李 柳， 邵富群， 王占軍

（1.沈陽師范大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，遼寧沈陽 110034；2.東北大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院，遼寧沈陽 110004；

3.沈陽師范大學(xué)計(jì)算機(jī)與數(shù)學(xué)基礎(chǔ)教學(xué)部，遼寧沈陽 110034）

電磁層析成像中新型歸一化算法的設(shè)計(jì)與實(shí)現(xiàn)

李 柳1， 邵富群2， 王占軍3

（1.沈陽師范大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，遼寧沈陽 110034；2.東北大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院，遼寧沈陽 110004；

3.沈陽師范大學(xué)計(jì)算機(jī)與數(shù)學(xué)基礎(chǔ)教學(xué)部，遼寧沈陽 110034）

基于電容和電阻層析成像技術(shù)中靈敏度矩陣非線性歸一化方法，提出了電磁層析成像中使用線性歸一化方法的不合理性，在推導(dǎo)出其解析解的前提下，建立了電磁層析成像技術(shù)中的新型歸一化模型，并給出了新型靈敏度模型的歸一化公式。比較了原始和新型模型對于靈敏度歸一化的效果，并將新型歸一化模型應(yīng)用到圖像重建中，比較了成像質(zhì)量，用相關(guān)系數(shù)比較了兩種模型和原圖的相關(guān)度，得出了結(jié)論：新型靈敏度歸一化模型更逼近原始靈敏度的變化趨勢，采用新型模型重建圖像的質(zhì)量更高。

計(jì)量學(xué)；電磁層析成像技術(shù)；歸一化；靈敏度；圖像重建

1 引 言

歸一化是一種無量綱處理手段，使物理系統(tǒng)數(shù)值的絕對值變成某種相對值關(guān)系，是簡化計(jì)算、縮小量值的有效辦法。在電層析成像技術(shù)中存在不同的變量，例如檢測電壓、圖像灰度、靈敏度等；也存在用同一單位表示同一變量的主成分?jǐn)?shù)值大小差距比較大的現(xiàn)象，這樣會出現(xiàn)“大數(shù)吃小數(shù)”的問題，將會忽略方差小的變量信息，傾向于方差大的變量信息。為了可以均等地對待每個(gè)變量，消除因單位和數(shù)值差距較大帶來的影響，在使用數(shù)據(jù)前需要對原始數(shù)據(jù)進(jìn)行歸一化預(yù)處理。常見的歸一化方法有線性函數(shù)轉(zhuǎn)換法、對數(shù)函數(shù)轉(zhuǎn)換法和反正切函數(shù)轉(zhuǎn)換法。

圖像重建是正向模型的逆問題，是嚴(yán)重病態(tài)逆問題，對檢測值中的噪聲非常敏感，微小的擾動會導(dǎo)致介質(zhì)電導(dǎo)率或磁導(dǎo)率分布（由圖像灰度向量表示）急劇變化，以至不能得到穩(wěn)定的解。測量值或者靈敏度（物場中微小單元對檢測值的影響程度）的歸一化處理有助于降低噪聲的影響。一般情況下，不同測量極板測得的測量值相差較大（通常相差幾十甚至上百倍），而采用無量綱化的處理方法，即對測量值變化量和靈敏度矩陣進(jìn)行歸一化處理，通?？蓽p少各電極對間電容值和噪聲干擾。

2 電層析成像技術(shù)中的靈敏度歸一化方法

對于電層析成像技術(shù)而言，從正問題的數(shù)學(xué)模型可以看出，測量值和靈敏度模型比較復(fù)雜，很難用解析方法求解，常用數(shù)值方法分析。因此，很難用上述歸一化模型預(yù)處理數(shù)據(jù)，而要根據(jù)數(shù)學(xué)模型推導(dǎo)出特定的歸一化模型。

對于電容層析成像技術(shù)（ECT）［1，2］，測量值和靈敏度歸一化模型的選擇依據(jù)相應(yīng)的應(yīng)用工藝場合及兩相流的模型［3，4］。ECT技術(shù)通用的歸一化模型主要有并聯(lián)模型、串聯(lián)模型、混合模型和Maxwell模型。對于不同類型的不同多相流模型，可以采用不同的歸一化模型，即使采用同樣的圖像重建算法，成像質(zhì)量也有很大差別。Yang對幾種模型進(jìn)行了對比研究，指出采用串聯(lián)模型在大多數(shù)流型分布時(shí)，可以改善圖像重建質(zhì)量，更適合測量值與電容或等效介電常數(shù)為嚴(yán)重非線性的情況［5］。電阻抗層析成像技術(shù)（ERT）采用對數(shù)形式近似表示靈敏度歸一化形式。

電磁層析成像技術(shù)（EMT）是能重現(xiàn)兩種不同介電常數(shù)或磁導(dǎo)率物體分布的技術(shù)，它的正問題主要是研究檢測線圈對傳感器磁矢位的變化，逆問題是重建磁導(dǎo)率分布情況，即，利用測量的磁矢位實(shí)現(xiàn)圖像重建。EMT系統(tǒng)主要重建不同磁導(dǎo)率兩相流或多相流物場。為了提高重建圖像的質(zhì)量，一般情況下，都要對測量的磁矢位和靈敏度矩陣做歸一化處理。傳統(tǒng)的歸一化方法是在假設(shè)EMT系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型線性化前提下得到的，歸一化的磁矢位滿足線性歸一化函數(shù)，即

式中，λold為一對線圈間的歸一化磁矢位，Am為實(shí)際測量值，而Ah和Al為滿場和空場時(shí)同一對線圈間的磁矢位測量值。從式（1）看，當(dāng)物場中充滿低磁導(dǎo)率媒質(zhì)時(shí)，歸一化磁矢位應(yīng)該為0，當(dāng)物場中充滿高磁導(dǎo)率媒質(zhì)時(shí)，歸一化磁矢位為1，當(dāng)物場中放置一個(gè)高磁導(dǎo)率物體時(shí)，歸一化λold為Ah和Al之間的線性插值。

然而，實(shí)際的磁矢位A和磁導(dǎo)率的分布之間有很復(fù)雜的關(guān)系，

從式（2）看，磁矢位和磁導(dǎo)率不是簡單的線性關(guān)系，因此，歸一化磁矢位也不能套用傳統(tǒng)的線性公式，要想得到歸一化磁矢位公式，必須從式（2）的解析解出發(fā)推導(dǎo)出磁矢位和磁導(dǎo)率的關(guān)系。

3 電磁層析成像中歸一化模型的建立

3.1 EM T中新型歸一化模型的推導(dǎo)

對于二維平面場，A只有此平面的垂直分量，式（2）可簡化成標(biāo)量方程為

式（7）的通解為

式（8）為虛宗量貝塞爾方程，它的解為

因此，可以得到式（5）的通解為

式中，A、B、E、F為常數(shù)。

利用分離變量法可以解出式（6）的通解為

式中，C、D、P、Q為常數(shù)。

邊界條件為：

（1）在物體和媒質(zhì)分界面上A連續(xù)：

A1（a，φ）＝A2（a，φ）

（2）在物體和媒質(zhì)分界面上H的切向分量相等，

由此可見，EMT的磁矢表達(dá)式不是線性形式，得到的歸一化表達(dá)式也不能是線性的。如式（18）可知，歸一化參數(shù)與滿場和空場磁矢有關(guān)，是在傳統(tǒng)參數(shù)的基礎(chǔ)上添加了新的系數(shù)構(gòu)成的，即

式中，k為修正參數(shù)。

3.2 EMT中不同歸一化模型仿真結(jié)果分析

對于8線圈單激勵(lì)EMT仿真系統(tǒng)，利用有限元法［7］解正問題得到檢測值的數(shù)值結(jié)果，建立靈敏度矩陣，并利用不同的歸一化方法（根據(jù)式（1）和式（20）的相應(yīng)歸一化處理方法分別稱為“原始?xì)w一化方法”和“新型歸一化方法”）對靈敏度進(jìn)行預(yù)處理。

不同靈敏度歸一化方法處理數(shù)據(jù)的結(jié)果如圖1所示，比較了兩種歸一化方法對不同位置靈敏度的影響。圖1（a）描述了物場中心處70個(gè)剖分單元的歸一化靈敏度的分布情況，圖1（b）描述了物場邊緣處最外側(cè)的70個(gè)剖分單元靈敏度受兩種歸一化處理方法的影響結(jié)果，其中，淺色實(shí)心圓圈表示按照式（20）計(jì)算所得的新型靈敏度歸一化分布情況，深色空心圓圈表示按式（1）計(jì)算所得的原始?xì)w一化結(jié)果。從兩種歸一化結(jié)果可以看出：

（1）靈敏度新型歸一化算法所得數(shù)據(jù)和線性歸一化模型所得數(shù)據(jù)變化規(guī)律類似，但比較集中，符合實(shí)際靈敏度分布情況。

（2）中心處的單元靈敏度集中程度更高，集中在0.3～0.8之間，這樣會在圖像重建中提高圖像的相關(guān)度。

圖1 不同靈敏度歸一化算法的比較結(jié)果

通過標(biāo)準(zhǔn)Tikhonov正則化［8］方法和Landweber迭代法［9］對不同流型（如圖2的（a）、（b）、（c）3種原型）進(jìn)行圖像重建。采用相關(guān)系數(shù)［10］評價(jià)圖像質(zhì)量，相關(guān)系數(shù)指標(biāo)反映了原象與重建圖像的像素灰度之間的相關(guān)性，列于表1。為了更好地比較4種歸一化模型對成像質(zhì)量的影響，最后灰度圖像不進(jìn)行灰度門限過濾處理。

表1 新型和原始靈敏度歸一化方法重建圖像相關(guān)性比較

從圖像重建結(jié)果和圖像評價(jià)指標(biāo)可以看出：新型靈敏度歸一化算法的圖像成像誤差比原始算法小，相關(guān)性比較高，尤其對提高物場中心處的靈敏度起重要作用，使物場中心處物體的成像誤差大大減小，更接近原始圖像。

4 結(jié) 論

電磁層析成像技術(shù)中的新型靈敏度歸一化模型是建立在其數(shù)值解的基礎(chǔ)上的，和線性歸一化模型相比，新型歸一化模型的靈敏度分布更符合原始靈敏度的分布規(guī)律。用新型靈敏度歸一化模型進(jìn)行圖像重建，采用相關(guān)度指標(biāo)評價(jià)成像結(jié)果得出結(jié)論：新型靈敏度歸一化算法的圖像成像誤差比線性算法小，相關(guān)性比較高，圖像的相關(guān)度較高。

圖2 新型和原始靈敏度歸一化算法對成像結(jié)果影響

［1］ 馬敏，王化祥，張煒宇.數(shù)字化電容層析成像系統(tǒng)［J］.計(jì)量學(xué)報(bào)，2007，28（3）：253－256.

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The Design and Realization of a New Normalization Algorithm in Electromagnetic Tomography

LILiu1， SHAO Fu-qun2， WANG Zhan-jun3
（1.College of Physics Science and Technology，Shenyang Normal Univerisity，Shenyang，Liaoning 110034，China；
2.College of Information Science and Engineering，Northeastern University，Shenyang，Liaoning 110004，China；
3.Shenyang Normal University，Shenyang，Liaoning 110034，China）

According to new sensitivity normalizations of electrical impedance and electrical capacitance tomography，the irrationality of linear normalization of sensitivity matrix of electromagnetic tomography is proposed.The new sensitivity normalizationmodel is established based on the analytical formula in electromagnetic tomography.The formula of the new sensitivity normalization is given.The normalization effect of new model is compared with the original.The new sensitivity normalization is applied to the image reconstruction，and evaluated the image quality using the criterion correlation.It is conclusion that the new sensitivity normalizationmodel ismore close to the original trend and got higher reconstruction image quality.

Metrology；Electromagnetic tomography；Normalization；Sensitivity；Image reconstruction

TB973

A

1000-1158（2014）01-0049-05

10．3969／j．issn．1000-1158．2014．01．11

2012-07-06；

2012-11-17

遼寧省自然科學(xué)基金（20102203）

李柳（1978－），女，遼寧沈陽人，博士，沈陽師范大學(xué)副教授，主要從事層析成像技術(shù)的研究。synuliliu＠sohu.com