孫曉燕

摘 要：隨著新課程標準的深入，提升小學數(shù)學“解決問題”能力，已越來越成為大家關(guān)注及研究的焦點?；谶@樣的背景，以小學數(shù)學為樣本，對提升“解決問題”能力進行了專項整治；提出促使小學數(shù)學“解決問題”走出當前低迷狀態(tài)的一些心得和策略。

關(guān)鍵詞：解決問題；專項訓練；畫圖；聯(lián)想；意義

2001年新課改以后，在九年義務教育中占突出地位的“應用題”消失了，取而代之的是“解決問題”。直到目前，大家對解決問題還存在一些問題：應用題到解決問題是名稱改變，還是本質(zhì)改變？如何科學界定數(shù)學中的解決問題？它是一種理念、一種學與教的方式，還是一種數(shù)學問題的闡述形式？

筆者認為，“解決問題”脫胎于應用題，但絕不同于應用題。解決問題是個體在一個新情境下，根據(jù)已有的知識和經(jīng)驗對發(fā)現(xiàn)的新問題尋求答案的心理過程。這里講的“問題”是初次見面的新問題，解決問題的策略也是新的；具體來說，是無法從已掌握的知識或經(jīng)驗中直接找出現(xiàn)成的方法以達到解決問題的目的，至少要利用已有的知識、技能、方法進行復雜的加工，它是學生克服各種障礙的探究活動。如果再運用已知的方法、策略去解決其他問題，就不再是“解決問題”，而是一般的練習作業(yè)了。“解決問題”是對傳統(tǒng)應用題的繼承和改造，具有知識應用與思維訓練等多重價值。

“解決問題”對小學數(shù)學來說永遠是一塊難啃的骨頭。教材中關(guān)于解決問題的專門教學只有零星的幾堂課，更多的是零散地貫穿于教學當中。盡管新教材已用了近十年，我們不禁還是要問：這樣一項重要能力我們?nèi)绾蝸砼囵B(yǎng)？以下是筆者在平時教學中發(fā)現(xiàn)的一些問題和自己思考后進行的一些梳理。

一、讓畫圖成為解決問題的方法

1.問題情景描述

在教學“倍數(shù)的認識”一課的作業(yè)練習時有這么一道線段圖：

■

有學生列的算式是

蘋果：18×2=9

香蕉：3×6+8=26

本以為學生又是粗心把9看成了6，于是，我就耐心地問了學生。

師：你怎么會是3×6+8呢？又粗心，把9抄成6了吧！

生：沒看錯啊。（心里想著這孩子事實都擺在面前了，居然還不認帳。）

師：那你怎么寫成3×6+8？怎么想的呢？（耐著性子繼續(xù)問）

生：我是這樣想的：這一小段嘛，可以自己隨便想一個數(shù)的，你想寫幾就可以寫幾。我把它當成6，有這樣的3段，就是3×6，還多了8，就是再加上8。

于是，我終于明白，原來問題在這里：學生對于單獨的線段圖的理解是到位的，但根本就沒有將三幅線段圖聯(lián)系起來看，而是把香蕉當成是獨立的一幅圖。

“錯誤的回答通常不是粗心所致，也不是教師沒有教過這方面的知識，或者缺乏對問題的思考。錯誤的回答常常有著理論的支撐。如果你想學生修正并優(yōu)化他們已知的，理解學生們的理解就是非常重要的。”

“當你走近學生，了解學生的時候，你會發(fā)現(xiàn)這背后隱藏著一個很大的漏洞，還等著你去彌補。”

思考：在解答問題有困難時，很多教師會說畫線段圖試試看，但結(jié)果是不少學生不太會畫圖，畫了圖又不會讀圖。原本想讓畫圖成為解決問題的方法，卻不知又成為學生解決這道應用題的另一個新障礙。是不是可以這樣說，畫圖只是解決問題的一個手段，而沒有被學生認可為一種真正的好方法。手段和方法是不一樣的。從手段到方法需通過一定的過程。手段只是一種工具、一種載體，手段成為方法還需要技能訓練、

分析原因，線段圖的呈現(xiàn)無疑會將數(shù)量之間的關(guān)系有意地進行割裂，給學生的學習又造成了新障礙。比如上述這道題，如用文字表達香蕉是蘋果的3倍多8個，香蕉與蘋果之間的關(guān)系是顯而易見的，但到了圖中，關(guān)系并不是直接告訴的，需要孩子們自己去尋找去共建，根據(jù)上下圖之間的關(guān)系找到兩者之間的關(guān)系。而對于這套線段圖并不是很關(guān)注的教材，平時訓練又比較少的情況下畫圖、看圖并不容易。

2.專項訓練目標

線段圖是解決問題的重要方法之一，線段圖的教學不需太強化但也不能忽視，需要挖掘以往教材中線段圖教學的精華，適當取舍，進行有意識的價值引領(lǐng)，不斷在各種需要的情境中讓學生體會理解線段圖的妙用，并逐步掌握畫線段圖的技能和方法，讓學生學得更靈活更自主，為以后學生自主選擇解決問題的策略做好滲透教學，逐步形成一種數(shù)學素養(yǎng)。

3.專項訓練內(nèi)容

（1）認識到畫線段圖的重要性

①化抽象為具體

線段圖采用了數(shù)與形相結(jié)合的形式，將事物之間的數(shù)量關(guān)系一目了然地表示出來，使抽象問題具體化，復雜關(guān)系明朗化。這是小學數(shù)學學習中常用的一種解題策略。尤其在學習分數(shù)百分數(shù)的應用題、行程問題等實際問題時，學生只要把部分與整體的關(guān)系、具體數(shù)量與比率的對應關(guān)系正確地表示出來，解決問題的任務就完成了一半。

如讓學生用畫圖來表示“蘋果有5個，梨比蘋果多3個”這一數(shù)量關(guān)系。學生嘗試畫圖，大部分學生都選擇了用圖形代替蘋果來畫圖，少量的學生畫了線段圖。學生覺得兩幅圖都能反映兩個量的關(guān)系。甚至是前一幅圖更形象。接著教師又說：說的很好。我還有一個問題，如果告訴我們蘋果有a個，梨比蘋果多b個。也用畫圖表示他們的關(guān)系，你會怎樣表示？這個時候?qū)W生認識到了圖形是有局限性的，在表示兩個量關(guān)系上線段圖更具有優(yōu)勢。

要讓學生接受畫圖、畫線段圖，教師需要有意識地創(chuàng)設情境讓學生感受到線段圖的重要性以及在解決問題中的優(yōu)勢。

②化難為易

有的題目，數(shù)量關(guān)系比較復雜，學生難以理清，借助線段圖可以準確找出數(shù)量間的對應關(guān)系，很容易解出要求的問題。如有這樣一道情景題：林林的爺爺今年75歲了，他們家張羅著要給爺爺做壽，林林還有兩個哥哥，也就是說爺爺一共有三個孫子，他們分別是25歲、15歲、5歲，林林是最小的。壽筵可熱鬧了，爺爺對三個孫子講自己以前受苦的日子，爺爺說：“如果我還能看到你們?nèi)齻€人的歲數(shù)加起來等于我的歲數(shù)就好了?！彼麄?nèi)齻€對了對眼，異口同聲地說：“爺爺，您一定能看到?！睜敔斅犃?，高興地笑了起來。我很疑惑，再過多少年爺爺?shù)哪挲g是他們?nèi)齻€人的年齡和呢？教學時，教師就可以引導學生畫出以上的線段圖，從線段圖中很容易得出解題算式（75-45）÷（3-1）=15（年）。

■

③化繁為簡

有些題目數(shù)量較多，數(shù)量關(guān)系學生感覺比較亂，學生容易混淆。通過畫線段圖，可以幫助學生理清其中的數(shù)量關(guān)系。

④化知識為能力

線段圖不但使學生解決問題不再困難，而且借助線段圖，可以對學生進行多種能力的培養(yǎng)。如一題多解能力的培養(yǎng)、根據(jù)線段圖來編題，進行說話能力的培養(yǎng)等。

（2）有序規(guī)劃，逐步學會看、畫線段圖。

■

（3）加強題、圖、式的連結(jié)，以幫助學生深層思考

在研究解題錯誤類型中發(fā)現(xiàn)，二年級學生圖示的困難主要是減法基模錯誤，線段圖概念不穩(wěn)固，無法找到正確的較大集合，在較大集合中分出較小集合與差異量。臺灣學者林秀燕（2005）在研究中指出圖示策略對于學生在“比多少”應用題的解題上，具有良好的保留效果?？梢妶D示策略確實能夠幫助學生解題時，做深層的省思，避免掉入關(guān)鍵字的陷阱里。特別是比多少應用題，通過畫線段圖幫助理解，尋求解題思路帶來的直觀性幫助，能使圖示效果發(fā)揮最大功效。

例如，“閱覽室有489本童話書，童話書比漫畫書少457本。漫畫書有幾本？”部分學生讀題后眉頭緊皺，對該題的結(jié)構(gòu)模糊不清，感到無從下手。此時教師可引導分三步逐步畫出線段圖來幫助解題。

①閱覽室有489本童話書，用線段圖表示：■

②童話書比漫畫書少457本，漫畫書有幾本？說明漫畫書更多，線段應該畫得更長。線段圖表示：■

③標明相差量：■

將線段圖畫好后，這道題數(shù)量之間的關(guān)系也就一目了然了。此題的等量即漫畫書的數(shù)量=童話書的數(shù)量+相差量，因此求漫畫書的數(shù)量只要用童話書的數(shù)量加相差量，也就是489加457即可。

二、加強聯(lián)想，提升信息敏感度

1.問題情景描述

這是一節(jié)分數(shù)乘法的復習課，教師出示了這樣一個信息：男生是女生的■，根據(jù)這句話你能想到什么？很欣賞上課的老師設計這樣的環(huán)節(jié)，說得越多，說明學生產(chǎn)生了大量有價值的數(shù)學聯(lián)想，并給予了清晰的表達。說明學生的知識溝通能力是比較強的。期待著學生的精彩發(fā)言，但是十分遺憾，教室里居然沉默了好一會兒也沒人發(fā)言，經(jīng)過教師的啟發(fā)，只有個別學生說出：男生是全班人數(shù)的十分之三，女生是全班人數(shù)的十分之七。女生是男生的多少？就沒有其他答案了。

思考：當時心里很納悶，怎么會是這樣的狀況，這樣的學習情況只能解答較為簡單的問題，稍有變式就很困難。為什么會產(chǎn)生這樣的情況，分析原因，我覺得教師在日常教學中對于類似“看到問題或條件說說你想到了什么？”這樣的訓練是比較少的。這也造成呈現(xiàn)題目后學生不能快速進行相關(guān)條件的聯(lián)系與溝通。

2.專項訓練目標

根據(jù)已知信息、問題或算式進行聯(lián)想能促使學生構(gòu)建良好的數(shù)學模型、較好地運用數(shù)量關(guān)系來解決相關(guān)問題。教師需要安排內(nèi)容進行經(jīng)常性地相應訓練，對一些主要的數(shù)量關(guān)系、基本的模型學生應有較高的敏感度，提高分析、綜合能力，以較大程度地提升學生解決問題的能力。

3.專項訓練內(nèi)容

（1）找相關(guān)聯(lián)的信息

老師在平時的教學習題中可以給學生提供一些信息，讓學生在多條信息中找到相關(guān)聯(lián)的量。例如：

選擇信息，使它們分別成為一道連乘應用題，并列式計算。

問題一：小林一星期（7天）能跑多少米？選擇（）號和（）號信息；

問題二：育才小學4層教學樓共裝了多少盞吊扇？選擇（）號和（）號信息。

①每間教室有2盞吊扇；②每天跑步400米，

③每天跑4圈； ④每間教室有6排座位；

⑤每層樓有5間教室；⑥每圈200米。

上述信息中，①和⑤是相關(guān)的量；④和⑤也是相關(guān)的量。

根據(jù)這些相關(guān)的量能夠求出什么？再如③和⑥是相關(guān)的量，通過這兩個量可以求出每天跑多少米。

教學時可以問②和⑥為什么不是相關(guān)的量；還可以創(chuàng)編一個與②相關(guān)的量，可以編跑了4天。通過找相關(guān)聯(lián)的信息來促使學生經(jīng)常性地熟悉數(shù)量關(guān)系，不斷提升學生們的一種信息敏感度。

文字中可以找相關(guān)聯(lián)的量，圖形中也可以找相關(guān)聯(lián)的量。如下圖：

■

3元一根和30根是相關(guān)聯(lián)的兩個量；8箱冰棍和30根是兩個相關(guān)聯(lián)的量。

（2）重視基本結(jié)構(gòu)的訓練

知道怎樣才能構(gòu)成一道完整的應用題。缺少條件要補充條件，缺少問題要補充問題，條件與條件、條件與問題之間要有一定的聯(lián)系。教學時可以進行提問題、填條件的練習。通過訓練，使學生看到相關(guān)聯(lián)的兩個條件能提出問題，看到一個問題一個條件就能意識到還要補充什么條件。這一訓練還可以使學生加深對應用題數(shù)量關(guān)系的認識，也為今后教學復合應用題提出中間問題做準備。

教學時還可以安排有多余或缺少信息的題目的單項練習。例如，“托姆有4只小狗，薩姆有3只小貓，巴布有5只小狗。一共有多少只小狗？”“同學們?nèi)メ烎~，一半人沒去過，沒去過的有多少同學？”通過這樣的題目，可以使學生根據(jù)問題正確選擇必需的已知數(shù)，從而有助于提高學生分析問題的能力。

（3）根據(jù)已知條件或問題你能想到什么

教學中可以經(jīng)常性地出現(xiàn)看到條件、問題你能知道什么。出現(xiàn)以加、減、乘、除為基本運算的多樣信息讓學生進行述說。如小紅40朵、小麗20朵，想到什么：小紅給小麗5朵兩人就一樣多等等。小紅的朵數(shù)比小麗的2倍多5朵，想到什么？在這個過程中也可結(jié)合相應的圖示，使學生對類似的數(shù)量關(guān)系理解得更為清晰到位。

（4）尋找薄弱環(huán)節(jié)，針對性地練習

應用題中學生的信息敏感性中，對于差的總量對應差的份數(shù)是比較弱的。

如：聰聰和明明在同一個游泳池游泳，聰聰游了3個來回，明明游了5個來回。明明比聰聰多游了100米，游一個來回是多少米？

成人比較習慣于這樣的題但對于孩子來說卻是困難的。

再如：長江三峽水庫總庫容大約是黃河小浪底水庫的3倍。黃河小浪底水庫的總庫容比長江三峽水庫少260億立方米。長江三峽水庫的總庫容是多少億立方米？

學生往往找不到260對應的量，列式為260÷3。對此，教師可在教學中構(gòu)建完善的數(shù)率對應的類型。不僅是和倍、差倍也要進行適當?shù)难a充。

這些訓練都是為了加強數(shù)量關(guān)系教學。近年來，要求新教材解決問題“加強數(shù)量關(guān)系教學”的呼聲增多。這一呼聲反映了解決問題教學的內(nèi)在要求。因為不管題目的呈現(xiàn)方式如何變化，只要它“根據(jù)已知信息解答相關(guān)問題”的本質(zhì)屬性不變，就必須引導學生分析數(shù)量關(guān)系。只有熟悉常見的數(shù)量關(guān)系，掌握分析與綜合的思考方法，學生在獲取信息后才能迅速根據(jù)問題情境中的數(shù)量關(guān)系，正確作出解題方法的判斷。如果一個學生搞不清數(shù)量之間的關(guān)系，怎么會提出問題、分析問題、解決問題呢？解決問題教學，不能只強調(diào)“自主創(chuàng)新”，還要注意“打好基礎(chǔ)”，沒有基礎(chǔ)怎么創(chuàng)新呢？讓學生掌握分析、綜合的思維方法并內(nèi)化成解決問題的策略，是一項階段性工程，需要我們教師結(jié)合教學內(nèi)容作出整體規(guī)劃。

三、淡化類型，注重意義理解

1.問題情景描述

曾聽六年級“利率”一課，教師全程都沒有環(huán)節(jié)讓學生理解什么是利率，而是很快地呈現(xiàn)公式：本金×利率×時間=利息，解題時要求學生根據(jù)公式來說明解題思路。課后我詢問了坐在教室后面幾排的學生，利率是什么意思，沒有一個學生能回答上來。不理解“利率”的意義意味著學生又多學了一個新的問題，又增加了新的學習負擔，他在解答這類題的時候要去想公式是怎樣的，一定會去套用公式。

把利率這一知識點的教學和百分數(shù)的內(nèi)容割裂開來。如果學生理解利息與本金的比值就是利率，就是利息占本金的百分比，那么這節(jié)課就通過百分數(shù)這個體系當中去了，無非就是百分率的其中一種表現(xiàn)形式而已，它與出勤率、發(fā)芽率等都是相通的。

新課程的解決問題和傳統(tǒng)的應用題教學有著本質(zhì)的不同。

新課程解決問題的關(guān)鍵是分析數(shù)量關(guān)系，數(shù)量關(guān)系的核心又是概念和運算的意義。因此最終解決問題的核心、根是概念和運算的意義。

2.專項訓練目標

解決問題的核心支持是概念和運算的意義。注重意義理解，才能更好地有助于學生分析數(shù)量關(guān)系，建立數(shù)學模型，為學生提供有效的解決問題的思路。教學中需思考支撐實際問題情境的運算意義，經(jīng)歷實際問題與運算意義有機聯(lián)系的過程，在充分理解運算意義的基礎(chǔ)上探索解題思路。

3.專項訓練內(nèi)容

（1）淡化類型

以往應用題教學過于注重問題的類型和固定解法，套搬題型的現(xiàn)象比較嚴重。這樣做可以提高學生解答符合“題型”時的問題的速度，但不利于培養(yǎng)學生解決實際問題的能力。沒有了傳統(tǒng)的應用題類型，不去訓練學生記憶一些基本應用題的類型，如何指導學生分析問題和解決問題呢？曾拜讀過張奠宙教授的《應用題要有類型，但是不要“類型化”》一文，文中講到要淡化分類是必然的趨勢，但是也不能走向另一個極端：不講類型。有的地方不準叫“應用題”，今天學“鉛筆有幾枝”，明天學“燕子飛走了”，不做一些基本的分類和概括，實際上是作繭自縛，矯枉過正的表現(xiàn)。張教授還指出，長期以來，為了強調(diào)某種數(shù)量關(guān)系的理解，我們常常強化某種類型問題的解題方法。但無論如何，以下的7種類型是必須進行正面提出，讓學生認真學習的。

行程問題路程=速度×時間

工程問題 工作量=工作時間×工作效率

價格問題總價格=單價×數(shù)量

利息問題利息=本金×利率

利潤問題利潤=成本×利潤率

折扣問題金額=價格×折扣率

百分數(shù)問題 數(shù)量=總量×百分比

我們的小學應用題必須講解這些類型。這些概念是生活需要的常識，又是語文、社會等其他學科不會詳細涉及的。一種異化的做法是，按照問題情境，把應用題類型固化，專對一類情境歸納公式，而且憑強記、快做爭取考試成績，就把路走歪了。例如，當學習完“梨樹有20棵，蘋果樹比梨樹多8棵，蘋果樹有多少棵？”老師強調(diào)：看到“多”就想到“加”，于是，當學生看到“梨樹有20棵，比蘋果樹多8棵，蘋果樹有多少棵？”學生總是先想到“加法”，結(jié)果錯了。當學習完“科技書有20本，故事書比科技書的2倍還多2本，故事書有多少本”，老師強調(diào)：看到“倍”想到“乘”，看到“多”想到“加”。于是，當學生看到“科技書有20本，比故事書的2倍還多2本，故事書有多少本”時，學生總是先想到用“乘加”，結(jié)果又錯了。以上是簡單的錯誤，都來自固化數(shù)學的某種模型。講死了，思維變得機械了。要類型，但是不要“類型化”。這就是我們的結(jié)論。

（2）關(guān)注四則運算意義的理解

需要知道加減乘除這四類基本運算的模型的基本類型。

以加法做合并或移入的模型；以減法做拿走、比較、移出或加法逆運算的模型；以乘法做大小的變化、交叉相乘或比率因子的使用模型；以除法做比、率、比率除法、大小變化除法和乘法的逆運算的模型”。

例如乘法的學習，二年級教材提供的是“求幾個相同數(shù)的和”的結(jié)構(gòu)的實際情境，然后從中抽象出乘法；然后，學生將開始接觸到具有“倍”的實際情境；在三年級面積學習時，學生又接觸到乘法在“求長方形面積”的實際情境中的運用。這些對于乘法實際背景的積累將一直延伸到小數(shù)、分數(shù)的乘法，特別是對于“倍”的認識，將擴充到“幾分之幾”。教學時不是去記憶、背誦類型，比如“一個數(shù)的幾倍是多少”的應用題，不需要學生記憶一個數(shù)×倍數(shù)，而是提醒教師，這里又是一個新的實際背景，這個是與乘法運算有關(guān)的實際背景，需要考慮的是設計怎樣的環(huán)節(jié)、經(jīng)歷怎樣的過程將新的實際背景與運算意義進行有機聯(lián)系。

曾聽莫慧萍老師執(zhí)教的“求兩個數(shù)相差多少的應用題”一課。我們在這節(jié)課的教學中經(jīng)歷問題情境：操作、畫圖、猜測，理解運算意義幾個過程，將實際背景與運算意義進行聯(lián)系與溝通，學生在充分理解運算意義的過程中去探索解題思路。

師板書文字：紅圓有7個，黃圓有5個，紅圓比黃圓多幾個？

按以往可以很簡單地教學，已知紅圓是大數(shù)，黃圓是小數(shù)，求相差數(shù)用減法。如果這樣的教學固然能套用類型達到快速解題的作用，但是對于學生的理解是比較抽象的。在這節(jié)課的教學中，莫老師著重于讓學生看圖、操作、畫圖等形式，將這類應用題與減法的意義聯(lián)系起來，從而選擇用減法解決問題：從7個紅圓里同去掉和它對應的5個黃圓就是多的個數(shù)。

師：現(xiàn)在老師又放進了一些圓片（配合手勢），一個對一個地擺好（配合手勢），結(jié)果發(fā)現(xiàn)，紅圓還是比黃圓多2個。

出示算式：8-6=2（個）

師：根據(jù)這個算式猜一猜，蓋住了幾個紅圓？幾個黃圓？你是怎么知道的？（課件演示）

還可能蓋住了幾個呢？請你在紙上畫一畫。

■

請2名學生說蓋住了幾個，請另外的學生列式。

（）-（）=2

莫老師的這個環(huán)節(jié)很好地結(jié)合減法運算的意義，學生對于本節(jié)課的數(shù)量關(guān)系理解得非常深刻。8-6=2，遮住的是對應的部分，對應的是6個圓，較大的數(shù)就是6加多的部分是8。還可能蓋住了幾個了，分了幾個步驟來操作：一是告訴蓋住的個數(shù)，猜算式，再是呈現(xiàn)算式猜蓋住的，直觀與抽象的反復，從減法運算意義出發(fā)，對學生這一類型的應用題理解得是很透徹的。

要重視教給學生聯(lián)系運算意義，把解決問題中敘述的情節(jié)語言轉(zhuǎn)換成數(shù)學運算，在理解的基礎(chǔ)上用學生自己的語言敘述。對每一道題的算法，都要引導學生正確說理，學生能夠?qū)?shù)量關(guān)系從解決問題的情節(jié)中抽象出來，納入到已有的數(shù)學運算體系中去。通過學生操作和教師直觀演示等方法，使學生對題目的數(shù)量關(guān)系比較清楚，掌握問題的分析思路，從而避免學生僅僅依靠對題中某些詞語的臆斷或盲目嘗試來選擇算法。

總之，提升解決問題能力，需要我們教師思考新的教學思路，構(gòu)建新的教學體系，對解決問題有更多的思考、有更多的見解，并把這些思考更多地落實到平時的教學中去。

參考文獻：

［1］周玉仁.從應用題到解決問題［J］.小學數(shù)學教師，2010（7）.

［2］張奠宙.應用題要有類型，但是不要“類型化”［J］.現(xiàn)代數(shù)學，2006（1）.

（作者單位 浙江省杭州市余杭區(qū)大禹小學）

編輯 孫玲娟