陳 凱，朱東旭，焦宏偉

高斯-謝爾模型光束通過聚焦光學(xué)系統(tǒng)的偏振特性

陳 凱，朱東旭，焦宏偉

（中國衛(wèi)星海上測控部，江陰214431）

為了研究高斯-謝爾模型光束的偏振特性，采用交叉譜密度矩陣的方法，研究了該光束通過聚焦光學(xué)系統(tǒng)的偏振特性，得到了完全偏振和完全非偏振光束保持偏振度不變的條件，并給出了通過聚焦光學(xué)系統(tǒng)后傳輸平面偏振度實(shí)現(xiàn)均勻分布的條件。結(jié)果表明，聚焦光學(xué)系統(tǒng)中偏振度在焦點(diǎn)位置附近有明顯的起伏變化；焦點(diǎn)位置上的偏振度等于其在自由空間傳輸時的遠(yuǎn)場穩(wěn)定偏振度。該研究對激光傳輸領(lǐng)域具有重要的理論和現(xiàn)實(shí)意義。

激光光學(xué)；偏振特性；交叉譜密度矩陣；高斯-謝爾模型光束；聚焦光學(xué)系統(tǒng)

引 言

1 理論模型

假設(shè)隨機(jī)電磁光束沿著z軸的正方向傳輸，并以ABCD光學(xué)系統(tǒng)為傳輸路徑，如圖1所示。

Fig.1 Illustration of stochastic electromagnetic beams through an ABCD optical system

隨機(jī)電磁光束的統(tǒng)計特性可以由2×2交叉譜密度矩陣來描述［9］：

式中，ρ1和ρ2為光束中的任意兩點(diǎn)，x和y分別為電場矢量E相互垂直的兩個偏振方向，*表示復(fù)共軛，〈〉表示系綜平均。

根據(jù)柯林斯公式［10］，光電場通過ABCD光學(xué)系統(tǒng)的傳輸公式為：

式中，S1是光源處面積，L表示的是輸入平面和輸出平面之間的程函：L（ρ，ρ′，z）＝z＋（Aρ2＋Dρ′2－2ρ·ρ′）。根據(jù)（1）式，可以得到交叉譜密度矩陣元經(jīng)過ABCD光學(xué)系統(tǒng)的傳輸公式［11-12］：

其中，

式中，ax，bx，cx，dx為x-O-z平面內(nèi)的傳輸矩陣元，ay，by，cy，dy為y-O-z平面內(nèi)的傳輸矩陣元［11］。對于不同的ABCD系統(tǒng)，其傳輸矩陣元的取值是不同的。當(dāng)光學(xué)系統(tǒng)為軸向?qū)ΨQ時，滿足關(guān)系［11］：ax＝ay，bx＝by，cx＝cy，dx＝dy。

計量資料利用SPSS19.0軟件分析并經(jīng)t檢驗(yàn)(均數(shù)±標(biāo)準(zhǔn)差),計數(shù)資料經(jīng)X2檢驗(yàn)(率)。存在統(tǒng)計學(xué)意義評定標(biāo)準(zhǔn):P<0.05。

目前研究較多的隨機(jī)電磁光束是所謂的高斯-謝爾模型光束，其強(qiáng)度分布和空間相干度都是高斯函數(shù)［13］。為了便于計算和分析，這里以高斯-謝爾模型光束為研究對象。設(shè)光源上任意一點(diǎn)的光譜強(qiáng)度的i分量為Si（ρ′，ω），任意兩點(diǎn)電場矢量的i分量與j分量的相關(guān)度為uij（ρ2′－ρ1′，ω），其相關(guān)表達(dá)式如下所示［14］：

式中，Ai表示光場i分量的振幅，σi表示光斑i方向的大小，Bij表示光場i分量和j分量的相關(guān)系數(shù)，δij表示相關(guān)長度［14］。參量Ai，σi，Bij和δij均與位置無關(guān)，只取決于頻率ω［14］。這些參量并不是任意取的，需要滿足以下條件［15］：

于是，光源處的交叉譜密度矩陣元有如下形式［15］：

為了方便積分，這里需要進(jìn)行坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換，將極坐標(biāo)轉(zhuǎn)換成直角坐標(biāo)：ρ1＝（x1，y1）T，ρ2＝（x2，y2）T，ρ1′＝（x1′，y1′）T，ρ2′＝（x2′，y2′）T。將（5）式、（6）式和（8）式代入（3）式進(jìn)行積分計算，可求得高斯-謝爾模型光束經(jīng)過ABCD光學(xué)系統(tǒng)的交叉譜密度矩陣元：

根據(jù)偏振度的定義［16］，不難得到傳輸空間任意一點(diǎn)的偏振度P（ρ，z，ω）：式中，tr，det分別表示交叉譜密度矩陣的跡和秩。引入聚焦光學(xué)系統(tǒng)的傳輸矩陣條件，即可得到高斯-謝爾模型光束在該條件下的交叉譜密度矩陣，從而可實(shí)現(xiàn)對觀察點(diǎn)偏振特性的研究。

2 數(shù)值計算

根據(jù)（9）式和（11）式，具體研究高斯-謝爾模型光束通過聚焦光學(xué)系統(tǒng)的偏振特性，其相應(yīng)傳輸矩陣元取值為［17］：ax＝ay＝1－z／f，bx＝by＝z，cx＝cy＝－1／f，dx＝dy＝1。在數(shù)值模擬中，采用研究較少的各向異性光束，即光束起始面內(nèi)偏振度分布不均勻（σx≠σy）的情況。光束參量設(shè)置如下：λ＝632.8nm，Ax＝1，Ay＝3，B0＝0.3，σx＝1cm，σy＝3cm，δxx＝1mm，δyy＝3mm，δxy＝2mm，聚焦光學(xué)系統(tǒng)的焦距f＝1m。

圖2中分別選擇了不同的Ay／Ax，B0，δyy／δxx，δxy，σy／σx和f反映軸上偏振度隨傳輸距離的變化關(guān)系。通過數(shù)值模擬計算表明，對于聚焦光學(xué)系統(tǒng)傳輸，軸上偏振度的變化趨勢與光束參量的選擇有關(guān)，其在焦點(diǎn)附近有明顯的起伏變化，繼續(xù)傳輸一段距離后該偏振度恢復(fù)其未到達(dá)焦點(diǎn)附近時的大小，這與已有的結(jié)論［18］一致。

Fig.2 The variation of the polarization degree on the axeswith the distance for different parameterswhenρ＝0

現(xiàn)針對上述結(jié)論［18］給出解析證明。根據(jù)聚焦光學(xué)系統(tǒng)的條件和（9）式，可得到焦點(diǎn)處的交叉譜密度矩陣元：

將（12）式代入（11）式，得到焦點(diǎn)處的光譜偏振度：

式中，q1，q2和q3為代換后的參量：

同樣，根據(jù)自由空間的條件［12］（ax＝ay＝1，bx＝by＝z，cx＝cy＝0，dx＝dy＝1），將（8）式代入（11）式，并對傳輸距離z取無窮遠(yuǎn)的極限，可得到該穩(wěn)定偏振度的表達(dá)式：

比較（13）式與（15）式，發(fā)現(xiàn)兩者完全相等。由此可以得出結(jié)論，聚焦光學(xué)系統(tǒng)中焦點(diǎn)處的偏振度與光源參量的選擇有關(guān)，其值等于自由空間條件下遠(yuǎn)場的偏振度穩(wěn)定值。所以，利用聚焦光學(xué)系統(tǒng)可以在較短的距離內(nèi)測得自由空間傳輸時的穩(wěn)定偏振度。

接下來研究完全偏振光束和完全非偏振光束這兩種特殊的情況。對于完全偏振光束，即B0＝1，δxx＝δyy＝δxy＝1mm；而對于完全非偏振光束，即Ax＝Ay＝1，B0＝0，σx＝σy＝1cm。

由圖3a可以看出，當(dāng)σx＝σy時，完全偏振光的偏振度傳輸不變；當(dāng)σx≠σy時，完全偏振光束在焦點(diǎn)附近變?yōu)椴糠制瘢谶h(yuǎn)場又趨于完全偏振。這說明，光譜密度特性對傳輸中的偏振度產(chǎn)生影響，其保持完全偏振狀態(tài)的條件是σx＝σy。由圖3b可以看出，當(dāng)δxx＝δyy時，偏振度在傳輸中不會發(fā)生變化，光束保持完全非偏振的狀態(tài)；當(dāng)δxx≠δyy時，光譜偏振度在焦點(diǎn)附近會發(fā)生變化，由完全非偏振變?yōu)椴糠制?，但在遠(yuǎn)場又趨于完全非偏振。這說明，光束相干性影響了傳輸中的偏振度，其保持完全非偏振狀態(tài)的條件是δxx＝δyy。

圖4中給出了不同傳輸平面內(nèi)偏振度的分布關(guān)系。不難看出，當(dāng)z＝0.5m時，傳輸平面上各點(diǎn)的偏振度相等。

Fig.3 The variation of the polarization degree on the axes with distance whenρ＝0，f＝1m

Fig.4 The distributuion of the polarization degree at different transmission plane when f＝1m

對該現(xiàn)象可從解析上進(jìn)行解釋。將（9）式代入（11）式，經(jīng)化簡并提取公因式發(fā)現(xiàn)，要實(shí)現(xiàn)傳輸平面上偏振度均勻分布，必須滿足條件：

將聚焦光學(xué)系統(tǒng)的傳輸矩陣元代入（16）式，得到了聚焦光學(xué)系統(tǒng)的傳輸平面上實(shí)現(xiàn)偏振度均勻分布的條件為：

將該條件代入（11）式計算，得到z＝f／2傳輸平面上的偏振度：

式中，q4也為代換后的參量：

不難看出，該偏振度與位置ρ無關(guān)。在聚焦光學(xué)系統(tǒng)中實(shí)現(xiàn)傳輸平面上偏振度均勻分布的條件為z＝f／2，這一點(diǎn)在以往的研究中未有提及。

3 結(jié) 論

為研究高斯-謝爾模型光束通過聚焦光學(xué)系統(tǒng)的偏振特性，推導(dǎo)得到了該條件下的交叉譜密度矩陣。研究發(fā)現(xiàn)，對于聚焦光學(xué)系統(tǒng)，軸上偏振度在焦點(diǎn)附近有明顯的起伏變化；位于焦點(diǎn)位置上的偏振度等于其在自由空間傳輸時的穩(wěn)定偏振度，利用此結(jié)論可以在較短的距離內(nèi)測得自由空間傳輸時的遠(yuǎn)場穩(wěn)定偏振度；σx＝σy和δxx＝δyy分別是完全偏振和完全非偏振高斯-謝爾模型光束在聚焦光學(xué)系統(tǒng)中保持偏振度不變的條件；在z＝f／2的傳輸平面內(nèi)偏振度實(shí)現(xiàn)均勻分布。

［1］ WOLF E.Unified theory of coherence and polarization of random electromagnetic beams［J］.Physics Letters，2003，A312（5）：263-267.

［2］ SALEM M，KOROTKOVA O，DOGARIU A，et al.Polarization changes in partially coherent electromagnetic beams propagating through turbulent atmosphere［J］.Waves Random Media，2004，14（4）：513-523.

［3］ JIX L，ZHANG E T，LüB D.Changes in the spectrum and polarization of polychromatic partially coherentelectromagnetic beams in the turbulent atmosphere［J］.Optics Communications，2007，275（2）：292-300.

［4］ JIX L，CHEN S H，LIX Q.Polarization properties of partiallycoherent electromagnetic Hermite-Gaussian beams in atmospheric turbulence［J］.Chinese Journal of Lasers，2008，35（1）：67-72（in Chinese）.

［5］ EYYUBOGLU H T，BAYKAL Y，CAIY.Degree of polarization for partially coherent general beams in turbulent atmosphere［J］.Applied Physics，2007，B89（1）：91-97.

［6］ JAMESD F V.Change of polarization of light beams on propagation in free space［J］.Journal of the Optical Society of America，1994，A11（5）：1641-1643.

［7］ KOROTKOVA O，WOLFE.Changes in the state of polarization of a random electromagnetic beam on propagation［J］.Optics Communications，2005，246（1）：35-43.

［8］ SHIRAIT.Polarization properties of a class of electromagnetic Gaussian Schell-model beamswhich have the same far-zone intensity distribution as a fully coherent laser beam［J］.Optics Communications，2005，256（4）：197-209.

［9］ WOLF E.Correlation-induced changes in the degree of polarization，the degree of coherence，and the spectrum of random electromagnetic beams on propagation［J］.Optics Letters，2003，28（13）：1078-1080.

［10］ LüB D.Laser optics［M］.Chengdu：Sichuan University Press，1992：191-231（in Chinese）.

［11］ ZHAO D M，ZHU Y B.Generalized formulas for stochastic electromagnetic beams on inverse propagation through nonsymmetrical optical systems［J］.Optics Letters，2009，34（7）：884-886.

［12］ ZHANGGW，PU JX.Stochastic electromagnetic beams focused by a bifocal lens［J］.Journal of the Optical Society of America，2008，A25（7）：1710-1715.

［13］ KOROTKOVA O，SALEM M，WOLF E.Beam conditions for radiation generated by an electromagnetic Gaussian Schell-model source［J］.Optics Letters，2004，29（11）：1173-1175.

［14］ GORIF，SANTARSIERO M，PIQUERO G，et al.Partially polarized Gaussian Schell-model beams［J］.Journal of Optics，2001，A3（1）：1-9.

［15］ ROYCHOWDHURY H，KORPTLPVA O.Realizability conditions for electromagnetic Gaussian Schell-model sources［J］.Optics Communications，2005，249（4）：379-385.

［16］ JI JR.Advanced optics tutorial［M］.Beijing：Science Press，2007：261-267（in Chinese）.

［17］ DU X Y，ZHAO D M，KOROTKOVA O.Cross-spectral density matrix of a random electromagnetic beam propagating through an apertured axially nonsymmetrical optical system［J］.Physics Letters，2008，A372（22）：4135-4140.

［18］ DU X Y.Studies on the propagation and scattering of the vector or scalar light beams through the complicated optical systems and media［D］.Hangzhou：Zhejiang University，2010：24，43-48，73-85（in Chinese）.

Polarization properties of Gaussian-Schellmodel beam s passing through focal optical system

CHENKai，ZHUDongxu，JIAOHongwei
（China Department of Satellite Marine Tracking and Control，Jiangyin 214431，China）

In order to study polarization properties of Gaussian-Schell model beams，the method of cross-spectral densitymatrix was adopted to study polarization properties of Gaussian-Schell model beams propagating through a focal optical system.The conditions，under which complete polarized and complete non-polarized beams kept the degree of polarization invariable in the focal optical system，were provided.The condition where the degree of polarization distributed homogeneously at propagation plane was also given.The degree of polarization had a sharp fluctuation at focal position in a focal optical system.The degree of polarization at focal position equaled the stable value of the degree of polarization at far field.The study had important theoretical and practical significance in the field of laser transmission.

laser optics；polarization properties；cross-spectral density matrix；Gaussian-Schellmodel beam；focal optical system

O436.3

A

10.7510／jgjs.issn.1001-3806.2014.02.021

1001-3806（2014）02-0246-05

陳 凱（1986-），男，碩士，助理工程師，現(xiàn)從事高能激光技術(shù)等方面的研究。

E-mail：629167307＠qq.com

2013-04-24；

2013-06-03