簡(jiǎn)獻(xiàn)忠，周 海，喬靜遠(yuǎn)，李 瑩，王 佳

基于全變差重構(gòu)算法的數(shù)字全息研究

簡(jiǎn)獻(xiàn)忠，周 海，喬靜遠(yuǎn)，李 瑩，王 佳

（上海理工大學(xué)光電與計(jì)算機(jī)學(xué)院上?，F(xiàn)代光學(xué)系統(tǒng)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海200093）

為了消除傳統(tǒng)算法對(duì)數(shù)字全息重構(gòu)過程中會(huì)出現(xiàn)0級(jí)像、共軛像干擾的問題，將壓縮感知理論與數(shù)字全息圖再現(xiàn)相結(jié)合，提出了基于全變差的兩步迭代收縮閾值重構(gòu)算法（TwIST），并應(yīng)用于數(shù)字全息圖壓縮感知全息圖重建。TwIST算法根據(jù)重構(gòu)成分的特點(diǎn)增加正則約束，對(duì)相應(yīng)的形態(tài)進(jìn)行調(diào)整，在滿足全變差最小的特性的基礎(chǔ)上進(jìn)行重構(gòu)，提高了重構(gòu)全息圖的質(zhì)量。結(jié)果表明，TwIST算法可以對(duì)數(shù)字全息圖稀疏重建，利用35%的部分全息圖數(shù)據(jù)進(jìn)行圖像重構(gòu)，重構(gòu)圖像峰值信噪比為36.46dB，且沒有0級(jí)像和共軛像等干擾。該研究結(jié)果對(duì)實(shí)現(xiàn)計(jì)算全息的實(shí)時(shí)性具有重要的意義。

全息；壓縮感知；計(jì)算全息；數(shù)字全息圖；全變差重構(gòu)算法

引 言

數(shù)字全息是用CCD等光電探測(cè)器件代替全息記錄材料記錄全息圖，然后通過計(jì)算機(jī)用數(shù)字仿真的方法再現(xiàn)全息圖［1］。與傳統(tǒng)全息相比，這一方法制作成本低、成像速度快、具有明顯的簡(jiǎn)易性和靈活性等特點(diǎn)［2-4］。經(jīng)過多年的發(fā)展，出現(xiàn)了大量對(duì)數(shù)字全息重建的算法。傳統(tǒng)的數(shù)字全息重建算法［5-6］在重建過程中會(huì)出現(xiàn)0級(jí)像和共軛像等干擾的問題，而且重構(gòu)過程都是對(duì)全息圖的全部數(shù)據(jù)進(jìn)行的，因而存在較大的計(jì)算冗余［7］。

壓縮感知是近年來在信息處理領(lǐng)域中對(duì)傳統(tǒng)奈奎斯特抽樣理論的重要推廣和發(fā)展。它是CANDES，ROMBERG及華裔科學(xué)家TAO等學(xué)者在稀疏表示和優(yōu)化理論的基礎(chǔ)上提出的信號(hào)重建理論［8-9］。直接將采樣與壓縮相結(jié)合，對(duì)稀疏或可壓縮的高維信號(hào)投影成的低維信號(hào)進(jìn)行測(cè)量，然后通過最優(yōu)化問題求解實(shí)現(xiàn)對(duì)原始高維信號(hào)的精確重構(gòu)，這就是壓縮感知理論的本質(zhì)。近年來，為了解決數(shù)字全息中重構(gòu)圖像質(zhì)量的問題，有研究者開始把壓縮感知理論應(yīng)用到全息中。MARIM等人［10］將壓縮感知理論用于全息顯微鏡中，實(shí)現(xiàn)了在噪聲干擾下稀疏采樣重建微小物體的形狀。參考文獻(xiàn)［7］中說明了壓縮感知理論能夠很好地應(yīng)用于數(shù)字全息，參考文獻(xiàn)［11］中采用正交匹配追蹤算法對(duì)全息圖進(jìn)行重構(gòu)，但是重構(gòu)效果還待提高。

作者在分析了壓縮感知的原理和應(yīng)用方法的基礎(chǔ)上，提出了基于全變差的兩步迭代收縮閾值重構(gòu)算法，利用該算法對(duì)計(jì)算機(jī)模擬的數(shù)字全息圖的部分?jǐn)?shù)據(jù)采樣進(jìn)行重構(gòu)，得到了較高質(zhì)量的重構(gòu)圖像，為實(shí)現(xiàn)全息實(shí)時(shí)顯示提供了一種新的技術(shù)途徑。

1 壓縮感知的基本理論

壓縮感知理論主要是從信號(hào)的稀疏表示、測(cè)量矩陣構(gòu)造和算法重構(gòu)這三部分來描述的。

1.1稀疏表示

考慮長(zhǎng)度為n的離散信號(hào)x，可以用一組標(biāo)準(zhǔn)正交基Ψ1，Ψ2，…，Ψn線性表示，則該信號(hào)表示為：

顯然α是信號(hào)在Ψ域的表示，這里k＝1，2，…，n。

運(yùn)用壓縮感知理論的關(guān)鍵問題取決于該信號(hào)是否具有稀疏性或者近似稀疏性，若（1）式Ψ中的α只有k個(gè)非零值（n?k），可認(rèn)為信號(hào)是稀疏的。離散信號(hào)x能夠被精確重構(gòu)的前提是系數(shù)向量α是系數(shù)的，即Ψ域是稀疏域，需要選擇合適的基來表示信號(hào)，才能使信號(hào)有足夠的系數(shù)以保證能夠精確重構(gòu)。光滑信號(hào)的傅里葉系數(shù)、傅里葉小波系數(shù)等都具有足夠的稀疏性，均可以作為信號(hào)的稀疏基。

1.2測(cè)量過程

用一個(gè)與變換矩陣不相關(guān)的m×n（m?n）矩陣Φ對(duì)信號(hào)進(jìn)行線性投影，可以得到線性測(cè)量值y：

測(cè)量值y是一個(gè)m×1矩陣，這樣使測(cè)量對(duì)象從n維降為m維。將（1）式帶入（2）式中，有：

式中，Φ為感知矩陣或測(cè)量矩陣。要保證可壓縮信號(hào)x從n維降到m維的過程中主要信息不丟失且能夠準(zhǔn)確重建出原始信號(hào)，還要保證測(cè)量矩陣和稀疏基不相關(guān)性、測(cè)量次數(shù)m＝O［klg（n）］和測(cè)量矩陣滿足約束等距準(zhǔn)則（restricted isometry property，RIP），O為計(jì)算復(fù)雜度的運(yùn)算符。

1.3重構(gòu)算法

目前，基于壓縮感知理論的重構(gòu)算法主要包括最小l1范數(shù)法、匹配追蹤系列算法、迭代閾值法以及專門處理2維圖像問題的最小全變分等。這些算法都是基于兩種求解模型：l0求解模型和l1求解模型［12］，如下所示：

式中，‖α‖0為向量α的l0范數(shù)，表示α中非零元素的個(gè)數(shù)；‖α‖1為向量α的l1范數(shù)。

2 全變差的兩步迭代收縮閾值重構(gòu)算法

［7］中分析了壓縮感知框架數(shù)字全息重構(gòu)方法的可行性，采用全變差求整個(gè)空間內(nèi)梯度l1范數(shù)，實(shí)現(xiàn)數(shù)字全息的重建。為了提高圖像的重構(gòu)速度和質(zhì)量，參考文獻(xiàn)［13］中提出了兩步迭代收縮閾值重構(gòu)算法（two-step iterative shrinkage thresholding，TwIST）。在感知圖像重構(gòu)中，為了提高重構(gòu)圖像的質(zhì)量，可以根據(jù)不同成分的特點(diǎn)增加正則約束，對(duì)相應(yīng)的形態(tài)成分調(diào)整。除了稀疏表示的先驗(yàn)條件以外，圖像平滑成分和邊緣輪廓成分通常還滿足全變差最小的特性，所以本文中在使用兩步迭代收縮閾值重構(gòu)算法同時(shí)加入全變差最小正則項(xiàng)，進(jìn)一步來改善重構(gòu)成分的質(zhì)量。

將（4）式轉(zhuǎn)化為凸規(guī)劃的l1范數(shù)求解，變形為帶有拉格朗日乘積的形式，求解目標(biāo)函數(shù)取最小值的系數(shù)問題：

把全變差最小的約束加入重構(gòu)算法中，（7）式變?yōu)椋?/p>

式中，F(xiàn)3（fs，c）＝∑k＝s，cV（fk），V（fk）表示全變差。

將V（fk）加入重構(gòu)方程，基于全變差TwIST重構(gòu)算法步驟如下所示，簡(jiǎn)記：Tk，λ（x）＝Ψk｛Tλ［ΨkT（fk，j＋ΦTx）］｝，（k＝s，c，t），Tλ為閾值函數(shù)；Gk，h（x，y，u，p，q）＝（1－γ）x＋（γ－β）y＋βTk，λ×，其中γ和β為決定算法收斂速度的參量參量的設(shè)定為：步參量μ＝1；閾值步長(zhǎng)h＝1；迭代終止值為ε。

（1）初始化，迭代次數(shù)為j＝0，重構(gòu)圖像為f0＝fk，0＝fVs，0＝fVc，0＝0，最大迭代次數(shù)為jmax。

（2）更新第1次迭代數(shù)據(jù)：j＝j(luò)＋1。

（3）更新第j＋1次的迭代數(shù)據(jù)：

（4）對(duì)兩次目標(biāo)函數(shù)值進(jìn)行比較，若F（fj＋1）＞F（fj），則h＝2h，返回第（3）步，否則繼續(xù)下一步。

（5）判斷是否滿足終止條件，若j＋1＝j(luò)max，則終止迭代，輸出重構(gòu)圖像fj＋1，否則更新迭代次數(shù)j＋1，轉(zhuǎn)至第（3）步繼續(xù)執(zhí)行。

3 實(shí)驗(yàn)仿真與對(duì)比

3.1數(shù)字全息重構(gòu)實(shí)驗(yàn)

在實(shí)驗(yàn)中，使用Mach-Zehder干涉儀實(shí)驗(yàn)裝置獲取一幅“N”字母的全息圖，Mach-Zehder干涉儀實(shí)驗(yàn)裝置如圖1所示。重構(gòu)采用PC平臺(tái)，硬件為英特爾G630 2.70GHz、內(nèi)存2G，軟件為Windows XP，MATLAB R2010a版本。圖2a是CCD拍攝的全息圖；圖2b是卷積算法重構(gòu)的圖；圖2c是快速傅里葉逆變換重構(gòu)的圖；圖2d是全變差TwIST算法重構(gòu)的圖。

Fig.1 The Mach-Zehder interferometer experimental setup

Fig.2 Digital hologram and the reconstructed image

3.2數(shù)值模擬重構(gòu)實(shí)驗(yàn)

為了進(jìn)一步說明該算法的特點(diǎn)，對(duì)標(biāo)準(zhǔn)測(cè)試圖進(jìn)行數(shù)值模擬實(shí)驗(yàn)。首先產(chǎn)生數(shù)字全息圖，模擬物光波振幅和數(shù)字全息圖均為256灰度級(jí)的256pixel× 256pixel圖像，如圖3a、圖3b所示；圖3c是卷積算法重建的圖像；圖3d為正交匹配追蹤（orthogonal matching pursuit，OMP）算法重構(gòu)的圖像；圖3e是全變差TwIST算法重構(gòu)的圖像。

Fig.3 The simulation of digital hologram and the reconstructed image

通過對(duì)圖2d和圖2b、圖2c進(jìn)行對(duì)比，說明了壓縮感知對(duì)數(shù)字全息圖重構(gòu)的可行性，而且壓縮感知算法重構(gòu)的圖像明顯沒有0級(jí)像和共軛像，可重構(gòu)出高質(zhì)量的圖像，說明本文中提出的全變差TwIST算法能夠高質(zhì)量地重構(gòu)圖像。

通過對(duì)圖3d、圖3e和圖3c進(jìn)行對(duì)比，說明了35%的數(shù)字全息圖壓縮感知重構(gòu)的圖像質(zhì)量明顯優(yōu)于100%數(shù)字全息圖傳統(tǒng)算法重構(gòu)圖像的質(zhì)量，顯示了所有細(xì)節(jié)；對(duì)圖3d和圖3e進(jìn)行對(duì)比，OMP算法重構(gòu)圖像峰值信噪比（peak signal-to-noise ratio，PSNR）為26.16dB，而全變差TwIST算法重構(gòu)圖像的PSNR值為36.46dB。

4 結(jié) 論

實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，TwIST算法能夠應(yīng)用在數(shù)字全息圖的重構(gòu)，重構(gòu)了高質(zhì)量的再現(xiàn)像，PSNR值為36.46dB，消除了傳統(tǒng)重構(gòu)圖像中出現(xiàn)的0級(jí)像和共軛像的問題，顯示了所有細(xì)節(jié)，峰值信噪比高。在全變差TwIST算法重構(gòu)過程中，原始物體本身的透射重構(gòu)是直接通過數(shù)字全息圖獲得的線性觀測(cè)向量和傳感矩陣得到的，同時(shí)使用最小全變差約束可以使得圖像在重構(gòu)過程中更為稀疏，進(jìn)而有助于消除圖像邊緣偽影對(duì)重構(gòu)結(jié)果所帶來的干擾，因此獲得了高質(zhì)量的重構(gòu)圖像。

TwIST算法能夠應(yīng)用在數(shù)字全息圖的重構(gòu)，僅用35%的全息圖數(shù)據(jù)重構(gòu)了高質(zhì)量的再現(xiàn)像，這實(shí)現(xiàn)了全息圖數(shù)據(jù)的壓縮，減少了數(shù)據(jù)采集量和計(jì)算冗余，為計(jì)算全息實(shí)時(shí)顯示提供了一種新的技術(shù)途徑。

參考文獻(xiàn)

［1］ JIAN X Z，ZHANG H，F(xiàn)AN JP，et al.Research of computergenerated hologram based on FPGA technology［J］.Laser Technology，2011，36（1）：26-32（in Chinese）.

［2］ CHEN N.Research on digital holography［D］.Guangzhou：Jinan University，2004：58-80（in Chinese）.

［3］ FENG Y J，DING JP，ZHOU J.Self-focusingmatched filter produced by computer-generated hologram［J］.Optics Communications，2000，184（1）：89-93.

［4］ YU Z L，JING F.Computer generated hologram［M］.Beijing：Tsinghua University Press，1984：1-194（in Chinese）.

［5］ SONG X F，ZHAO BQ，QIN A.Comparison of three basic reconstruction algorithms in digital holography［C］／／Optical Test and Measurement Technology and Equipment.Chengdu：International Society for Optics and Photonics，2009：40-46.

［6］ LI JC.FFT computation of angular spectrum diffraction formula and its application in wavefront reconstruction of digital holography［J］.Acta Optica Sinica，2009，29（5）：1163-1167（in Chinese）.

［7］ WU Y C，WU X C，WANG Z H，et al.Reconstruction of digital inline hologram with compressed sensing［J］.Acta Photonica Sinica，2011，31（11）：1109001（in Chinese）.

［8］ CANDESE J，ROMBERG J，TAO T.Robust uncertainty principles：exact signal reconstruction from highly incomplete frequency information［J］.IEEE Transactions on Information Theory，2006，52（2）：489-509.

［9］ CANDESE J，TAO T.Near-optimal signal recovery from random projections：universal encoding strategies［J］.IEEE Transactions Information Theory，2006，52（12）：5406-5425.

［10］ MARIM M M，ATLAN M，ANGELINIE D，et al.Compressed sensing for digital holographic microscopy［C］／／Biomedical Imaging：From Nano to Macro，2010 IEEE International Symposium.Rotterdam，Holland：IEEE，2010：684-687.

［11］ MA JSh，XIA F P，SU P，et al.Study on compressive sensing phase-shifting digital holography［J］.Semiconductor Optoelectronics，2013，34（1）：130-133（in Chinese）.

［12］ CHEN SSh B，DONOHO D L，SAUNDERSM A.Atomic decomposition by basis pursuit［J］.SIAM Review，2001，43（1）：129-159.

［13］ BIOUCAS-DIAS JM，F(xiàn)IGUEIREDOM A T.A new TwIST：twostep iterative shrinkage／thresholding algorithms for image restoration［J］.IEEE Transactions on Image Processing，2007，16（12）：2992-3004.

Study on digital holography based on the total variation reconstruction algorithm

JIANXianzhong，ZHOUHai，QIAOJingyuan，LI Ying，WANGJia
（Shanghai Key Laboratory of Modern Optical System，Electrical Engineering College，University of Shanghai for Science and Technology，Shanghai200093，China）

In order to eliminate the zero-order image and the conjugate image interference problems in the traditional algorithm for reconstruction of digital hologram，a new algorithm based on the total variation of the two-step iterative shrinkage thresholding（TwIST）was proposed combining compressive sensing theory with reconstruction of the digital hologram.According to the characteristics of the reconstruction component，the TwIST algorithm based on the total variation improves the quality of the reconstruction of hologram.The simulation results show that the hologram can be reconstructed from a sparse hologram with TwIST reconstruction algorithm a high quality image was reconstructed from 35%of a hologram and the peak signal-to-noise ratio（PSNR）of the reconstructed image was36.46dB without zero-order image and conjugate image interference.The study is helpful for implementing real-time computer-generated hologram.

holography；compressive sensing；computer-generated hologram；digital hologram；total variation reconstruction algorithm

O438.1

A

10.7510／jgjs.issn.1001-3806.2014.02.019

1001-3806（2014）02-0236-04

上海市高等學(xué)校建設(shè)基金資助項(xiàng)目（2009014）；上海市研究生創(chuàng)新基金資助項(xiàng)目（JWCXSL1302）

簡(jiǎn)獻(xiàn)忠（1969-），男，副教授，博士，主要從事數(shù)字全息、嵌入式技術(shù)應(yīng)用等方面的教學(xué)與科研工作。

E-mail：jianxz＠usst.edu.cn

2013-04-23；

2013-06-03