樊衛(wèi)兵(山西中醫(yī)學院，太原 030024)

微粒群算法[1-2](Particle Swarm Optimization，PSO)是一種模擬鳥群飛行、魚群游動等社會行為的群體智能優(yōu)化算法，該算法由于速度較快、編程簡單，現已廣泛應用于許多實際問題[3-5]。

xij(t+1)=xij(t)+vij(t+1)

(1)

vij(t+1)=wvij(t)+c1r1(pij(t)-xij(t))+
c1r1(pgj(t)-xij(t))

(2)

標準微粒群算法較為簡單，它僅僅粗步模擬了鳥群的覓食行為，但經過自然界數以萬年的發(fā)展，鳥類一般都具有些特定的覓食模式，比如最優(yōu)覓食策略。為此，Y Chu等人將最優(yōu)覓食策略引入微粒群算法，提出了最優(yōu)覓食微粒群算法[7-8]。本文針對最優(yōu)覓食微粒群算法，討論其穩(wěn)定性條件，并給出了慣性權重的隨機選擇策略。

1 最優(yōu)覓食微粒群算法

經過億萬年的演化，動物的食物源一般均不是唯一的，因此，在覓食過程中就有一個食物選擇的問題。經過動物學家的研究，我們發(fā)現動物在覓食過程中，鳥群總是選擇最有利的食物，而不是最喜歡吃的食物[9]，這就是最優(yōu)覓食策略，該策略表明，動物在選擇食物時，總是趨于耗費更低的能量而獲得更多地能量，以達到能效最優(yōu)，從而提高生存概率。 在微粒群算法中，每個微粒都在搜索空間中覓食，它們一般傾向于搜索食物源較多的位置，而這一點顯然與上述的最優(yōu)覓食策略相悖。因此，從這個角度出發(fā)，我們將最優(yōu)覓食策略引入微粒群算法。

由于適應值函數表示食物源的多寡，可定義微粒群中某一微粒i受到的能效吸引為它和其它個體的適應值差別與兩個體之間距離的比值，即:

(3)

其中，Fik表示微粒i對微粒k的能效作用力，Fik>0表示微粒i受到微粒k的能效吸引，Fik<0表示微粒i能效排斥微粒k，Fik=0表示微粒i與微粒k處于能效平衡狀態(tài)。稱其它微粒對微粒i的最大能效作用力為Fi,max，即:

Fi,max=arg max{Fis(t)|s=1,2,…,D}

(4)

基于上述結論，Chu YF等人提出了下面的速度更新方式：

vij(t+1)=ωvij(t)+c2r2(pgj(t)-xij(t))+
c3r3(aij(t)-xij(t))

(5)

2 基于幾何速度穩(wěn)定性的參數選擇

考慮如下動態(tài)系統(tǒng)：

2)如果收斂具有指數速度，即存在正數θ<1和K1,K2使得:

下面就利用上述定理來分析最優(yōu)覓食微粒群算法的幾何速度穩(wěn)定性。為了方便起見，設φ2=c2r2，φ3=c3r3，φ=φ2+φ3，則最優(yōu)覓食微粒群算法的速度與位置進化方程可改寫為：

vij(t+1)=wvij(t)-φxij(t)+φ3aij(t)+φ2pgj(t)

xij(t+1)=wvij(t)+(1-φ)xij(t)+φ3aij(t)
+φ2pgj(t)

轉換為矩陣形式：

考慮歐式空間的∞范數，則有:

而

|φ3aij(t)+φ2pgj(t)|≤(c1+c2)·max{xmax,-xmax}

其中，[xmin,xmax]D為定義域空間，取c=(c1+c2)·max{xmax，-xmin},則定理中的c存在且非負。

假設θ=0.9，此時可進行如下討論：

1)當0<φ<0.5時，ω+φ<ω+1-φ<0.9<1，即0<ω<φ-0.1；

2)當0.5≤φ<1時，ω+1-φ<ω+φ<0.9<1，即0<ω<0.9-φ；

3)當φ>1時，不成立；

綜上所述，ω和φ的參數選擇為:

(6)

為了和其他的算法進行區(qū)別，因此將本文中的改進算法稱為基于幾何速度穩(wěn)定性的最優(yōu)覓食微粒群算法(optimal foraging particle swarm optimization with geometric speed stability，簡稱OFPSO_GSS).

下面給出具有幾何速度穩(wěn)定性的最優(yōu)覓食微粒群算法(OFPSO_GSS)的流程：

1)依照初始化過程，對粒子群的隨機位置和速度進行初始設定；

2)按照式(6)中得到的慣性權重ω進行設置；

3)利用最優(yōu)覓食微粒群算法的進化方程更新各微粒的速度及位置向量；

4)計算每個微粒的適應值；

5)更新各微粒的個體歷史最優(yōu)位置與群體歷史最優(yōu)位置；

6)如未達到結束條件通常為足夠好的適應值或達到一個預設最大迭代次數，則返回步驟2.

3 仿真實驗

為了能提供更加準確的分析，考慮兩種距離度量，分別為歐氏距離和邏輯距離，其歐氏距離定義為：

相應地，邏輯距離為：

dij=|j-i|

在算法比較中，考慮歐氏距離為度量標準的最優(yōu)覓食算法(optimal foraging particle swarm optimization with Euclid distance，OFPSOED)、邏輯距離為度量的最優(yōu)覓食算法(optimal foraging particle swarm optimization with logical distance，OFPSOLD)、標準微粒群算法(standard particle swarm optimization，SPSO)、帶時間帶時間加速常數的微粒群算法[11](MPSO_TVAC)及被動聚集微粒群算法(Particle swarm optimization with passive congregation，PSOPC)[12]進行比較，并選擇如下5個典型的測試函數進行測試：

表1 300維算法性能比較

Rosenbrock Function：

Schwefel Problem 2.26 Function：

min(f2)=f2(420.968 7，…,420.968 7)=-418.982 9n

Rastrigin Function：

-5.12≤xi≤5.12,min(f3)=f3(0,…,0)=0.Ackley Function：

min(f4)=f4(0,…，0)=0

Penalized Function：

sin2(3πxi+1)]+(xn-1)2[1+sin2(2πx30)]}+

min(f7)=f7(1,…,1)=0,其中：

SPSO與OFPSO_GSS的加速度常數均為2.0，SPSO與MPSO_TVAC的慣性參數ω從0.9線性遞減至0.4.而OFPSO_GSS的慣性權重按照公式(6)進行選擇。對于MPSO_TVAC而言，其認知系數從2.5線性遞減至0.5，而社會系數則從0.5線性遞增至2.5.

表1為五個算法在五個測試函數中的性能比較，結果表明對于高維多峰優(yōu)化問題，兩種最優(yōu)覓食微粒群算法都優(yōu)于其它三種算法，并且歐氏距離為度量標準的最優(yōu)覓食算法性能更佳。

4 結論

最優(yōu)覓食微粒群算法是一種高效的改進微粒群算法，該算法通過引入動物的最優(yōu)覓食策略，較為真實地模擬了動物的覓食行為。本文利用幾何速度穩(wěn)定性分析了最優(yōu)覓食微粒群算法的穩(wěn)定性，給出了穩(wěn)定性條件。為驗證其性能，本文選取了五個算法在5個典型測試函數下進行性能比較，仿真結果證明了該策略的有效性。

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