【摘 要】函數(shù)是一類重要的抽象函數(shù)，本文給出了它的兩個(gè)結(jié)論：①函數(shù)F（x）在f（x）滿足李卜西茲條件下是一致連續(xù)的；②函數(shù)F（x）在f（x）滿足一定條件下具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)。

【關(guān)鍵詞】李卜西茲條件；連續(xù)；一致連續(xù)；連續(xù)導(dǎo)數(shù)

是一類重要的抽象函數(shù)，當(dāng)f（x）滿足不同的條件時(shí)，會(huì)得到不同的結(jié)論。 本文討論了以下兩個(gè)方面的問題。

一、函數(shù)F（x）在f（x）滿足李卜西茲條件下一致連續(xù)

函數(shù)的一致連續(xù)性是一種較強(qiáng)的連續(xù)性，其定義為：設(shè)f（x）為定義在區(qū)間I上的函數(shù)，若存在函數(shù)δ=δ（ε），只要且|x1-x2|<δ，都有|f（x1）-f（x2）|<ε，則稱f（x）在區(qū)間I上一直連續(xù)。而研究函數(shù)的一致連續(xù)性，李卜西茲條件是一個(gè)重要條件，其定義為：設(shè)函數(shù)f（x）定義在I上，若存在常數(shù)L>0，使得對(duì)于該區(qū)間I上任意x1，x2，都有|f（x1）-f（x2）|

結(jié)論1：若函數(shù)f（x）在[a，+∞）（a>0）上滿足李卜西茲條件，則函數(shù)在[a，+∞）上一致連續(xù)。

問題分析：由于是一類抽象函數(shù)，故要證明其一致收斂只要用定義。為此需考慮：

至此，可以看出：要根據(jù)定義判斷其一致收斂，只要證明在[a，+∞）上一致收斂的。證明：由已知條件知：在L>0，使對(duì)任意x1，x2∈[a，+∞），都有|f（x1）-f（x2）≤L|x1-x2|

于是由一致收斂的定義知f（x）在[a，+∞）上一致連續(xù)，進(jìn)而對(duì)于取1>0，存在δ0>0（δ0

又因?qū)θ我鈇∈[a，+∞）存在n，使a+（n-1）δ0

故 |f（x）|≤f（a）+n

則

又注意到0<δ0

進(jìn)而

再由x∈[a，+∞）的任意性知在[a，+∞）上有界，取，從而有， 對(duì)任意的x1，x2∈[a，+∞），有

故有

于是由一致連續(xù)的定義可知，在[a，+∞）上一致連續(xù)。

二、函數(shù)F（x）在f（x）滿足一定條件下具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)

結(jié)論2：設(shè)f（x）在（-1，1）內(nèi)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，f（0）=0。證明：函數(shù)

在（-1，1）內(nèi)有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)。

證明：當(dāng)0<|x|<1時(shí)，由已知條件知：

所以

當(dāng)x=0時(shí)，有

故F?（x）在（-1，1）處連續(xù)，即F（x）在（-1，1）內(nèi)有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)。

參考文獻(xiàn)：

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[2]劉玉璉等.數(shù)學(xué)分析講義[M]，第四版.北京：高等教育出版社，2003年

[3]常瑞玲，鄭兆順.高等數(shù)學(xué)[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2012年

作者簡(jiǎn)介：

宋林鋒（1967～），男，河南省濮陽(yáng)縣人，碩士研究生，濮陽(yáng)職業(yè)技術(shù)學(xué)院數(shù)學(xué)與信息工程系講師，研究方向：應(yīng)用數(shù)學(xué)、數(shù)學(xué)教學(xué)研究。