戴欣冉，錢曉凡，徐天杰

同軸菲涅耳全息中提取相位的算法

戴欣冉，錢曉凡*，徐天杰

（昆明理工大學(xué)理學(xué)院激光研究所，昆明650500）

同軸全息術(shù)得到的相位通常都有彎曲和畸變，且0級(jí)和±1級(jí)再現(xiàn)像相互重疊，使得以往在離軸全息中常用的相位補(bǔ)償處理技術(shù)在同軸菲涅耳全息中效果不佳。為了解決該問(wèn)題，采用一種僅需拍攝一幅同軸菲涅耳數(shù)字全息圖，對(duì)該全息圖做必要處理得到另一幅全息圖，通過(guò)將兩幅全息圖的衍射再現(xiàn)光場(chǎng)相減消除相位彎曲，以及0級(jí)像和矩孔衍射對(duì)相位的影響，從而提取待求光場(chǎng)相位近似值的方法，進(jìn)行了相應(yīng)的理論推導(dǎo)和實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。結(jié)果表明，該算法相較以往使用的相位掩膜方法能夠得到更好的結(jié)果。

全息；同軸菲涅耳全息；數(shù)字全息圖；相位提取；算法

引 言

全息照相可以同時(shí)記錄和再現(xiàn)光場(chǎng)的振幅和相位，特別是隨著計(jì)算機(jī)和CCD技術(shù)的進(jìn)步而迅速發(fā)展起來(lái)的數(shù)字全息技術(shù)，由于可以數(shù)字化地記錄、再現(xiàn)光場(chǎng)相位，已經(jīng)在眾多領(lǐng)域取得了廣泛應(yīng)用［1-5］。按參考光、物光是否同軸，通常將全息照相分為同軸全息和離軸全息，其中離軸全息可以將再現(xiàn)像的原始像和共軛像分開(kāi)，避免它們的相互影響，因而在實(shí)際應(yīng)用中被更多地選用，但它不能充分利用CCD或CMOS本來(lái)就很有限的空間帶寬積；反過(guò)來(lái)，同軸全息能充分利用CCD或CMOS的空間帶寬積，加之光路簡(jiǎn)單，所以盡管它不能將原始像和共軛像分開(kāi)以避免相互影響，但在被記錄物體尺寸很小（如粒子場(chǎng)、細(xì)胞觀測(cè)）的情況下，因?yàn)楣曹椣竦挠绊懽冃?，同軸全息依然經(jīng)常被選用［1］。

使用全息術(shù)觀察物體最重要的目的是獲得相位分布信息，但由于原理和方法的原因，用全息術(shù)得到的相位信息通常都有相位彎曲和畸變，為了消除彎曲還原真實(shí)的物光場(chǎng)相位分布，往往需要采用復(fù)雜的補(bǔ)償處理技術(shù)。離軸全息應(yīng)用較多，相應(yīng)的補(bǔ)償處理方法研究也較多。比如在系統(tǒng)的兩個(gè)光臂中采用同樣的器件，并選用同樣的參量以抵消相位彎曲［6］，以及使用變焦系統(tǒng)抑制相位彎曲［7］等，這些屬于物理補(bǔ)償?shù)姆椒ǎ涣硪活惙椒ㄊ菙?shù)字補(bǔ)償法，基本思想是在全息的數(shù)字重建過(guò)程中乘以數(shù)字相位掩膜來(lái)補(bǔ)償相位彎曲。比如用一個(gè)空白全息像來(lái)對(duì)相位彎曲進(jìn)行補(bǔ)償［8］，或用多項(xiàng)式擬合的方法在像面提取相位掩膜［9］，以及直接用已知的系統(tǒng)參量生成分別位于記錄面和像面的數(shù)字相位掩膜［10］等。這些方法在不同程度上取得了成功，但卻不適用于同軸菲涅耳全息，原因是同軸全息只有一個(gè)光臂，物理補(bǔ)償?shù)姆椒ǜ揪筒荒懿僮鳎膊荒芘臄z空白全息像，用其它數(shù)字補(bǔ)償法只能消除二次相位彎曲，且不能去除0級(jí)像對(duì)相位的影響，于是，單獨(dú)研究同軸菲涅耳全息像中相位的提取算法是有必要的。

1 菲涅耳全息的記錄與再現(xiàn)原理

圖1是菲涅耳基元全息圖的記錄（見(jiàn)圖1a）、再現(xiàn)示意圖（見(jiàn)圖1b）。圖中（x，y）是全息記錄面，波長(zhǎng)為λ1的物光波和參考光波從點(diǎn)源O（xo，yo，zo）和點(diǎn)源R（xr，yr，zr）分別發(fā)出后在全息面上相干形成基元全息圖；若用從點(diǎn)源C（xC，yC，zC）發(fā)出且波長(zhǎng)為λ2的相干光照射全息圖，形成的再現(xiàn)像分別出現(xiàn)在I1（x1，y1，z1）和I2（x2，y2，z2）處。

Fig.1 Schematics of recording and reconstruction of Fresnel elementary hologram

全息面上記錄的基元全息圖的光強(qiáng)分布為：

將再現(xiàn)光與記錄光的波長(zhǎng)之比λ2／λ1記為μ，光場(chǎng)和將分別清晰成像在（xi，yi，zi）處：

2 從單幅同軸菲涅耳全息圖中提取物光相位的原理

下面任選一種情況加以說(shuō)明：將再現(xiàn)光選為參考光的共軛光，即（x，y）＝（x，y），λ2＝λ1，容易證明－1級(jí)光場(chǎng)將在z1＝－zo處清晰成像，它由原物光場(chǎng)的共軛光，再疊加一個(gè)球面光場(chǎng)組成，不過(guò)在該處＋1級(jí)光場(chǎng)U～4不能成清晰像，將發(fā)散在較大的空間區(qū)域，相應(yīng)的，其相位變化較慢。將分別用rec作衍射計(jì)算得到的光場(chǎng)和′相減，得到需要的共軛物光場(chǎng)的近似分布，從而方便地計(jì)算其相位分布。

3 驗(yàn)證實(shí)驗(yàn)光路及數(shù)據(jù)處理

Fig.2 Schematics of experiment setup

Fig.3 Experimental images of onion cells

作者設(shè)計(jì)的同軸菲涅耳全息記錄和再現(xiàn)數(shù)字全息細(xì)胞相位測(cè)量系統(tǒng)如圖2所示。He-Ne激光束（波長(zhǎng)λ1＝632.8nm）通過(guò)會(huì)聚透鏡L后經(jīng)針孔濾波器h變成球面光波，該球面光波照射樣品細(xì)胞衍射并到達(dá)全息記錄面后與透射光干涉，形成的全息圖用CCD記錄（CCD是卸去鏡頭的MTV-1802CB攝像頭，其像素?cái)?shù)為795×596，像素大小為0.0100mm× 0.0108mm，并與計(jì)算機(jī)聯(lián)接）。

實(shí)驗(yàn)中，針孔濾波器h到CCD的距離（參考光半徑）為zr＝109.6mm，樣品細(xì)胞到CCD的距離為zo＝35.5mm。樣品是一段新鮮洋蔥表皮，有21個(gè)完整的細(xì)胞，單個(gè)細(xì)胞的尺寸約為150μm×50μm。

圖3是實(shí)驗(yàn)全息圖、再現(xiàn)像及其相位分布結(jié)果。圖3a是記錄的同軸菲涅耳全息圖I（x，y），大小為5.12mm×5.53mm（512×512個(gè)像素）；圖3b是該全息圖的再現(xiàn)像；圖3c是平滑該全息圖后得到的全息圖I′（x，y）；圖3d是用I′（x，y）得到的再現(xiàn)像；圖3e和圖3f分別是平滑前、后全息圖的再現(xiàn)光場(chǎng)包裹相位，可以看到其上均疊加有球面光波的相位及矩孔衍射的相位；圖3g是用本文中提出的方法最終得到的共軛物光場(chǎng)的包裹相位，球面光波的相位及矩孔衍射的相位已經(jīng)被很好地消除，盡管還能觀察到的相位，但影響很小，應(yīng)該可以滿足大多數(shù)研究的需要。

為了說(shuō)明作者所提方法的優(yōu)勢(shì)，作為比較，先給出了通過(guò)系統(tǒng)參量計(jì)算數(shù)字相位掩膜，從而得到的共軛物光場(chǎng)包裹相位的結(jié)果，結(jié)果見(jiàn)圖4a。

其中，掩膜的相位P可以根據(jù)球面光場(chǎng)的相位確定，因?yàn)樵佻F(xiàn)距離z1＝－zo是知道的：

從圖4a可以看到，疊加上掩膜后（圖3e中的相位減去掩膜的相位），盡管有明顯的效果，但并沒(méi)有完全消除二次相位彎曲，這是因?yàn)閷?shí)驗(yàn)中測(cè)量針孔濾波器到CCD的距離zr，以及樣品細(xì)胞到CCD的距離zo都不可能沒(méi)有誤差，所以計(jì)算得到的數(shù)字相位掩膜也有誤差，為此，作者在此基礎(chǔ)上通過(guò)人工調(diào)整相位掩膜中再現(xiàn)距離z1，找到最佳的相位掩膜，疊加該掩膜后的結(jié)果如圖4b所示，這時(shí)雖然消除了二次相位彎曲，但矩孔衍射引起的相位卻依然存在。

作為比較，在此給出用多項(xiàng)式擬合像面相位掩膜的結(jié)果，結(jié)果如圖4c和圖4d所示。其中，圖4c是用二次多項(xiàng)式擬合的結(jié)果，主要消除二次相位彎曲，但沒(méi)能消除矩孔衍射引起的相位；而圖4d是用高次（20次）多項(xiàng)式擬合的結(jié)果，意在同時(shí)消除二次相位彎曲以及矩孔衍射引起的相位。從圖中可以看到，高次擬合確實(shí)可以同時(shí)消除二次相位彎曲以及矩孔衍射引起的相位，但細(xì)胞的相位細(xì)節(jié)也一同被消除，所以效果并不好。另外，用多項(xiàng)式擬合像面相位掩膜必須先求得光場(chǎng)的解包裹（去纏繞）相位，注意到疊加有二次彎曲的光場(chǎng)相位變化很快，非常容易出現(xiàn)欠采樣，能否順利完成相位解包裹本身就是一個(gè)不小的挑戰(zhàn)［15］。

Fig.4 Experimental phases by using different digital phase mask methods

總之，將圖4的結(jié)果與圖3g比較容易看到，在同軸菲涅耳全息的情況下，無(wú)論是直接采用系統(tǒng)參量生成的數(shù)字相位掩膜，還是用系統(tǒng)參量再輔以人工調(diào)節(jié)，或者用二次乃至高次多項(xiàng)式擬合得到的相位掩膜，其結(jié)果均沒(méi)有作者提出的算法好。

4 結(jié) 論

使用數(shù)字全息術(shù)最重要的目的是獲得光場(chǎng)的相位分布信息。同軸全息能充分利用器件的空間帶寬積，加之光路簡(jiǎn)單，所以依然經(jīng)常被選用，但用同軸全息術(shù)得到的相位信息通常都有相位彎曲和畸變，且0級(jí)和±1級(jí)再現(xiàn)像是重疊的，使得以往在離軸全息中應(yīng)用較多的補(bǔ)償處理技術(shù)對(duì)同軸菲涅耳全息而言效果不佳，為此作者提出了一種僅需拍攝一幅同軸菲涅耳數(shù)字全息，然后對(duì)該全息圖做必要處理得到另一幅全息圖，通過(guò)將兩幅全息圖的衍射再現(xiàn)光場(chǎng)相減消除二次相位彎曲以及0級(jí)像和矩孔衍射對(duì)相位的影響，從而提取待求光場(chǎng)相位近似值的算法。給出了相應(yīng)的理論推導(dǎo)和實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，證明新算法相較以往使用相位掩膜的方法而言，能夠得到更好的結(jié)果。

［1］ LU QN，GE B Z，LUOW G，et al.Progress of studies on digital holography and its application in particle field［J］.Journal of Optoelectronics·Laser，2002，13（10）：1087-1091（in Chinese）.

［2］ ZHU Z Q，WANG X L，SUN M，et al.One-shot phase-shifting on-axis digital holography based on spatial light modulator［J］.Journal Optoelectronics·Laser，2009，20（12）：1681-1684（in Chinese）.

［3］ XIA H T，GUO R X，F(xiàn)AN Z B，et al.Study on deformation measurement of transparent objects by digital holography［J］.Journal Optoelectronics·Laser，2011，22（7）：1046-1050（in Chinese）.

［4］ LIN C，QIAN X F，LIB，et al.Digital holographic zoom system measuring phase modulation characteristics of liquid crystal spatial light modulator［J］.Journal of Optoelectronics·Laser，2012，23（10）：1880-1884（in Chinese）.

［5］ HU C Y，ZHONG JG，GAO Y J，et al.The refractive index measurement of bio-film based on digital holographic microscopy［J］.Journal Optoelectronics·Laser，2010，21（1）：66-69（in Chinese）.

［6］ MALACARA D.Optical shop testing［M］.New Jersey，USA：Wiley，2007：122-128.

［7］ LIJC，F(xiàn)AN Z B，PENG Z J.Application research on the zoom system of digital holography［J］.Acta Photonica Sinica，2008， 37（7）：1420-1424（in Chinese）.

［8］ FERRARO P，NICOLA SD，F(xiàn)INIZIO A，et al.Compensation of the inherent wave front curvature in digital holographic coherent microscopy for quantitative phase-contrast imaging［J］.Applied Optics，2003，42（11）：1938-1946.

［9］ QU J，MENG K，WANG L S，et al.Diffraction of Bessel-Gaussian beam passing through annular and circular apertures［J］.Laser Technology，2008，32（4）：393-395（in Chinese）.

［10］ PANW Q，ZHU Y J，LANG H T.Phase-contrast imaging technology with digital holographic microscope based system calibration［J］.Chinese Journal of Lasers，2010，37（7）：1812-1820（in Chinese）.

［11］ CHANG Sh，MAO JJ，YANG JR，et al.Beam pattern transformation and simulation of fresnel diffraction of gaussian beam throughout micro-circular aperture［J］.Laser Technology，2012，36（4）：568-571（in Chinese）.

［12］ YASUHIRO T，HIROKI K，HITOSHI O.Hybrid holographic microscopy free of conjugate and zero-order images［J］.Applied Optics，1999，38（23）：4990-4996.

［13］ LIB，QIAN X F，LIX H，et al.The phase-unwrapping algorithm based on the principle of radial shearing［J］.Laser Technology，2013，37（1）：44-47（in Chinese）.

［14］ LI J Ch.The accurate calculation of Fresnel diffraction and Collins’formula by using the fast Fourier transform［J］.Journal Optoelectronics·Laser，2001，12（5）：529-532（in Chinese）.

［15］ QIAN X F，WANG Z L，HU T，et al.Reconstructing the phase of wave front using digital hologram and the principle of shearing interferometry［J］.Chinese Journal of Lasers，2010，37（7）：1821-1826（in Chinese）.

Phase retrieval method of in-line Fresnel digital holography

DAI Xinran，QIANXiaofan，XUTianjie
（Institute of Lasers，F(xiàn)aculty of Science，Kunming University of Science and Technology，Kunming 650500，China）

Besides the aberration，the overlapping with 0th and±1st images observed in the phase distribution is difficult to deal with，which is different from the phase compensation methods adopted in off-axis setup.A method was proposed to get the phase information from a single in-line Fresnel digital holography.By subtracting recoded hologram by a numerical hologram，effect of the phase curve，the 0th image and the diffraction of the rectangular aperture was eliminated.The phase can be retrieved.The theoretical analysis and the experimental results were presented.It is found that better phase result can be obtained than former digital phase mask method.

holography；in-line Fresnel holography；digital hologram；phase retrieve；method

O436.1；O438.1

A

10.7510／jgjs.issn.1001-3806.2014.02.006

1001-3806（2014）02-0172-05

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（61067004）

戴欣冉（1987-），女，碩士研究生，主要從事數(shù)字全息方面的研究。

*通訊聯(lián)系人。E-mail：qianxiaofan1＠sina.com

2013-05-03；

2013-06-03