摘要:利率期限結(jié)構(gòu)反映了利率與到期期限之間的關(guān)系。國(guó)外的研究者對(duì)影響利率期限結(jié)構(gòu)的因素十分關(guān)注,并提出了許多利率期限結(jié)構(gòu)的理論。本文運(yùn)用SAS9.1軟件,基于極大似然估計(jì)方法,使用Vasicek模型對(duì)我國(guó)上海銀行間同業(yè)拆借利率的動(dòng)態(tài)特性進(jìn)行刻畫,對(duì)其期限結(jié)構(gòu)進(jìn)行實(shí)證研究。結(jié)果表明,Vasicek模型對(duì)上海同業(yè)間拆借利率有較好的刻畫和描述能力。
關(guān)鍵詞:利率期限結(jié)構(gòu);Vasicek模型;極大似然估計(jì);上海銀行間同業(yè)拆借利率
利率期限結(jié)構(gòu)可分為靜態(tài)與動(dòng)態(tài)利率期限結(jié)構(gòu)。Vasicek模型是一個(gè)重要的動(dòng)態(tài)均衡模型,得到了廣泛的應(yīng)用。當(dāng)前我國(guó)學(xué)者對(duì)利率期限結(jié)構(gòu)的研究主要集中在收益曲線方面,本文通過(guò)對(duì)Vasicek模型的分析,結(jié)合我國(guó)銀行間同業(yè)拆借市場(chǎng)數(shù)據(jù)來(lái)模擬我國(guó)短期利率動(dòng)態(tài)變化過(guò)程,對(duì)我國(guó)利率期限結(jié)構(gòu)做實(shí)證分析
一、Vasicek模型介紹
Vasicek模型是由Vasicek于1977年提出的.Vasicek模型是一個(gè)具有均值回復(fù)特性的單因子模型。它表示在風(fēng)險(xiǎn)中性的世界中,即投資者對(duì)風(fēng)險(xiǎn)不需要補(bǔ)償,所有風(fēng)險(xiǎn)的預(yù)期收益率都是無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率的情況下,瞬時(shí)利率的動(dòng)態(tài)變化服從以下的隨機(jī)微分方程:
JZdrt=kθ-rtdt+σdWt
Vasicek模型是第一個(gè)具有均值回復(fù)性質(zhì)的利率期限結(jié)構(gòu)模型,均值回復(fù)表現(xiàn)在當(dāng)利率水平超過(guò)或者低于平均水平時(shí)就會(huì)向該水平回復(fù),k是回復(fù)速率,σ表示瞬時(shí)利率的波動(dòng)率。通過(guò)求解偏微分方程或鞅方法,推導(dǎo)出零息票債券價(jià)格的表達(dá)式:
JZPτ=Aτe-WτrτWτ=SX1-e-aταSX)
JZAτ=e-(μ-λσα-σ22α2)(τ-Wτ-σ2W2(τ)4α)
其中,τ表示債券的剩余期限。
由于瞬時(shí)利率不能直接得到,因此,必須使用短期利率去逼近它.利率過(guò)程的估計(jì)根據(jù)離散的樣本數(shù)據(jù),通過(guò)時(shí)間間隔為的歐拉折線去逼近原來(lái)的連續(xù)時(shí)間的利率模型,得到Vasicek模型的離散形式為:
JZΔrt=α(θ-rt-1)Δt+WtWt~N(0,σ2rt-1Δt)
其中,Δt為時(shí)間間隔,這里取為一天;Wt為服從正態(tài)分布的殘差,α,θ和σ和是待估參數(shù)。
二、參數(shù)估計(jì)方法
目前,對(duì)Vasicek均衡模型的參數(shù)估計(jì)方法主要有三類:純時(shí)間序列數(shù)據(jù)方法(Pure Time-Series Data Method);純截面數(shù)據(jù)方法(Pure Cross Sectional Data Method);混合時(shí)間序列/截面數(shù)據(jù)方法(Joint Time-Series/Cross Sectional Data Method)。
由于假設(shè)了這些殘差都是服從正態(tài)分布的,因此可以采用極大似然法來(lái)估計(jì)這些參數(shù)。假設(shè)有T天的短期利率樣本數(shù)據(jù)(即每天的),以及第T天的M個(gè)貼現(xiàn)債券價(jià)格數(shù)據(jù),估計(jì)第T+1天的參數(shù)值時(shí),構(gòu)造Vasicek模型的對(duì)數(shù)似然函數(shù)如下:
L=-SXT2SX)ln(2π)-SXT2SX)ln(σ2)-SX12SX)∑DDTi=1DD)ln(Δti)-SX12SX)σ-2∑DDTi=1DD)SX(Δti-α(u-ri-1)Δti)2ΔtiSX)-SXM2SX)ln(2π)-SXM2SX)lnσ2z-SX12SX)σ-2z∑DDMk=1DD)[lnPt,zk-ln(A(τk)e(-B(τk)rτ))]2
其中,是市場(chǎng)上觀察到的貼現(xiàn)債券價(jià)格。
假設(shè)只以時(shí)間序列數(shù)據(jù)進(jìn)行估計(jì)(即第一類方法),這時(shí),Vasicek模型的似然函數(shù)變?yōu)椋?/p>
L=-SXT2SX)ln(2π)-SXT2SX)ln(σ2)-SX12SX)∑Ti=1ln(ri-1)-SX12SX)∑Ti=1ln(Δti)-SX12SX)σ-2∑Ti=1SX(Δri-α(u-ri-1)Δti)2ΔtiSX)
三、實(shí)證檢驗(yàn)
本文以2007年1月1日至2015年1月13日的上海銀行間隔夜拆借利率為基準(zhǔn)利率,運(yùn)用SAS軟件對(duì)2015年1月13日銀行間債券市場(chǎng)上的3只貼現(xiàn)債券:14進(jìn)出74、14貼現(xiàn)國(guó)債06、15浦發(fā)CD002進(jìn)行分析,探索我國(guó)的利率期限結(jié)構(gòu)。
利用極大似然估計(jì)法,通過(guò)Newton-Raphson非線性最優(yōu)化方法估計(jì)出Vasicek模型的參數(shù)如下表:
表一參數(shù)估計(jì)結(jié)果(2015年1月13日的參數(shù))
HT6.5BG(!SDFXDF
BHDFG2*2,F(xiàn)K4,K8,K5。3,K6,KF模型估計(jì)方法αθσλστ
BHDVasicek純時(shí)間序列1500000000242960074922
BH時(shí)間序列/截面1500000000242960074922-119682840005256
BG)F
在估計(jì)出兩個(gè)短期利率模型參數(shù)的基礎(chǔ)上,結(jié)合前文給出的零息票債券理論價(jià)格公式,可以推導(dǎo)出利率期限結(jié)構(gòu)。
張艷麗.TIF;%110%110TS(JZHT7.H圖1Vasicek模型的利率期限結(jié)構(gòu)(藍(lán)色:遠(yuǎn)期利率;黑色:即期利率)TS)KH*2
四、模擬短期利率衍生過(guò)程
在得出Vasicek模型的參數(shù)之后,可以將參數(shù)代入到原模型中來(lái)模擬短期利率的變動(dòng)過(guò)程。Vasicek模型的離散形式為:
Δrt=α(θ-rt-1)Δt+WtWt~N(0,σ2rt-1Δt)
其中,Δt為時(shí)間間隔,這里取為一天;Wt為服從正態(tài)分布的殘差,α,θ和σ是待估參數(shù)。
Vasicek模型模擬利率過(guò)程與實(shí)際利率過(guò)程的比較如圖2所示:
張艷麗2.TIF;%110%110TS(JZHT7.H圖2TS)KH*2
五、結(jié)論
基于極大似然估計(jì)方法,使用Vasicek模型對(duì)上海銀行間同業(yè)拆借利率的動(dòng)態(tài)特性進(jìn)行刻畫,對(duì)其期限結(jié)構(gòu)進(jìn)行了實(shí)證研究,結(jié)果發(fā)現(xiàn):Vasicek模型對(duì)上海同業(yè)間拆借利率的動(dòng)態(tài)特性具有很好的刻畫和描述能力,還發(fā)現(xiàn)混合使用時(shí)間序列和截面數(shù)據(jù)估計(jì)方法比使用純時(shí)間序列估計(jì)方法的效果更好。以上研究為今后進(jìn)一步分析上海銀行間同業(yè)拆借利率動(dòng)態(tài)特性提供了基礎(chǔ)和依據(jù)。