張亞娟，裘祖榮，李杏華，楊 婷

激光跟蹤系統(tǒng)“鳥巢”坐標的球面標定法

張亞娟，裘祖榮，李杏華，楊 婷

(天津大學精密測試技術(shù)及儀器國家重點實驗室，天津 300072)

深入分析了激光跟蹤測量系統(tǒng)坐標系的特點，建立了采用高精度約束球面標定激光跟蹤測量系統(tǒng)(LTS)的初始狀態(tài)參量和結(jié)構(gòu)誤差參量的方法．通過數(shù)學仿真搜索出采用約束球面進行系統(tǒng)標定時的最佳約束球半徑、最佳采樣點個數(shù)等，并采用仿真方法評估系統(tǒng)噪聲對標定結(jié)果的影響．使用三坐標測量機和QC20-W高精度伸縮球桿儀建立了球面約束標定的實驗裝置，對激光跟蹤系統(tǒng)執(zhí)行了球面約束標定實驗．實驗結(jié)果表明，采用高精度約束球面作為約束條件可以提高系統(tǒng)的未知參數(shù)標定精度和測量精度．

激光跟蹤系統(tǒng)；標定；數(shù)學模型；約束球面；坐標測量

激光跟蹤系統(tǒng)(laser tracking system，LTS)是在機器人計量學領(lǐng)域發(fā)展出的三坐標測量設(shè)備[1-2].“鳥巢”是激光跟蹤系統(tǒng)上的一個固定點，測量前需要標定出“鳥巢”到坐標原點的距離Lr．Lr稱作“鳥巢”的坐標，其標定精度直接影響系統(tǒng)的測量精度．同時，影響跟蹤系統(tǒng)測量精度的重要因素還有機械結(jié)構(gòu)誤差中的兩回轉(zhuǎn)軸線的位置誤差、跟蹤轉(zhuǎn)鏡的安裝誤差和入射光束的對準誤差[3-4]．美國佛羅里達大學的Shui Hu Motaghedi曾為跟蹤系統(tǒng)建立了包含“鳥巢”坐標和上述誤差源在內(nèi)的動態(tài)數(shù)學模型，并設(shè)計了約束平面法來求解“鳥巢”坐標和各誤差參數(shù)的值．實驗證明，該動態(tài)模型可以在一定程度上消除系統(tǒng)結(jié)構(gòu)誤差影響，提高測量精度．但是，由于高精度的約束平面難以獲得，且以平面為約束條件的約束方程的誤差傳遞系數(shù)大，因此標定方案實施難度大，標定精度難以得到保證[5-7]．

筆者以Shui Hu Motaghedi建立的跟蹤系統(tǒng)動態(tài)模型為基礎(chǔ)，研究以高精度球面約束取代平面約束對“鳥巢”坐標和結(jié)構(gòu)誤差等進行標定的理論和實驗方法．用約束球面取代約束平面是因為目前的標準球精度很高，球度誤差往往控制在幾十納米．利用球軸承的高精度伸縮靶模擬運行球面的球面度也能夠控制在兩三個微米內(nèi)．高精度的約束球面比高精度的約束平面易于加工和獲得，因此，采用球面約束有望提高標定精度．

1 激光跟蹤系統(tǒng)的動態(tài)數(shù)學模型

圖1為初始狀態(tài)下激光跟蹤系統(tǒng)的示意，主要由跟蹤頭和目標靶鏡組成．其中，跟蹤頭的主要結(jié)構(gòu)是軸線(R1和R2)垂直相交的兩回轉(zhuǎn)軸．在回轉(zhuǎn)軸線的交點處安裝一平面反射鏡，稱為跟蹤轉(zhuǎn)鏡．在兩回轉(zhuǎn)軸帶動下，跟蹤轉(zhuǎn)鏡可將入射在其上的激光束始終反射到目標靶鏡處．目標靶鏡接收激光束并將其反射回去，與系統(tǒng)中的參考光束相干涉．當目標靶鏡位置發(fā)生變化時，通過干涉信息便可得到目標靶鏡當前位置與上一位置相對于坐標系原點O的距離的變化量，記作lm．同時，與回轉(zhuǎn)軸同軸安裝的測角裝置可以測量出目標靶鏡的當前點相對于上一點的偏擺角和俯仰角的角度變化量，分別記作θ1和θ2．系統(tǒng)中有一個固定點，稱作“鳥巢”，它是目標靶鏡的初始位置，圖1中目標靶鏡恰好處于“鳥巢”中．“鳥巢”與系統(tǒng)坐標系原點O的距離記為Lr．

圖1 激光跟蹤系統(tǒng)示意Fig.1 Schematic of LTS

Lr是需要標定求解的一個系統(tǒng)未知參數(shù)，其標定精度直接影響著系統(tǒng)的測量精度．同時，影響系統(tǒng)測量精度的重要因素還包括機械結(jié)構(gòu)誤差中的兩回轉(zhuǎn)軸線的位置誤差、跟蹤轉(zhuǎn)鏡的安裝誤差和入射光束的對準誤差．當不考慮這些誤差時，系統(tǒng)的理想光路如圖2所示．其中{xb，yb，zb}、{x1，y1，z1}和{xm，ym，zm}分別是為了分析方便而建立的系統(tǒng)的測量坐標系、輔助坐標系和鏡面坐標系．bI、bc、bo分別是入射激光束、鏡面法線向量和出射激光束．此時，空間任一點P在系統(tǒng)坐標系中坐標的向量表示為

其中

bI可由入射光束在系統(tǒng)坐標系中的兩個方位角αI和βI的三角函數(shù)向量來表示．

圖2 激光跟蹤系統(tǒng)理想光路示意Fig.2 Schematic of ideal light path of LTS

當考慮兩回轉(zhuǎn)軸線的位置誤差、跟蹤轉(zhuǎn)鏡的安裝誤差和入射光束的對準誤差時，系統(tǒng)的光路如圖3所示．

圖3 跟蹤系統(tǒng)光路示意Fig.3 Schematic light path of LTS

此時，空間任一點P在系統(tǒng)坐標系中坐標的向量表示為

其中

式中：Rr和Tr分別為θ1=θ2=0時坐標系{xb，yb，zb}和{xm，ym，zm}之間的旋轉(zhuǎn)矩陣和平移矩陣，它們的表達式中包含了代表兩回轉(zhuǎn)軸線位置誤差和跟蹤轉(zhuǎn)鏡安裝誤差的5個誤差參數(shù)α1、e1、α2、β2和e2，其中α1為兩回轉(zhuǎn)軸線的真實夾角，e1為兩回轉(zhuǎn)軸線的距離，α2為跟蹤轉(zhuǎn)鏡安裝角度誤差1，β2為跟蹤轉(zhuǎn)鏡安裝角度誤差2，e2為跟蹤轉(zhuǎn)鏡與回轉(zhuǎn)軸線R1的不重合度；cx，cy為θ1=θ2=0時光線對準偏差的兩個參數(shù)，cx為激光入射點在轉(zhuǎn)鏡坐標系下的x坐標，cy為激光入射點在轉(zhuǎn)鏡坐標系下的y坐標．

式(2)是激光跟蹤測量系統(tǒng)的動態(tài)數(shù)學模型．式(1)和式(2)的詳細推導過程參見文獻[5]．

用V表示由數(shù)學模型(2)中未知參數(shù)組成的向量，即V=[αI，βI，Lr，cx，cy，α1，e1，α2，β2，e2]T．

由于V中的各參數(shù)值均是目標靶鏡處于“鳥巢”時的系統(tǒng)狀態(tài)參量，因此，將向量V形象地稱為跟蹤系統(tǒng)的“鳥巢”坐標．對V的求解，稱為對“鳥巢”坐標的標定．

當跟蹤儀的機械結(jié)構(gòu)為理想情況時，“鳥巢”坐標V中的各元素值分別為cx=0，cy=0，α1=90°，α2=90°，β2=90°，e1=0，e2=0．

2 球面約束標定原理

如圖4所示，將一個標準球放在跟蹤系統(tǒng)測量空間的任意位置，設(shè)球心C在跟蹤儀測量坐標系中的坐標為[Ls，αs，βs]T，球面半徑為R．

圖4 球面約束標定法示意Fig.4 Spherical constraint calibration method

對球面上每一個點Pi均有

對于球面上n個測量點可建立n個上述方程，由這n個方程可建立如下目標函數(shù)：

當測量點數(shù)n大于式(3)中未知數(shù)個數(shù)時，用最小二乘法即可求得所有未知數(shù)的值，從而實現(xiàn)對跟蹤系統(tǒng)動態(tài)數(shù)學模型中“鳥巢”坐標V的標定．

在采用球面作為約束進行標定時，約束球面的半徑R有兩種處理方法：一是將其作為已知參數(shù)，此時未知參數(shù)向量變?yōu)閇V，Ls，αs，βs]T；二是將其作為未知參數(shù)，這樣則無需事先測量標準球的半徑，標準球的半徑通過標定獲得，此時未知參數(shù)向量為[V，Ls，αs，βs，R]T．在后面的仿真和實驗中，將半徑R作為未知量處理．

3 標定法仿真

在設(shè)計球面約束標定法的實驗裝置和進行標定實驗之前，首先對該方法的可行性進行理論分析，分析主要包括4個方面．

(1) 最小二乘法求解過程的收斂性．若最小二乘法求解未知數(shù)的迭代算法無法收斂，則該方法不可行．

(3) 標定時的最佳采樣點數(shù)分析．確定標定的最佳采樣點數(shù)既可以保證順利求得各未知參數(shù)，又可以避免由于采樣點過多而增加標定工作的強度．

(4) 約束球面半徑取值對標定精度影響分析．約束球面半徑取值對于球面約束方法的可行性具有重要意義．如果為了達到所需的標定結(jié)果而需要約束球具有很大的半徑以至于無法創(chuàng)建真實的實驗環(huán)境，則球面約束法雖理論上可行，但仍不能實現(xiàn)真正的標定．只有當約束球面的半徑取值在一個合理的范圍內(nèi)時，該方法才具有實際的應用價值．

理論分析采用Matlab仿真方法模擬標定過程，并分析以上各因素對標定結(jié)果的影響．

仿真時，設(shè)各未知參量的真實值如表1所示．

表1 仿真參數(shù)的真實值Tab.1 Real values of the parameters

跟蹤儀系統(tǒng)中“鳥巢”距坐標原點的距離Lr一般為0.20～0.35,m，因此仿真中取Lr=0.35,m．當采用精密工具對入射光進行調(diào)整時，其入射精度能夠高達0.1,mm．通過加工過程中控制兩回轉(zhuǎn)軸線的相互位置偏差，可使α1和e1分別控制在90.01°和0.01,mm．由于鏡面安裝精度比兩回轉(zhuǎn)軸線的形位精度難以控制，因此其安裝誤差分別設(shè)為90.02°和0.02,mm．

假設(shè)跟蹤系統(tǒng)可以測到約束球面上的任意一點．在仿真時，首先用Matlab在球面上取足夠數(shù)量的采樣點，分別計算各采樣點的“測量值”lm、θ1和θ2，然后建立式(2)所示的約束方程，采用Lervenberg-Marquadt方法求解最小二乘問題，可得到未知向量[V，Ls，αs，βs，R]T的解．

在實際系統(tǒng)中，噪聲會影響標定精度．為使仿真更接近實際情況，分別給仿真數(shù)據(jù)添加表2所示的噪聲值，其中U代表均勻分布的噪聲．

未來海域常規(guī)油氣產(chǎn)量淺水保持穩(wěn)定，深水和超深水逐漸發(fā)力。中東、亞太及非洲地區(qū)產(chǎn)量增長較明顯，歐洲地區(qū)在高峰產(chǎn)量后遞減明顯。

表2 加在仿真測量值上的平均分布的誤差Tab.2 Measurement noises added to simulation data

系統(tǒng)中使用的測角圓光柵，其角度測量不確定度的范圍大約為0.7″～6.3″，相應的弧度值約為3～30,μrad．雙頻激光干涉儀的測長不確定度一般在幾十納米，由于溫度、濕度等環(huán)境因素的影響，其測量精度有可能下降，在穩(wěn)定的實驗室條件下，影響雙頻激光干涉儀測量精度的氣象因素較小，因此雙頻激光干涉測距系統(tǒng)的測量不確定度取為±0.5,μm是合理的．高精度標準球的球度誤差一般在幾十納米，用磁性球靶模擬出的球面的球度誤差大約在兩三個微米．因此，為了進行對比，分別給出1,μm和10,μm兩個不同級別的球度誤差．球度和球面粗糙度誤差被加在采樣點的坐標中．這些誤差包含了其他非幾何因素的誤差，如由溫度和濕度引起的測量誤差等．

為了表示在不同情況下標定結(jié)果的優(yōu)劣，在每次采點時，另外采10個點作為檢測點．系統(tǒng)參數(shù)標定結(jié)束后，用系統(tǒng)的動態(tài)測量模型去“測量”10個采樣點的坐標，并與其真實坐標進行對比．將理想點與測量點之間的距離作為衡量標定結(jié)果優(yōu)劣的標準，記為E[8-9]．

仿真結(jié)果表明，球面約束標定算法具有很好的收斂性，能夠精確地求出系統(tǒng)各未知參數(shù)的值．

圖5所示為仿真時測點數(shù)目、約束球半徑、系統(tǒng)噪聲等與E的關(guān)系．

圖5 仿真的測量誤差Fig.5 Measurement error of simulation

仿真時分別采取不同的采樣點數(shù)，各進行5次仿真．由圖5(a)可見，當采樣點數(shù)大于或等于50個時，測量誤差趨于穩(wěn)定．因此，采用球面約束進行標定時，采樣點數(shù)不能少于50個．用各種半徑的約束球各進行5次仿真并將5次仿真結(jié)果取平均值．由圖5(b)可見，當約束球半徑大于等于0.35,m時，測量誤差趨于穩(wěn)定．因此，采用球面約束時約束球的半徑應大于或等于0.35,m．圖5(c)中顯示的是添加不同噪聲時的測量誤差．噪聲Ⅱ誤差明顯大于噪聲Ⅰ，說明當存在較大的角度測量誤差時，標定后系統(tǒng)的測量誤差也較大．該仿真結(jié)果從一個側(cè)面印證了單站式激光跟蹤坐標測量系統(tǒng)的測角誤差為其測量誤差的一個主要來源[7]．噪聲Ⅰ、噪聲Ⅲ兩組數(shù)據(jù)比較，當球度誤差增大時，標定后的測量誤差也相應地有所增大，但是其增加幅度并不十分明顯，說明球面約束標定激光跟蹤系統(tǒng)時球面的球度噪聲對標定精度影響較?。?/p>

以上仿真結(jié)果證明，采用球面約束法標定激光跟蹤系統(tǒng)“鳥巢”坐標的方法是可行的．標定時最佳采樣點數(shù)為50，約束球半徑不得小于0.35,m．

4 實 驗

為了驗證球面約束法標定激光跟蹤系統(tǒng)的實際效果，需要為標定方法設(shè)計可行的實驗裝置．而設(shè)計實驗裝置的關(guān)鍵點就是建立半徑大于等于0.35,m的高精度約束球面，并使跟蹤儀的目標靶鏡能夠在約束球面上采點．經(jīng)過研究，本文將三坐標測量機和Renishaw的QC20-W球桿儀組合使用完成了實驗平臺的設(shè)計．整體標定實驗裝置如圖6所示．

將球桿儀的基座固定在三坐標測量機的實驗平臺上，球桿儀的一端吸附在支座的帶磁性的支撐座上，另一端吸附在安裝于三坐標測量機上的磁性支座上[10]．同時將激光跟蹤系統(tǒng)的目標靶鏡牢固地安裝在三坐標測量機上．編寫三坐標測量機控制程序，使三坐標測量機帶動球桿儀的一端以另一端的支撐中心為球心在球面上連續(xù)運動．這樣，當球桿儀的一端沿著球面運動時，跟蹤系統(tǒng)的目標靶鏡也沿著一個同樣半徑的球面運動，只是這兩個球的球心位置不同．由于三坐標測量機的運動誤差較大，球桿儀運動端所形成的球面“粗糙度”很大．但是球桿儀內(nèi)部的高精度位移傳感器能夠感知每一個測量點與初始點相比的半徑變化量．設(shè)初始位置時球桿的長度為Lg，那么其他各測量點處的半徑為

式中：li為每個采樣點的球面半徑；Si為球桿儀位移傳感器的讀數(shù)．對每個采樣點均有=Lg+Si．

最小二乘算法求解時的約束方程相應地調(diào)整為

式(4)即為采用球面約束法進行激光跟蹤系統(tǒng)標定實驗時所采用的約束方程．

系統(tǒng)中所用球桿儀的位移傳感器分辨力為0.1,μm，傳感器的測量精度為±0.5,μm，球桿儀系統(tǒng)的測量精度為1.25,μm，測量范圍為1,mm．球桿采用加長桿，將長度加長為0.35,m．

在該系統(tǒng)中對本實驗室研制的單站式激光跟蹤系統(tǒng)(見圖7)進行了球面約束標定，標定結(jié)果收斂．

圖7 激光跟蹤系統(tǒng)Fig.7 Laser tracking system

為了檢驗球面約束標定法的實驗效果，同時對系統(tǒng)進行了平面約束標定．平面約束標定的具體原理和方法參見文獻[5]．

然后用兩種標定方法標定出的系統(tǒng)分別測量空間中位于同一條直線上的多條線段長度，同時用HP5519雙頻激光干涉儀也測量這些線段的長度(見圖8)．以雙頻激光干涉儀的測量結(jié)果作為標準，將跟蹤儀的測量結(jié)果與干涉儀的測量結(jié)果進行比較，誤差越小說明測量結(jié)果越精確，標定效果越好，反之說明標定效果越差[8]．兩種標定方法對跟蹤儀未知參數(shù)的標定結(jié)果見表3．線段長度測量結(jié)果見表4．

圖8 對比實驗裝置示意Fig.8 Contrast experiment setup

表3 標定結(jié)果Tab.3 Calibration results

圖9 系統(tǒng)測量誤差示意Fig.9 System measurement error

表4 對比實驗結(jié)果Tab.4 Comparison of experimental results

圖9所示為兩種方法標定后的系統(tǒng)對直線上線段的測量值與雙頻激光干涉儀測量值差的絕對值.橫坐標代表所測線段的序數(shù)，縱坐標代表測量誤差絕對值．由圖9可見，采用球面標定后的系統(tǒng)的測量誤差比采用平面約束標定的系統(tǒng)的測量誤差顯著降低．經(jīng)計算，采用球面約束標定后對20條線段測量誤差的均值為16.7,μm，而采用平面約束的測量誤差的均值為27.9,μm．誤差均值減小了40.1%．

5 結(jié) 語

本文提出了采用高精度球面作為約束條件標定激光跟蹤系統(tǒng)動態(tài)模型中“鳥巢”坐標的原理．驗證了該原理的可行性并設(shè)計了由三坐標測量機和Renishaw的QC20-W球桿組成的標定實驗系統(tǒng)．實現(xiàn)了對激光跟蹤系統(tǒng)“鳥巢”坐標的標定，提高了系統(tǒng)的標定精度和測量精度．

為了進一步提高標定精度，可以分別從提高約束元素本身的精度和降低算法的誤差傳遞系數(shù)上考慮．由雙頻激光干涉儀提供的約束直線具有很高的幾何精度．但是研究中發(fā)現(xiàn)，采用直線約束的數(shù)學算法的誤差傳遞系數(shù)較平面約束和球面約束要大很多，很可能導致求解失?。虼巳粢〉煤玫臉硕ㄐЧ?，需要對直線標定法研究更好的求解非線性方程組的數(shù)學算法．

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(責任編輯：趙艷靜)

Calibration of Laser Tracking System with Spherical Constraint

Zhang Yajuan，Qiu Zurong，Li Xinghua，Yang Ting
(State Key Laboratory of Precision Measuring Technology and Instruments，Tianjin University，Tianjin 300072，China)

Coordinate system characteristics of the laser tracking system(LTS)are analysed，and a method using sphere as constraint to calibrate the initial state parameters and structure error parameters of LTS is provided. Through Matlab simulation，the optimal number of sample points，optimal radius of sphere for system calibration are obtained，out and the impact of system noises on the calibration results is assessed. An experimental apparatus for spherical calibration is established by using CMM and QC20-W ball bar，and experiments are carried out on this system. The results show that this method can improve the accuracy of unknown parameters and the measurement accuracy of the system.

laser tracking system；calibration；mathematical model；spherical constraint；coordinates measurement

TH741

A

0493-2137(2014)03-0255-07

10.11784/tdxbz201204049

2012-04-30；

2012-09-30.

張亞娟（1984— ），女，博士研究生，yajuanzhang216@163.com.

裘祖榮，qzr@tju.edu.cn.