為由于蒸汽或燃油作用而產(chǎn)生的力矩，QL為載荷作用產(chǎn)生的力矩，t 為時間．當(dāng)φ變化時，燃油的控制量也相應(yīng)改變，方程（2）可寫為如下形式：

2 混沌運(yùn)動

當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)d = 0.080，e = 0.800，p = 0.040，b = 0.400，F(xiàn) = 2.000時，選取系統(tǒng)參數(shù)q為分岔參數(shù)，采取四階 Runge-Kutta算法對系統(tǒng)（4）進(jìn)行數(shù)值仿真，步長根據(jù)目標(biāo)調(diào)整，系統(tǒng)（4）的分岔圖如圖2（a）所示．由圖2（a）可以看出，當(dāng)分岔參數(shù)q遞增時，系統(tǒng)呈現(xiàn)出復(fù)雜的動力學(xué)行為．系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)如圖2（b）所示，與系統(tǒng)的分岔圖完全吻合．其它參數(shù)不變，當(dāng)q∈(2,10)時，由圖2（a）可知，系統(tǒng)隨著q的不斷增大，首先發(fā)生Hopf分岔，接著進(jìn)入周期分岔，然后通過倍周期分岔進(jìn)入混沌，隨著q的繼續(xù)增大，系統(tǒng)又進(jìn)入周期運(yùn)動狀態(tài)．由此可知，系統(tǒng)存在復(fù)雜的動力學(xué)現(xiàn)象．

圖1 系統(tǒng)的力學(xué)模型

圖2 系統(tǒng) (4) 的分岔圖與Lyapunov指數(shù)圖

3 混沌的控制

為了改善動力學(xué)系統(tǒng)性能，避免混沌現(xiàn)象產(chǎn)生，利用以下方法實(shí)現(xiàn)離心調(diào)速器系統(tǒng)的混沌控制，將系統(tǒng)的混沌行為有效地控制到穩(wěn)定的周期軌道．

3.1周期參數(shù)強(qiáng)迫

式中，r和ω分別為激勵振幅和激勵頻率．為了方便控制，固定ω的值，當(dāng)ω=1.781時，不斷地改變參數(shù)r的值，使系統(tǒng)盡可能地被控制到周期軌道．圖3為當(dāng)r=0.75時系統(tǒng)被控制到周期一軌道的相圖．

圖3 施加周期參數(shù)強(qiáng)迫法控制后的系統(tǒng)相圖 (r = 0.75)

3.2 周期激勵控制

周期激勵法，通過給體系加入附加的周期激勵的方法來控制動力學(xué)體系的混沌態(tài)．在方程（4）的第3式右端加入周期激勵項(xiàng)，則受控系統(tǒng)為：

式中，r和ω分別為激勵振幅和激勵頻率．

研究表明，當(dāng)ω=5.56時，通過不斷改變參數(shù)r 的值，系統(tǒng)可以被控制到周期軌道．當(dāng)r=25.99時，系統(tǒng)被控制到穩(wěn)定的周期一軌道，如圖4（a）；當(dāng)r=21.28時，系統(tǒng)被控制到周期二軌道，見圖4（b）．

圖4 施加周期激勵法控制后的系統(tǒng)相圖

3.3 x| x|控制

圖5 施加x| x|控制后的系統(tǒng)相圖

4 結(jié) 語

本文根據(jù)拉格朗日方程建立了系統(tǒng)的動力學(xué)方程，通過理論研究和數(shù)值仿真的方法分析了非線性系統(tǒng)的動力學(xué)行為，用數(shù)值模擬的方法得到了系統(tǒng)的分岔圖和 Lyapunov指數(shù)圖，兩圖所表征的動力學(xué)行為完全吻合，通過相平面圖分析了非自治系統(tǒng)的周期和混沌運(yùn)動．文中采用的三種方法均能實(shí)現(xiàn)混沌的控制，其中周期參數(shù)強(qiáng)迫和周期激勵控制不含任何反饋機(jī)理，且不需要預(yù)先知道系統(tǒng)的行為；用周期擾動控制方法對受迫的非自治系統(tǒng)的混沌控制可以依據(jù)固有周期較容易地實(shí)現(xiàn)．但實(shí)際系統(tǒng)多數(shù)都是非線性的自治系統(tǒng)，并無固有周期，控制中通常需要確定控制的周期、幅值等多個參數(shù)，要實(shí)現(xiàn)快速穩(wěn)定的混沌控制很困難，還有待于進(jìn)一步研究．

[1] Ott E, Grebogi C, York J C. Controlling chaos [J]. Physical Review Letters, 1990, 64(11): 1196-1199.

[2] 常迎香, 褚衍東, 張建剛. 一類離心調(diào)速器的穩(wěn)定性及混沌控制[J]. 蘭州理工大學(xué)學(xué)報(bào), 2005, 31(2): 144-148.

[3] 周良強(qiáng), 陳予恕, 陳芳啟. 一類自治離心式調(diào)速器系統(tǒng)的Hopf分岔與混沌[J]. 機(jī)械強(qiáng)度, 2012, 34(2): 165-169.

[4] 茍向鋒, 羅冠煒. 機(jī)械式離心調(diào)速器系統(tǒng)的混沌及反饋控制[J]. 蘭州鐵道學(xué)院學(xué)報(bào), 2003, 22(3): 86-90.

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[6] 彭建奎, 俞建寧, 張建剛, 等. 一類非自治機(jī)械系統(tǒng)的混沌同步控制研究[J]. 機(jī)械強(qiáng)度, 2009, 31(5): 719-726.

[7] 張建剛, 褚衍東, 李險(xiǎn)峰, 等. 一類離心調(diào)速器系統(tǒng)的分岔與混沌特性[J]. 機(jī)械強(qiáng)度, 2008, 30(3): 362-367.

[8] 李賢麗, 李賢善, 趙逢達(dá). 非線性自治系統(tǒng)快速混沌控制方法[J]. 大慶石油學(xué)院學(xué)報(bào), 2004, 28(3): 109-126.

Chaos Bifurcation and Control of Centrifugal Governor System

WANG Xiaobin, HUANG Jian, LI Guijie
(School of Mathematics and Physics, Lanzhou Jiaotong University, Lanzhou, China 730070)

The dynamics equation is established, and by means of centrifugal governor system, bifurcation diagram and Lyapunov exponent diagram, the form of the chaotic dynamics system is analyzed. By the imposition on the system of the periodic parameter forcing, periodic excitation control andx| x|control, and through the appropriate adjustment of control parameters, the chaotic behavior of the system is effectively controlled to the stable periodic orbits. Numerical simulation is employed to verify the effectiveness and feasibility of the method.

Centrifugal Governor; Chaos; Bifurcation; Lyapunov Exponent; Phase Diagram

O322

A

1674-3563(2014)01-0046-06

10.3875/j.issn.1674-3563.2014.01.007 本文的PDF文件可以從xuebao.wzu.edu.cn獲得

(編輯：王一芳)

2013-05-27

王小斌(1985- )，男，甘肅秦安人，碩士研究生，研究方向：動力系統(tǒng)