王益艷

(四川文理學(xué)院 物理與機(jī)電工程學(xué)院, 四川 達(dá)州 635000)

0 引言

圖像在獲取和傳輸過程中，不可避免會(huì)受到各

種噪聲干擾，導(dǎo)致質(zhì)量下降.因此，在對(duì)圖像進(jìn)行后續(xù)處理(如邊緣檢測(cè)、分割、特征提取和識(shí)別等)之前，必須先進(jìn)行濾波預(yù)處理.傳統(tǒng)的濾波方法包括均值濾波、高斯濾波等，在去噪過程中容易導(dǎo)致圖像細(xì)節(jié)丟失.近年來，基于變分偏微分方程的方法已成為圖像處理領(lǐng)域中的一個(gè)重要分支，可應(yīng)用于圖像濾波、放大、修復(fù)、分割和增強(qiáng)等，其高質(zhì)量的處理效果已引起人們的廣泛關(guān)注[1-3].

基于L2范數(shù)的調(diào)和模型[4]和基于L1范數(shù)的全變分(total variation, TV)模型[5,6]是變分PDE去噪方法中的典型代表.從擴(kuò)散的角度分析，調(diào)和模型本質(zhì)上是各向同性的，與對(duì)圖像采用高斯濾波器進(jìn)行濾波等價(jià)[7].因此，該模型在平滑噪聲的同時(shí)，會(huì)導(dǎo)致圖像的邊緣模糊[8].TV模型只沿著邊緣方向擴(kuò)散，它具有各向異性，能在去噪的同時(shí)較好的保護(hù)圖像邊緣.但該模型容易將平坦區(qū)域的噪聲當(dāng)成假邊緣，從而導(dǎo)致產(chǎn)生階梯效應(yīng).針對(duì)這兩類經(jīng)典模型存在的不足，人們提出了很多改進(jìn)方法.Song[9]提出一種基于Lp范數(shù)(1

基于此，本文利用結(jié)構(gòu)張量信息，提出了一種加權(quán)型的混合變分濾波模型.該模型可以根據(jù)圖像的局部結(jié)構(gòu)特征自適應(yīng)選取加權(quán)參數(shù)，在圖像平坦區(qū)域，具有各項(xiàng)同性擴(kuò)散，有利于克服階梯效應(yīng)，而在圖像邊緣，則只沿著切向擴(kuò)散，有利于保護(hù)邊緣細(xì)節(jié).該模型兼顧了調(diào)和模型和全變分模型的優(yōu)點(diǎn)，具有良好的濾波性能.大量仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，與其它幾種變分模型相比，在同等測(cè)試條件下，該算法對(duì)應(yīng)的峰值信噪比(PSNR)值更高，均方根誤差(RMSE)更小，迭代收斂速度更快.

1 凸結(jié)合變分模型

令u為原始清晰的圖像，u0為被噪聲污染的圖像，即u0=u+n.其中n是均值為0，方差為σ2的高斯噪聲.

文獻(xiàn)[13]提出如下基于L1范數(shù)和L2范數(shù)的凸結(jié)合變分模型：

(1)

其中τ∈[0,1]是控制參數(shù).式(1)唯一且滿足最優(yōu)解的條件為：

-τ·(u/|u|)-(1-τ)·(u)+λ(u-u0)=0

(2)

其擴(kuò)散項(xiàng)τ·(u/|u|)+(1-τ)·(u)顯然，該模型沿梯度方向和邊緣方向都有擴(kuò)散.特別地，當(dāng)τ=0時(shí)，模型退化為調(diào)和模型；當(dāng)τ=1時(shí)，退化為TV模型.因此，該模型是調(diào)和模型和TV模型的折中，目的是克服兩種模型的缺點(diǎn)，保留其優(yōu)勢(shì).

2 本文改進(jìn)方法

在文獻(xiàn)[13]給出的模型中，參數(shù)τ的選取直接影響到最終的去噪效果.而該文給出的參數(shù)τ取值為常量，是作為全局性質(zhì)作用于圖像的，不具有自適應(yīng)性.結(jié)構(gòu)張量[14]常用來估計(jì)圖像結(jié)構(gòu)方向場(chǎng)和分析圖像局部幾何結(jié)構(gòu).基于此，本文提出如下基于結(jié)構(gòu)張量的自適應(yīng)加權(quán)系數(shù).

對(duì)于給定的圖像u(x,y)，其局部結(jié)構(gòu)信息不僅僅表現(xiàn)為圖像的梯度.利用如下定義的Hassian矩陣，可以獲取更豐富的局部結(jié)構(gòu)信息[15]：

(3)

式中，uσ表示參數(shù)為σ的平滑圖像，?2uσ/?x2、?2uσ/?x?y和?2uσ/?y2分別表示對(duì)平滑圖像求二階偏導(dǎo)數(shù).H的兩個(gè)特征值為：

(4)

(5)

它們對(duì)應(yīng)的特征向量分別為μ1和μ2，表示為：

μ1=(cosθsinθ)T,μ2=(-sinθcosθ)T

(6)

角度θ是最小特征值對(duì)應(yīng)的特征向量與水平方向之間的夾角：

(7)

在圖像的平坦區(qū)域，結(jié)構(gòu)張量的擴(kuò)散速度較慢，具有較弱的方向一致性，J1≈J2≈0；在圖像邊緣區(qū)域的局部能量較大，方向一致性較好，J1?J2≈0.因此，本文構(gòu)造加權(quán)系數(shù)γ為：

(8)

其中，k為控制參數(shù).則本文基于結(jié)構(gòu)張量加權(quán)的混合模型可表示為：

(9)

γ為結(jié)構(gòu)控制權(quán)函數(shù).式(9)唯一且滿足最優(yōu)解的條件為：

-(1-γ)·(u/|u|)-γ·(u)+λ(u-u0)=0

(10)

其擴(kuò)散項(xiàng)為

(1-γ)·(u)該模型具有各向異性擴(kuò)散特性.在圖像的邊緣處，J1?J2≈0，此時(shí)式(9)趨于TV模型，只沿切線方向擴(kuò)散，具有保持邊緣等細(xì)節(jié)的作用；在圖像的平坦區(qū)域，J1≈J2≈0，此時(shí)式(9)趨于調(diào)和模型，在梯度方向和切線方向具有同等擴(kuò)散(即各向同性)，對(duì)圖像具有較好的平滑作用.

因此，與傳統(tǒng)模型相比，本文模型不但在梯度和切線兩個(gè)方向上都具有不同的擴(kuò)散，并且擴(kuò)散系數(shù)充分考慮了圖像局部結(jié)構(gòu)特征，對(duì)于灰度漸變區(qū),該模型能更好地進(jìn)行平滑，可有效去除階梯效應(yīng).

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

3.1 數(shù)值實(shí)現(xiàn)

式(10)對(duì)應(yīng)的梯度下降流為：

(11)

本文采用半點(diǎn)格式的中心差分[16]來離散化(11)式中的PDE，對(duì)(11)式利用時(shí)間步進(jìn)法求解，其迭代形式為：

(12)

NSDE=|un+1-un|2/|un|2

(13)

實(shí)驗(yàn)中，首先給定一個(gè)迭代初始值T，當(dāng)滿足時(shí)NSDE<ω，迭代提前結(jié)束.本文實(shí)驗(yàn)參數(shù)分別取T=100，ω=10-6，δt=0.05，α=0.01，λ=0.05,k取為噪聲標(biāo)準(zhǔn)差大小.

3.2 仿真結(jié)果

為了驗(yàn)證本文方法的有效性，本文進(jìn)行了大量仿真實(shí)驗(yàn)，并以峰值信噪比(PSNR)、均方根誤差(RMSE)和迭代次數(shù)作為濾波性能的客觀評(píng)價(jià)指標(biāo).

實(shí)驗(yàn)1：以“l(fā)ena”為測(cè)試圖像，對(duì)其加入一定程度的高斯噪聲，分別采用傳統(tǒng)調(diào)和模型、TV模型、文獻(xiàn)[9]模型(參數(shù)取p=1,3)、文獻(xiàn)[13]模型(參數(shù)取τ=0.5)和本文方法對(duì)其進(jìn)行處理.實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖1所示.表1給出了各種濾波模型對(duì)應(yīng)的客觀性能指標(biāo)比較結(jié)果.

(a)噪聲圖像 (b)調(diào)和模型 (c)TV模型

(d)文獻(xiàn)[9]模型 (e)文獻(xiàn)[13]模型 (f)本文方法圖1 “l(fā)ena”測(cè)試圖像(σ=15)的濾波結(jié)果表1 各種濾波模型對(duì)應(yīng)的性能指標(biāo)比較

濾波算法性能指標(biāo)PSNRRMSEIter_N調(diào)和模型28.994 79.053 332TV模型30.509 27.604 742文獻(xiàn)[9]模型30.454 67.652 744文獻(xiàn)[13]模型30.614 77.512 933本文方法31.200 77.022 719

從實(shí)驗(yàn)1的結(jié)果看出，調(diào)和模型在濾波的同時(shí)模糊了圖像細(xì)節(jié)，TV模型和文獻(xiàn)[9, 13]模型雖然比調(diào)和模型去噪性能有所提高，但在平坦區(qū)域仍存在不同程度的“階梯”效應(yīng).本文方法既能有效平滑平坦區(qū)域的噪聲，而且與前幾種模型相比，也能較好保護(hù)圖像的邊緣細(xì)節(jié)，其對(duì)應(yīng)的性能指標(biāo)明顯優(yōu)于其他模型，尤其是迭代次數(shù)(如表1所示).

實(shí)驗(yàn)2：為進(jìn)一步說明本文方法的優(yōu)越性.對(duì)測(cè)試圖像“toys”加入不同程度的高斯噪聲，采用文獻(xiàn)[13]混合濾波模型(參數(shù)取τ=0.5)和本文方法進(jìn)行對(duì)比實(shí)驗(yàn)，結(jié)果如圖2所示.表2給出了不同測(cè)試條件下，兩種模型對(duì)應(yīng)的PSNR值和RMSE值比較結(jié)果，圖3給出了不同測(cè)試條件下，兩種模型對(duì)應(yīng)的迭代次數(shù)比較結(jié)果.

(a)原始圖像 (b)噪聲圖像

(c)文獻(xiàn)[13]模型 (d)本文模型 圖2 “toys”測(cè)試圖像(σ=20)的濾波結(jié)果表2 不同測(cè)試條件下，兩種模型對(duì)應(yīng)的性能指標(biāo)比較

性能指標(biāo)噪聲標(biāo)準(zhǔn)差文獻(xiàn)[13]模型本文方法PSNR(dB)1020304033.602 931.663 029.942 028.638 634.280 131.812 830.162 428.998 8RMSE102030405.326 16.659 08.117 79.432 64.926 66.545 27.914 49.049 4

圖3 不同測(cè)試條件下，兩種模型對(duì)應(yīng) 的迭代次數(shù)比較

從圖2看出，本文方法濾波后的視覺效果優(yōu)于文獻(xiàn)[13]模型.從表2、圖3的比較結(jié)果可以看出，在多種不同測(cè)試條件下，本文方法得到的性能指標(biāo)也明顯優(yōu)于文獻(xiàn)[13]模型.

4 結(jié)論

本文提出了一種基于結(jié)構(gòu)張量的加權(quán)混合變分濾波模型，通過圖像的局部結(jié)構(gòu)特征，構(gòu)造了一種自適應(yīng)的加權(quán)系數(shù).該模型兼顧了傳統(tǒng)調(diào)和模型和全變分模型的優(yōu)點(diǎn)，在圖像平坦區(qū)域，可實(shí)現(xiàn)各向異性擴(kuò)散，有效避免“階梯”效應(yīng).而在圖像邊緣處，只沿切線方向擴(kuò)散，以保護(hù)邊緣細(xì)節(jié).大量仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，該方法對(duì)高斯噪聲污染的圖像具有良好的濾波性能.與其它幾種變分模型相比，在同等測(cè)試條件下，本文算法均可取得更好的濾波視覺效果，同時(shí)峰值信噪比(PSNR)值、均方根誤差(RMSE)和迭代次數(shù)等性能指標(biāo)更優(yōu).

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