陳元千，郝明強(qiáng)

（中國(guó)石油勘探開發(fā)研究院，北京100083）

1945年，Arps［1-2］通過定義損失比（Loss ratio）參數(shù)，對(duì)油井實(shí)際產(chǎn)量遞減數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，并在未經(jīng)推導(dǎo)的情況下提出了一個(gè)常微分方程。在此基礎(chǔ)上，首創(chuàng)性建立了指數(shù)、雙曲、調(diào)和3 種遞減模型，受到學(xué)界的高度重視，并被世界各石油公司和儲(chǔ)量?jī)r(jià)值評(píng)估公司廣泛應(yīng)用于產(chǎn)量和可采儲(chǔ)量預(yù)測(cè)。筆者在此方面通過長(zhǎng)期深入研究，也取得了一些成果［3-16］。本文應(yīng)用文獻(xiàn)［3］的研究成果，對(duì)Arps 微分方程進(jìn)行了理論推導(dǎo)。

1 Arps 微分方程的推導(dǎo)

Arps 遞減率為單位時(shí)間的產(chǎn)量變化率［1-2］，表示為

式中：D 為遞減率，月-1或a-1；q 為遞減階段產(chǎn)量，m3/月或104m3/a；t 為生產(chǎn)時(shí)間，月或a。

由此，Arps 初始遞減率Di可相應(yīng)表示為［2］

式中：qi為初始階段產(chǎn)量，m3/月或104m3/a。文獻(xiàn)［3］給出遞減率與時(shí)間的關(guān)系式為

式中：n 為遞減指數(shù)，取值［0，1］，n=0 時(shí)產(chǎn)量為指數(shù)遞減，0

對(duì)式（3）兩邊求倒數(shù)后，得出

實(shí)際數(shù)據(jù)［1］表明D-1-t 呈直線關(guān)系（見圖1），相關(guān)系數(shù)高達(dá)0.999 2，這證明了式（4）的正確性。

圖1 D-1-t 關(guān)系曲線

對(duì)式（4）兩邊關(guān)于t 進(jìn)行求導(dǎo)，得

式（5）清晰地展現(xiàn)了遞減指數(shù)n 的含義。將式（1）代入式（5），即可得出與Arps 相同的二階常微分方程：

對(duì)式（6）兩邊積分，得到Arps 一階常微分方程為

式中：c 為積分常數(shù)。

當(dāng)t=0 時(shí)，q=qi，由式（7）得

結(jié)合式（2），得

將式（9）與式（7）結(jié)合，可得

式（10）也可由式（4）結(jié)合式（1）直接得出，式（5）—式（7）的推導(dǎo)過程便于理解Arps 微分方程的由來。

2 Arps 微分方程的應(yīng)用

在Arps 微分方程基礎(chǔ)上，在［0，1］區(qū)間假定不同的n 值，由式（10）求解得出Arps 的3 種遞減模型。

2.1 指數(shù)遞減模型

當(dāng)n=0 時(shí)，可將式（10）改寫為

對(duì)式（11）求倒數(shù)，并關(guān)于q，t 分離變量積分，得到

對(duì)式（12）求積、簡(jiǎn)化，得到Arps 指數(shù)遞減模型為

2.2 雙曲遞減模型

當(dāng)0

對(duì)式（14）求積并整理，得到Arps 雙曲遞減模型為

2.3 調(diào)和遞減模型

當(dāng)n=1 時(shí)，由式（10）可得

對(duì)式（16）進(jìn)行分離變量積分，得到

對(duì)式（17）求積并整理，得到Arps 調(diào)和遞減模型為

［1］Arps J J.Analysis of decline curve［J］.Trans.A.I.M.E.，1945（160）：228-247.

［2］Arps J J.Estimation of primary oil reserves［J］.Trans.A.I.M.E.，1956（207）：182-186.

［3］陳元千.雙曲遞減分析的一個(gè)簡(jiǎn)單方法［J］.天然氣工業(yè)，1989，9（2）：24-27.

［4］陳元千.油氣藏工程計(jì)算方法［M］.北京：石油工業(yè)出版社，1990：223-227.

［5］陳元千，李璗.現(xiàn)代油藏工程［M］.北京：石油工業(yè)出版社，2001：127-161.

［6］陳元千.確定遞減類型的新方法［J］.石油學(xué)報(bào)，1990，11（1）：74-80.

［7］陳元千.確定定容氣藏遞減類型的新方法［J］.石油勘探與開發(fā)，1984，11（3）：52-59.

［8］陳元千.常數(shù)百分遞減的分析［J］.天然氣工業(yè)，1986，6（1）：47-50.

［9］陳元千.判斷油田遞減類型的新式典型曲線圖［J］.中國(guó)海上油氣（地質(zhì)），1993，7（6）：33-39.

［10］胡建國(guó)，吳劍霞，陳元千.產(chǎn)量遞減分析的典型曲線圖［J］.新疆石油地質(zhì)，1993，14（2）：147-151.

［11］陳元千.雙曲線遞減的簡(jiǎn)化及確定可采儲(chǔ)量的截距法［J］.天然氣工業(yè)，1994，14（4）：32-37.

［12］陳元千.利用遞減參數(shù)確定可采儲(chǔ)量的方法［J］.石油勘探與開發(fā)，1994，21（3）：95-98.

［13］陳元千.廣義的КОПЫТОВ公式及其應(yīng)用［J］.石油勘探與開發(fā)，1991，18（1）：56-61.

［14］陳元千，胡建國(guó).新型遞減曲線方程的推導(dǎo)及應(yīng)用［J］.新疆石油地質(zhì)，1992，13（3）：251-256.

［15］陳元千.預(yù)測(cè)油氣田可采儲(chǔ)量和剩余可采儲(chǔ)量的快速方法［J］.新疆石油地質(zhì)，2005，26（5）：544-548.

［16］陳元千，王孝金，程繼榮，等.適用于海外合作開發(fā)油田預(yù)測(cè)可采儲(chǔ)量、產(chǎn)量和儲(chǔ)采比的方法［J］.中國(guó)海上油氣，2011，23（6）：380-383.