喬克林，喬小寧，曹振江

(延安大學 數(shù)學與計算機科學學院，陜西 延安 716000)

經(jīng)典風險模型及其推廣模型的重要結果為保險公司穩(wěn)定經(jīng)營奠定了堅實的理論基礎，但隨著金融市場的不斷繁榮和發(fā)展，出現(xiàn)了保險公司在同一保險事故發(fā)生時可能面臨多個風險的情況，并且保險公司的大部分盈余來自于投資收入，所以討論有固定利率的多險種風險模型更能與保險公司的實際運作相符合。由于帶利率的風險模型難度比較大，因此目前對這類問題的研究還不夠深入。當理賠和保單的到達次數(shù)是一個Poisson過程的情形，文獻［1－5］中有比較系統(tǒng)的研究，主要使用更新方程和鞅的方法。但對于理賠和保單的到達次數(shù)是二項過程的情況研究較少。為了使得風險理論研究內(nèi)容和結果更加豐富多彩、更具有使用價值本文將對常利率下的復合二項雙險種模型的破產(chǎn)概率做進一步的研究。

1 模型引入

以下所涉及的隨機過程和隨機變量都定義在同一個完備的概率空間(Ω，F(xiàn)，P)上，考慮模型

假設:

3)當理賠發(fā)生時，以下三種理賠有且僅有一種可能發(fā)生:(1)只發(fā)生第一種險種的索賠:(2)只發(fā)生第二種險種的索賠:(3)兩種索賠都發(fā)生。

以上三種事件發(fā)生的概率分別為P1，P2，P3，顯然P1+P2+P3=1。

設第一種險種的索賠額Z1，服從分布函數(shù)H1(z)，均值為μ1;第二種險種的索賠額Z2，服從分布函數(shù)H2(z)，均值為μ2;則第三種事件的索賠額應服從分布函數(shù)H1*H2(z)，均值為 μ1+μ2，且Z1，Z2是相互獨立的。設Dj=Z1jδ1+Z2jδ2+(Z1j+Z2j)δ3為保險的第j次的理賠額，其中δk為0－1隨機變量，當δk=1時，表示第k種事件發(fā)生，而且對于每次索賠，有且僅有一個δk=1，它發(fā)生的概率為Pr(δk=1)=pk，k=1，2，3。Zij表示第i種險種在第j次索賠時的索賠額，且它們相互獨立，i=1，2。用D表示任意的Dj，由全概率公式可知D的分布函數(shù)為H(D)=p1H1(D)+p2H2(D)+p3H1*H2(D)，則

E［D］= μD=p1μ1+p2μ2+p3(μ1+ μ2);

5)存在r∞＞0，使得當r→r∞時，有

模型的實際背景:在保險公司的事務中，假定只在離散時間n進行至多一次賠付并且收取保費，在連續(xù)時間段(n－1，n］中進行的賠付以及收取的保費均視為在時刻n進行的。并且在時刻n=0時保險公司有初始資本u。

由于破產(chǎn)只可能發(fā)生在理賠時刻，記為:

則τδ為模型(1.1)的破產(chǎn)時刻;若將保險公司在第n次理賠或之前破產(chǎn)的概率記為:

則模型(1.1)在初始資本u下的破產(chǎn)概率為φδ(u)=P(T＜ ∞ |Uδ(0)=u);Ψδ(u)為模型(1.1)在初始資金為u下的生存概率，則有

2 主要結果

引理［6］對所有0 ＜S＜t，及整數(shù)m，n(m＜n)，用@表示分布相同，有

其中U(i)表示［0，t－s］上n－m個均勻分布的獨立隨機變量U1，U2，L，Un－m的第i個次序統(tǒng)計量，特別地，若令s=0，m=0，有

定理2.1 保險公司第n+1次賠付破產(chǎn)或之前破產(chǎn)概率為

證明 假設第一次索賠導致破產(chǎn)，由定義可得

假設第n+1次索賠或之前導致破產(chǎn)，由定義可得

推論2.1 保險公司的破產(chǎn)概率為

證明:定理2.1中的n→∞時即證。

推論2.2 保險公司的生存概率為

且Ψδ(u)滿足如下積分方程:

證明 顯然(2.4)式成立;下證(2.5)式成立，由推論2.1及(2.4)式有

綜上所述，保險公司的生存概率滿足上述積分方程式(2.5)。證畢。

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