陳秀紅，黃土森

（浙江理工大學(xué)理學(xué)院，杭州310018）

關(guān)于平面解析系統(tǒng)的擬齊次分解

陳秀紅，黃土森

（浙江理工大學(xué)理學(xué)院，杭州310018）

通過解析函數(shù)的擬齊次分解與牛頓圖，研究了平面解析系統(tǒng)的擬齊次分解問題。給出了擬齊次向量場(chǎng)空間的維數(shù)及平面解析系統(tǒng)的擬齊次分解定理，并用實(shí)例給出平面多項(xiàng)式系統(tǒng)擬齊次分解的具體算法。這些結(jié)果推廣了平面解析系統(tǒng)的擬齊次分解中的有關(guān)結(jié)論，對(duì)研究平面高次奇點(diǎn)性態(tài)具有參考價(jià)值。

擬齊次多項(xiàng)式；牛頓圖；擬齊次多項(xiàng)式向量場(chǎng)；擬齊次分解

0 引 言

在許多應(yīng)用學(xué)科中經(jīng)常需要研究非線性常微分方程。平面系統(tǒng)

的定性理論主要是根據(jù)方程本身研究相平面中軌線的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)或定性結(jié)構(gòu)［1-2］。因?yàn)樵谙到y(tǒng)的常點(diǎn)附近的軌線結(jié)構(gòu)是平凡的，即可平行化的，所以研究平面系統(tǒng)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)或定性結(jié)構(gòu)的難點(diǎn)是研究奇點(diǎn)的局部軌線結(jié)構(gòu)。現(xiàn)在通常把在奇點(diǎn)附近是否可以定義Poincaré返回映射的問題稱為單值性問題，且這個(gè)問題一直是研究奇點(diǎn)局部軌線結(jié)構(gòu)的經(jīng)典問題。如果在奇點(diǎn)附近可以定義Poincaré返回映射，則稱這樣的奇點(diǎn)為單值奇點(diǎn)，并且對(duì)解析系統(tǒng)（即系統(tǒng)（1）中的X（x，y）與Y（x，y）均為解析函數(shù)）而言，這樣的奇點(diǎn)只能是中心或焦點(diǎn)［3］。一旦確定奇點(diǎn)是單值的，則另外一個(gè)經(jīng)典的問題是尋找條件以決定該單值奇點(diǎn)到底是中心還是焦點(diǎn)，即確定圍繞單值奇點(diǎn)的所有軌線何時(shí)都是封閉的（至少在奇點(diǎn)的某個(gè)鄰域如此）。這個(gè)問題稱為Poincaré中心-焦點(diǎn)問題或穩(wěn)定性問題［4］。

當(dāng)奇點(diǎn)的線性化矩陣不恒等于零時(shí)，奇點(diǎn)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)基本上已經(jīng)得到解決［3］。當(dāng)奇點(diǎn)的線性化矩陣恒等于零（這樣的奇點(diǎn)通常稱為退化奇點(diǎn)）時(shí)，奇點(diǎn)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)遠(yuǎn)未解決［5］。目前國內(nèi)外文獻(xiàn)中研究這類問題的有效方法之一是使用blow-up技巧，即先對(duì)式（1）中X（x，y）與Y（x，y）在奇點(diǎn)進(jìn)行齊次分解，然后作一系列的齊次blow-up變量變換，以便最終把奇點(diǎn)分解成為初等奇點(diǎn)（即系統(tǒng)（1）在奇點(diǎn)的線性化矩陣至少有一個(gè)特征值非零），然后再研究其拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)或定性結(jié)構(gòu)。Dumortier［6］證明了任何平面解析系統(tǒng)，更一般地，對(duì)于滿足Lojasiewicz不等式的系統(tǒng)，總可以經(jīng)過有限多次齊次blow-up變量變換，把退化奇點(diǎn)分解成為初等奇點(diǎn)，并由此研究奇點(diǎn)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)或定性結(jié)構(gòu)。然而，當(dāng)系統(tǒng)的奇點(diǎn)的亞次數(shù)（即式（1）中X（x，y）與Y（x，y）在奇點(diǎn)Taylor展開式中的最低次數(shù)的最小值）比較大時(shí)，需要經(jīng)過多次的blow-up變量變換，計(jì)算過程十分冗長。為了簡化計(jì)算，Algaba等［4-5，7］利用牛頓圖先對(duì)X（x，y）與Y（x，y）進(jìn)行擬齊次分解，然后再做擬齊次blow-up變量變換，以便最終把奇點(diǎn)分解成為初等奇點(diǎn)。另外，在平面系統(tǒng)的可積性的分析中研究系統(tǒng)的擬齊次分解也是有意義的［5］。因此，在平面定性分析中擬齊次性的研究雖然在理論上與計(jì)算上類似于齊次性，但從動(dòng)力學(xué)上來講更有研究意義。

杜飛飛等［8］主要研究了牛頓圖與擬齊次多項(xiàng)式的基本性質(zhì)，并給出擬齊次多項(xiàng)式系統(tǒng)單值奇點(diǎn)是否是中心或者是焦點(diǎn)的充要條件；García等［9］研究了擬齊次多項(xiàng)式微分系統(tǒng)，并給出次數(shù)分別為2與3的所有擬齊次向量場(chǎng)的算法。本文通過解析函數(shù)的擬齊次分解與牛頓圖，研究平面解析系統(tǒng)的擬齊次分解問題，給出擬齊次向量場(chǎng)空間的維數(shù)及平面解析系統(tǒng)的擬齊次分解定理，并用實(shí)例給出平面多項(xiàng)式系統(tǒng)擬齊次分解的具體算法。這些結(jié)果推廣了文獻(xiàn)［2，8］中的相應(yīng)結(jié)論，對(duì)研究平面高次奇點(diǎn)性態(tài)具有重要意義。

1 解析函數(shù)的擬齊次分解

定義1.1［5］設(shè)

記t=（t1，t2）型k次擬齊次多項(xiàng)式構(gòu)成的集合為。當(dāng)t=（t1，t2）及k固定時(shí)，在通常的加法與數(shù)乘的意義下是一個(gè)線性空間。

引理1.2令t=（t1，t2）給定，則對(duì)任意的k∈Z+，存在唯一的一組k1，k2，k3和r∈Z+，使得k= k1t1+k2t2+k3t1t2+r，并滿足k1＜t2，k2＜t1，0≤r＜min｛t1，t2｝。

證明因?yàn)閗與t1∈Z+，所以存在與s∈Z+使得k=+s，滿足0≤s＜t1，存在ˉk2與r∈Z+使得s=+r，滿足0≤r＜min｛t1，t2｝。同理，存在與k1∈Z+使得=+k1，滿足0≤k1＜t2；存在與k2∈Z+使得=t1+k2，滿足0≤k2＜t1。于是

滿足引理要求，其中k3=+。這證明了存在性。

從而

因?yàn)閠1與t2互素，所以k1-=0，從而

因?yàn)?≤k2，＜t1，所以k2-=0，故-=0。

為了討論解析函數(shù)的擬齊次分解，引進(jìn)記號(hào)

下面的引理在文獻(xiàn)［4］中給出，但沒有給出完整的證明。

引理1.3令t=（t1，t2）和k∈Z+給定，

（1）如果k?It，則=｛0｝；

（2）如果k∈It并且 k=k1t1+k2t2+k3t1t2，則

證明由引理1.2知，存在唯一的一組k1，k2，k3和r∈Z+，使得

并滿足k1＜t2，k2＜t1，0≤r＜min｛t1，t2｝。

（1）因?yàn)閗?It，所以1≤r＜min｛t1，t2｝。顯然，零單項(xiàng)式0∈。如果單項(xiàng)式xmyn∈，由定義，mt1+nt2=k。因?yàn)閷?duì)m，t2，存在唯一的，∈Z+使得m=+，且0≤＜t2；對(duì)n，t1，存在唯一的∈Z+使得n=+，且0≤＜t1。于是

這與1≤r＜min｛t1，t2｝和分解的唯一性矛盾，故=｛0｝。

（2）因?yàn)閗=k1t1+k2t2+k3t1t2，又由上面的證明可知，如果單項(xiàng)式xmyn∈，則存在，使得m=+，n=+，且

故

于是

推論1.4固定的t=（t1，t2），如果k∈It并且k=k1t1+k2t2+k3t1t2，則

推論1.5令t=（t1，t2）給定，對(duì)任意單項(xiàng)式xmyn，取k=mt1+nt2，則xmyn∈。

使得

并且這樣的分解式是由t=（t1，t2）所唯一確定的。

證明由推論1.5及是線性空間立即得到。不過有可能對(duì)某些k使得（x，y）是零多項(xiàng)式。

2 解析向量場(chǎng)的擬齊次分解

給定平面解析系統(tǒng)

設(shè)（0，0）是（2）的奇點(diǎn)，即X（0，0）=Y（0，0）=0，所以在奇點(diǎn)的某個(gè)鄰域內(nèi)可以把X（x，y）和Y（x，y）分別展開成

解析系統(tǒng)（2）所對(duì)應(yīng)的向量場(chǎng)記為F（x，y）=（X（x，y），Y（x，y））T，通常也表示為定義在連續(xù)可微函數(shù)類C1上的一個(gè)微分算子［5］

解析系統(tǒng)（2）的支撐集M是集合

M中的點(diǎn)（i，j）稱為（2）的支撐點(diǎn)，向量（aij，bij）稱為支撐點(diǎn)（i，j）的系數(shù)向量。系統(tǒng)（2）的牛頓多邊形是集合（i，j∪）∈M（（i，j）+）的凸包Γ，其中=｛（x，y）｜x≥0，y≥0｝。Γ的邊界由兩條射線和一條折線（這條折線可能退化為一點(diǎn)）組成，折線連通不在坐標(biāo)軸上的射線稱為系統(tǒng)（2）的牛頓圖。牛頓圖中的射線或折線上的線段，叫做牛頓圖的邊（折線上的線段也稱為有界邊或緊致邊），它們的端點(diǎn)叫做牛頓圖的頂點(diǎn)。顯然，牛頓圖中的頂點(diǎn)必為支撐集M中的點(diǎn)，反之不然。設(shè)l是系統(tǒng)（2）的牛頓圖的一條有界邊，則它的指數(shù)αl定義為l與縱坐標(biāo)所夾的銳角的正切值。設(shè)l的兩個(gè)端點(diǎn)分別為（i1，j1）和（i2，j2），因?yàn)閘是有界邊，所以可設(shè)i1＜i2，j1＞j2，于是αl=，其中，t1與t2是互素的正整數(shù)，數(shù)對(duì)t=（t1，t2）稱為邊l的類型。在上面一節(jié)的最后，我們注意到在研究解析系統(tǒng)奇點(diǎn)的性態(tài)時(shí)，只有那些對(duì)應(yīng)于牛頓邊的類型的擬齊次分解才是有意義的。為此先給出擬齊次多項(xiàng)式向量場(chǎng)的概念。

定義2.1［5］設(shè)

是一個(gè)多項(xiàng)式向量場(chǎng)（即P（x，y）與Q（x，y）都是多項(xiàng)式），稱F是t=（t1，t2）型k次擬齊次多項(xiàng)式向量場(chǎng)，如果P（x，y）∈且Q（x，y）∈。

記t=（t1，t2）型k次擬齊次多項(xiàng)式向量場(chǎng)構(gòu)成的集合為。當(dāng)t=（t1，t2）及k固定時(shí)，在通常的加法與數(shù)乘的意義下是一個(gè)線性空間。為了把引理1.3推廣到擬齊次向量場(chǎng)情形，首先注意到t=（t1，t2）型k次擬齊次多項(xiàng)式向量場(chǎng)是由一些t=（t1，t2）型k次擬齊次單項(xiàng)式向量場(chǎng)（xmyn，0）T與的線性組合而成的，進(jìn)一步，如果xiyj-1∈，則xi-1yj∈并且（i-1）t1+（j-1）t2= k。下面的定理總結(jié)了上面的結(jié)果。

定理2.2對(duì)于解析系統(tǒng)（2），設(shè)t=（t1，t2）是它的一條牛頓邊的類型，k∈Z+，

（1）如果k?It，則=｛0｝。

（2）如果k∈It并且k=k1t1+k2t2+k3t1t2，則=span｛（xk1+1+t2（k3-j）yk2+t1j，0）T，（0，xk1+t2（k3-j）yk2+1+t1j）T｜j=0，1，…，k3｝。

推論2.3對(duì)于解析系統(tǒng)（2）的一條牛頓邊的類型t=（t1，t2），如果k∈It并且k=k1t1+k2t2+k3t1t2，則dim=2（k3+1）。

定理2.4對(duì)于解析系統(tǒng)（2），設(shè)t=（t1，t2）是它的一條牛頓邊的類型，則存在

或?qū)懗上蛄啃问?/p>

證明可由定理2.2立即得到。

3 例 子

下面通過一些實(shí)例來驗(yàn)證本文所給出的方法是有效的。

例3.1考慮多項(xiàng)式系統(tǒng)

因?yàn)閥=x0y2-1，x2+xy=x3-1y0+x2-1y1，從而M=｛（0，2），（3，0），（2，1）｝，所以該系統(tǒng)的牛頓圖的有界邊僅由一條連接（0，2）與（3，0）的線段組成，并且對(duì)應(yīng)于該有界邊的類型為t=（2，3）。于是式（4）可分解為

由于式（4）只有一條牛頓邊，所以對(duì)分析奇點(diǎn)性態(tài)有意義的擬齊次分解也是唯一的。

例3.2考慮在文獻(xiàn)［10］中出現(xiàn)的多項(xiàng)式系統(tǒng)

因?yàn)镸=｛（4，3），（3，4），（2，5），（0，11），（11，0）｝，所以該系統(tǒng)的牛頓圖的有三條有界邊：連接（0，11）與（2，5）的線段l1，連接（2，5）與（4，3）的線段l2，連接（4，3）與（11，0）的線段l3，從而對(duì)分析奇點(diǎn)性態(tài)有意義的擬齊次分解有三種。下面分別根據(jù)牛頓邊進(jìn)行擬齊次分解。

對(duì)l1，因?yàn)槠漕愋蜑閠1=（3，1），于是式（5）可分解為

對(duì)l2，因?yàn)槠漕愋蜑閠2=（1，1），于是式（5）可分解為

［1］Andronov A A，Leontovich E A，Gordon I I，et al. Qualitative Theory of Second-Order Dynamic Systems［M］.Jerusalem：Israel Program for Scientific Translations，1973.

［2］張芷芬，丁同仁，黃文灶，等.微分方程定性理論［M］.北京：科學(xué)出版社，1985.

［3］Dumortier F，Llibre J，Artes JC.Qualitative Theory of Planar Differential Systems［M］.Berlin：Springer-Verlag，2006.

［4］Algaba A，F(xiàn)reire E，Gamero E，et al.Monodromy，center-focus and integrability problems for quasi-homogeneous polynomial systems［J］.Nonlinear Analysis，2010，71：1726-1736.

［5］Algaba A，García C，Reyes M.Characterization of a monodromic singular point of a planar vector field［J］. Nonlinear Analysis，2011，74（3/4）：5402-5414.

［6］Dumortier F.Singularities of vector fields in the plane［J］.Journal of Differential Equations，1977，23：53-106.

［7］Algaba A，F(xiàn)uentes N，García C.Centers of quasi-homogeneous polynomial planar systems［J］.Nonlinear A-nalysis：Real World Applications，2012，13：419-431.

［8］杜飛飛，黃土森.牛頓圖的性質(zhì)與擬齊次多項(xiàng)式系統(tǒng)的中心問題［J］.浙江理工大學(xué)學(xué)報(bào)，2013，30（1）：101-105.

［9］García B，Jaume Llibre J，Río JSP.Planar quasi-homogeneous polynomial differential systems and their integrability［J］.Journal of Differential Equations，2013，255：3185-3204.

［10］Pelletier M.éclatements quasi homogeneous［J］.Ann Fac Sci Toulouse，1995，4：879-937.

On the Quasi-Homogeneous Decomposition of PIanar AnaIytic System

CHEN Xiu-hong，HUANG Tu-sen
（School of Science，Zhejiang Sci-Tech University，Hangzhou 310018，China）

In this paper，the quasi-homogeneous decomposition of planar analytic system is studied through the quasi-homogeneous decomposition of the analytic function and Newton diagram.The dimension of the quasi-homogeneous vector field space and quasi-homogeneous decomposition theorem of the planar analytic system are given.Besides，the specific algorithm of quasi-homogeneous decomposition of planar polynomial system is given with examples.These results generalize relevant conclusions in associating references，and are helpful to study the qualitative properties of quasi-homogeneous decomposition of planar polynomial system and have reference value for studying higher-order singular point.

quasi-homogeneous polynomial；Newton diagram；quasi-homogeneous polynomial vector field；quasi-homogeneous decomposition

O175.14

A

（責(zé)任編輯：康 鋒）

1673-3851（2014）05-0546-04

2014-01-08

國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目（10871181，11101370）

陳秀紅（1988-），女，山東菏澤人，碩士研究生，主要從事微分方程定性理論研究。