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利用Chebyshev小波解Fredholm-Volterra積分方程

2014-05-30 03:56邢紅娟曲小鋼
關鍵詞:階數正整數小波

邢紅娟,曲小鋼

(西安建筑科技大學 理學院,陜西 西安 710055)

1 Chebyshev小波

式中 φm,n(x)=2m/2φ(2mx-n),m,n∈z,m為尺度值,n為平移量。

平移和伸縮的小波函數可以構成函數基或函數框架,足夠多的平移和伸縮的小波函數加權和能夠有效地逼近能量有限的函數。

Chebyshev小波函數 φn,m(t)= φ(k,n,m,t),含有4 個變量,t為時間,n=1,2,…,2k-1,k為任意的正整數,m為第一類Chebyshev多項式的階數,區(qū)間[0,1)上的Chebyshev小波定義為

小波函數[1-2]在時域和頻域[3]均具有較強的局部性,可以構成具有多分辨率特征的函數空間序列,任意函數f(x)都可以被分解為平移和伸縮的小波函數φ(x)的線性和,即:

Tm(t)為階數為m的Chebyshev多項式,存在權值函數 ω(t)=1/(1 -t2)1/2,t∈(-1,1),使 Chebyshev多項式正交。

對于Chebyshev小波,權值函數ω(t)變?yōu)?/p>

ωn(t)=ω(2kt-2n+1)。

2 Fredholm-Volterra積分方程的矩陣化

這里y(x)是未知函數,函數g(x),Pi(x,t),Qj(x,t)是定義在區(qū)間 0≤x,t≤1 上的,且pij,qij,rij,λ1,λ2,μi是常量。

上述關系的y(x)可以用Chebyshev多項式形式表示,即

這里(x)=Tr(2x-1),ar,0≤r≤N是未知的Chebyshev系數,N是任意的正整數m≤N,Tr(x)為階數為r的第一類Chebyshev多項式,這里Chebyshev配置點[4]定義為

(4)式可以用以下矩陣形式表達,即

2.1 將Fredholm積分部分用矩陣表示法表示

將Chebyshev配置點代入(7)式得到I(x1)的矩陣關系,對于每個xs,P0(x,t),P1(x,t)以如下形式擴展成Chebyshev基數

這時Pi(xs,t)的矩陣表達形式變?yōu)?/p>

另外,函數y2(t)能以矩陣形式寫出

B中的元素由以下關系給出

又由(6),(8),(9)得

2.2 將Volterra積分部分用矩陣表達

將(6),(10),(12)代到(3)有

在本文,Chebyshev小波配置點法運用在積分方程中,解決Fredholm積分部分比解決Volterra積分部分更容易些,這個方法的一個優(yōu)勢是運用截斷的Chebyshev小波系數,這樣y(x)可以由任意的數值所表達,從而使計算簡化。

[1]樊啟斌.小波分析[M].武漢:武漢大學出版社,2008.

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