王 飛，周培桂，馬曉艷

（1.浙江機(jī)電職業(yè)技術(shù)學(xué)院，杭州310053；2.浙江理工大學(xué)，a.科技與藝術(shù)學(xué)院；b.理學(xué)院，杭州310018）

Γ-函數(shù)的幾個性質(zhì)及其應(yīng)用

王 飛1，周培桂2a，馬曉艷2b

（1.浙江機(jī)電職業(yè)技術(shù)學(xué)院，杭州310053；2.浙江理工大學(xué)，a.科技與藝術(shù)學(xué)院；b.理學(xué)院，杭州310018）

運(yùn)用單調(diào)性l’Hospital法則獲得了Γ-函數(shù)的一些單調(diào)性質(zhì)，根據(jù)這些性質(zhì)主要獲得運(yùn)用幾何凸性準(zhǔn)則解決了Γ-函數(shù)的一個猜測，利用等價轉(zhuǎn)化方法改進(jìn)了擬共形映射中常數(shù)Bn的精確估計。

精確估計；Γ-函數(shù)；單調(diào)性；擬共形映射；幾何凸性

0 引 言

對于正實(shí)數(shù)x和y，Γ-函數(shù)、B-函數(shù)以及ψ-函數(shù)分別定義為：

眾所周知，在經(jīng)典的特殊函數(shù)、擬共形映射理論中，經(jīng)常出現(xiàn)如下定義的“常數(shù)”［3-4］：

上述定義“常數(shù)”bn、Bn、Jn的許多不等式對特殊函數(shù)界的估計有很重要作用［4］，同時在數(shù)學(xué)的很多領(lǐng)域有著廣泛應(yīng)用，如格拉斯曼流形的幾何子空間［5］、優(yōu)化理論［6］、幾何函數(shù)論［7-9］。

在過去的半個世紀(jì)里，Γ-函數(shù)和B-函數(shù)出現(xiàn)在數(shù)學(xué)的概率論、幾何、分析等許多領(lǐng)域中，是表達(dá)某些重要量的便利工具，在數(shù)學(xué)、物理和工程技術(shù)中有著廣泛且重要的應(yīng)用［2-3，10-13］。因此，研究Γ-函數(shù)、ψ-函數(shù)、B-函數(shù)的性質(zhì)既具有理論意義，又具有應(yīng)用價值。

近年來，多位學(xué)者研究了關(guān)于上述函數(shù)的許多性質(zhì)以及不等式［3-4，8-14］。在文獻(xiàn)［10］的TheoremA及Theorem1.17（4）中，作者得到并改進(jìn)了一系列不等式。如對n≥2，

當(dāng)且僅當(dāng)n=2時等號成立。

在文獻(xiàn)［15］中，作者提出了如下猜測：對x＞0，令

則F（x）為幾何下凸函數(shù)。

本文的目的是通過研究Γ-函數(shù)的一些單調(diào)性質(zhì)，應(yīng)用幾何凸性準(zhǔn)則給出（3）有關(guān)Γ-函數(shù)猜測的完整結(jié)論。此外，利用等價轉(zhuǎn)化方法改進(jìn)擬共形映射中常數(shù)Bn的精確估計。

在本文中，我們獲得了如下主要結(jié)果。

定理1對a∈（0，1），C1=1/Γ（a），函數(shù)

在（0，∞）到（0，∞）上嚴(yán)格遞減。

定理2對a∈（0，1），C2=［ψ′（1）-ψ′（a）］/2及C3=e-γ-ψ（a），函數(shù)

在（0，∞）到（0，-C2C3）上嚴(yán)格遞減。特別地，對a∈（0，1）及x∈（0，∞），雙向不等式

成立。

則存在唯一的x0∈（0.103，0.104），使得函數(shù)F（x）在（0，x0）上是幾何上凸的，而在（x0，∞）上是幾何下凸的。其中x0是方程xψ′（x）+ψ（x）-logx-2=0的唯一正根。

1 引 理

在本文中，為了證明結(jié)論和引用方便，我們需要下面的公式及幾個引理，具體內(nèi)容如下所述。

下面熟知的ψ函數(shù)公式［3］：

其中x∈R+，γ為Euler常數(shù)。

如下的引理1.1參見文獻(xiàn)［4］Theorem 1.25，引理1.2（1）參見文獻(xiàn)［16］，引理1.2（2）參見文獻(xiàn)［3］，引理1.2（3）參見文獻(xiàn)［13］lemma 2.2。

引理1.1對-∞＜a＜b＜+∞，設(shè)f和g是兩個實(shí)值函數(shù)，并都在［a，b］上連續(xù)，在（a，b）上可微且在（a，b）上g′（x）≠0，如果f′/g′在（a，b）上單調(diào)上升（下降），那么函數(shù)也在（a，b）上單調(diào)上升（下降）。而且，若f′/g′的單調(diào)性是嚴(yán)格的，則F和G的單調(diào)性也是嚴(yán)格的。

（2）當(dāng)x→∞時，且x為正實(shí)數(shù)，那么

其中B2n為Bernoulli數(shù)。

（3）對x∈（0，∞），

證明對g1（x）對數(shù)求導(dǎo)得

g′1（x）/g1（x）=g2（x）=ψ（x）-ψ（x+a）。由（6）知ψ（x）是嚴(yán)格遞增的，則g2（x）＜0。因此，g1（x）的單調(diào)性可證。

證明對數(shù)求導(dǎo)得

g′3（x）/g3（x）=g4（x）=ψ（x+1）-ψ（x+a）。由式（1）、（6）知g4（x）＞0，可得g3（x）的單調(diào)性。由式（1）及引理1.3可得g3（x）的極限值。

引理1.5對a∈（0，1），C1=1/Γ（a）及C2=［ψ′（1）-ψ′（a）］/2，函數(shù)

從（0，∞）到（C2，0）上嚴(yán)格遞增。

證明令h2（x）=x［ψ（x+1）-ψ（x+a）］-由（6）知，ψ″（x）在（0，∞）上嚴(yán)格遞增，故h′4（x）＞0。因此，根據(jù)引理1.1知，h1在（0，∞）上嚴(yán)格遞增。

由l’Hospital法則和（5）可得

和

證明 對數(shù)求導(dǎo)得

h′5（x）=h5（x）h1（x）=-｛h5（x）［-h1（x）］｝其中h1（x）由引理1.5定義。由引理1.5可知，h′5（x）＜0，故得h5（x）的單調(diào)性。由引理1.5得知，h′5在（0，∞）上嚴(yán)格遞增，h5（x）的凹凸性可證。

由l’Hospital法則及式（5）、（7）可知

和

2 主要結(jié)果的證明

在本節(jié)中，將證明本文中的主要結(jié)果，同時也將證明擬共形映射中的一個“常數(shù)”Bn的結(jié)論，進(jìn)而得到其滿足的精確不等式。

定理1的證明令g5（x）=Γ（x+1）/Γ（x+a）-C1，g6（x）=x2。則g5（0）=g6（0）=0，G（x）=g5（x）/g6（x），且

其中g(shù)1（x）和g4（x）分別由引理1.3和引理1.4的證明中定義。從引理1.3、引理1.4、（8）可知：g1（x）和g4（x）在（0，∞）上是嚴(yán)格遞減的正函數(shù)。由引理1.1可得G（x）的單調(diào)性。

定理2的證明令h6（x）=C4-［Γ（x+1）/（C1Γ（x+a））］1/x和h7（x）=x，則h6（0）=h7（0）= 0，H（x）=h6（x）/h7（x），且

由引理1.5、1.6知，h8（x）在（0，∞）上嚴(yán)格遞減。根據(jù)引理1.1，易得H（x）的單調(diào)性。

運(yùn)用l’Hospital法則及引理1.5、1.6，函數(shù)H（x）極限分別為

和

顯然，雙向不等式（4）成立。

定理3的證明對數(shù)求導(dǎo)得

根據(jù)引理1.2（3）可知，f′1（x）＜0，故f1（x）在（0，∞）上嚴(yán)格遞減。

根據(jù)引理1.2（2）和等（5）、（6）、（7），函數(shù)f1（x）的極限值分別為

和

根據(jù)f1（x）的單調(diào)性知：存在唯一的x0∈（0，∞），使得函數(shù)f1（x）在（0，x0）上為正，而在（x0，∞）上為負(fù)。此處，x0為f1（x）=0即xψ′（x）+ψ（x）-log x-2=0的唯一正根。由于f1（0.103）=0.006 19…，f1（0.104）=-0.006 37…，故x0∈（0.103，0.104）。

推論2.1函數(shù)H1（n）=2（4-）（n-1）關(guān)于n在（1，∞）上嚴(yán)格遞增。特別地，對n≥2，有

等號成立當(dāng)且僅當(dāng)n=2。其中α1=π2/12和β1=1 -π2/16為最佳常數(shù)。

證明 令x=1/［2（n-1）］，則當(dāng)a=1/2時，函數(shù)

其中H（x）見定理2。由定理2得H1（n）的單調(diào)性。

其次，取a=1/2，由（7）知C3=4，C2=［ψ′（1）-ψ′（1/2）］/2=-ζ（2）=-π2/6，這里ζ（x）是Riemannζ函數(shù)。故

顯然，雙向不等式（9）成立。

注：（1）因Bn與bn、Jn均相關(guān)，由上面的結(jié)論也可以得到bn和Jn相應(yīng)的結(jié)果。

（2）不等式（9）改進(jìn)了文中不等式（2）的上下界。

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Some Properties of Gamma Function and Its AppIications

WANG Fei1，ZHOU Pei-gui2a，MA Xiao-yan2b
（1.Zhejiang Institute of Mechanical and Electrical Engineering，Hangzhou 310053，China；2.Zhejiang Sci-Tech University，a.College of Science and Art；b.School of Science，Hangzhou 310018，China）

In this paper，some monotonicity properties of Gamma function are obtained by monotony L’Hospital Rule.A conjecture of Gamma function is solved by applying the rule of geometric convexity according to these properties.Precise estimate of the constant Bnin quasiconformal mapping is improved by using the method of equivalent transformation.

precise estimate；Γ-function；monotonicity；quasiconformal mapping；geometric convexity

O174

A

（責(zé)任編輯：康 鋒）

1673-3851（2014）05-0576-04

2014-03-05

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（11171307）；浙江省教育廳科研項(xiàng)目基金（Y201328799）；浙江機(jī)電職業(yè)技術(shù)學(xué)院科研項(xiàng)目（A027114018）

王 飛（1985-），男，陜西渭南人，碩士，助教，主要從事Ramanujan模方程及特殊函數(shù)研究。