韓曉影，李瑞娟，張新鴻

(1.山西大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,太原 030006；2.太原科技大學(xué) 應(yīng)用科學(xué)學(xué)院，太原 030024)

本文中涉及到的有向圖是無(wú)環(huán)、無(wú)多重弧的簡(jiǎn)單有向圖。

雙極模糊集[3]是模糊集[4]的推廣，它的隸屬度為[-1,1].在雙極模糊集中，一個(gè)元素的隸屬度為0表示該元素與對(duì)應(yīng)性質(zhì)不相干，元素的隸屬度為[0,1]表示該元素滿足性質(zhì)的程度，隸屬度為[-1，0]表示該元素滿足相反性質(zhì)的程度。在許多領(lǐng)域中，運(yùn)用雙極信息是很常見(jiàn)的，其中正面信息被認(rèn)為是可能的，而負(fù)面信息被認(rèn)為是不可能的。例如當(dāng)評(píng)估應(yīng)聘者是否適合某職位時(shí)，正面信息表示應(yīng)聘者適合該職位的程度，而負(fù)面信息表示應(yīng)聘者不適合該職位的程度。從而引出了雙極模糊圖[5]。

中智集[6]是模糊集和直覺(jué)模糊集[7]的推廣，它通過(guò)真實(shí)隸屬函數(shù)、不確定隸屬函數(shù)和失真隸屬函數(shù)這三個(gè)函數(shù)定義。由于某些工程和科學(xué)問(wèn)題非常復(fù)雜，1998年Smarandache提出了單值中智集[8]的概念。Ye提出了單值中智圖[9]的概念。將雙極模糊集和中智集結(jié)合在一起得到了雙極單值中智集[10]。2018年Delietal提出了雙極單值中智有向圖[11]、雙極單值中智競(jìng)爭(zhēng)圖、m-步雙極單值中智經(jīng)濟(jì)競(jìng)爭(zhēng)圖等概念。由于現(xiàn)實(shí)中存在不同步的競(jìng)爭(zhēng)關(guān)系，因此對(duì)(i,k)-步雙極單值中智競(jìng)爭(zhēng)圖的研究是有必要的。模糊圖的應(yīng)用非常廣泛，例如工程學(xué)[12]，醫(yī)學(xué)，人工智能等。在本文第四部分將舉例(i,k)-步雙極單值中智競(jìng)爭(zhēng)圖在市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)中的應(yīng)用。

1 準(zhǔn)備工作

在本文中用x∧y表示min{x,y}，用x∨y表示max{x,y}.

定義5雙極單值中智有向圖為D=(A,B)，其中A為頂點(diǎn)集X上的雙極單值中智集，B為頂點(diǎn)集X上的雙極單值中智關(guān)系，且對(duì)所有u,v∈X有：

定義9雙極單值中智有向圖D=(A,B)中的雙極單值中智競(jìng)爭(zhēng)圖為(D)=(A,R)，其中雙極單值中智頂點(diǎn)集與D的雙極單值中智頂點(diǎn)集相同，在(D)中有(u,v)邊當(dāng)且僅當(dāng)N+(u)∩N+(v)是D中一個(gè)非空雙極單值中智集，(D)中邊(u,v)的正真實(shí)隸屬值、正不確定隸屬值、正失真隸屬值和負(fù)真實(shí)隸屬值、負(fù)不確定隸屬值、負(fù)失真隸屬值分別為：

由m-步雙極單值中智經(jīng)濟(jì)競(jìng)爭(zhēng)圖的定義，類似可得出m-步雙極單值中智競(jìng)爭(zhēng)圖的定義。

2 (i,k)-步雙極單值中智競(jìng)爭(zhēng)圖

(N+(u)∩N+(v))，

(N+(u)∩N+(v))，

(N+(u)∩N+(v))，

(N+(u)∩N+(v))，

(N+(u)∩N+(v))，

(N+(u)∩N+(v)).

例1設(shè)D=(A,B)是雙極單值中智有向圖，如圖1所示。

圖1 雙極單值中智有向圖D

故D的(2,3)-步雙極單值中智競(jìng)爭(zhēng)圖2,3(D)如圖2所示。

圖2 (2,3)-步雙極單值中智競(jìng)爭(zhēng)圖2,3(D)

定理1設(shè)D=(A,B)是一個(gè)雙極單值中智有向圖，如果

只包含一個(gè)元素，則i,k(D)中的(u,v)邊是獨(dú)立強(qiáng)的當(dāng)且僅當(dāng)：

從而：

要使Ci,k(D)中的(u,v)邊是獨(dú)立強(qiáng)的當(dāng)且僅當(dāng)lP>0.5，mP>0.5，nP<0.5，lN<0.5，mN<0.5，nN>0.5，即:

定理2設(shè)D=(A,B)是一個(gè)雙極單值中智有向圖，如果i>|D|或k>|D|，則D的(i,k)-步雙極單值中智競(jìng)爭(zhēng)圖i,k(D)中沒(méi)有邊。

因此Ci,k(D)中沒(méi)有邊。

下面介紹(i,k)-步雙極單值中智有向圖的競(jìng)爭(zhēng)圖與(i,k)-步雙極單值中智競(jìng)爭(zhēng)圖之間的關(guān)系。

定理3若D=(A,B)是雙極單值中智有向圖，Di,k=(A,B′)是D的(i,k)-步雙極單值中智有向圖，則CC(Di,k)=Ci,k(D).

故在Ci,k(D)中有

從而:

因此證明了CC(Di,k)中的每條邊在Ci,k(D)中都存在。同樣Ci,k(D)中的每條邊在CC(Di,k)中也都存在，因此CC(Di,k)=Ci,k(D).

3 應(yīng)用

下面給出具體的例子。供銷商a,b,c,d,e和它們之間的貨運(yùn)關(guān)系的正真實(shí)隸屬值、正不確定隸屬值、正失真隸屬值和負(fù)真實(shí)隸屬值、負(fù)不確定隸屬值、負(fù)失真隸屬值分別如表1，表2所示。

表1 每個(gè)供銷商的各個(gè)隸屬值

表2 供銷關(guān)系的各個(gè)隸屬值

轉(zhuǎn)化為雙極單值中智有向圖如圖3所示。

圖3 極單值中智有向圖D

在D中，每個(gè)供銷商的2-步外鄰集和3-步外鄰集如表3所示。

表3 每個(gè)供銷商的2-步外鄰集和3-步外鄰集

則:

{(d,0.2,0.1,0.4,-0.2，-0.1,-0.5)}，

{(d,0.2,0.3,0.4,-0.2，-0.1,-0.3)}.

因此在D的(2,3)-步雙極單值中智競(jìng)爭(zhēng)圖中有(a,b)邊和(b,c)邊，即供銷商a與供銷商b、供銷商b與供銷商c之間存在競(jìng)爭(zhēng)關(guān)系且:

故D的(2,3)-步雙極單值中智競(jìng)爭(zhēng)圖如圖4所示。

圖4 (2,3)-步雙極單值中智競(jìng)爭(zhēng)圖2,3(D)

4 總結(jié)

本文介紹了(i,k)-步雙極單值中智有向圖和(i,k)-步雙極單值中智競(jìng)爭(zhēng)圖的定義，建立了它們之間的關(guān)系，并舉例說(shuō)明(i,k)-步雙極單值中智競(jìng)爭(zhēng)圖在市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)中的應(yīng)用。