李向軍

摘 要： 培養(yǎng)大學(xué)生創(chuàng)新實(shí)踐能力是高等教育的重要內(nèi)涵.本文以整數(shù)規(guī)劃求解圖色數(shù)問(wèn)題為例， 探討在數(shù)學(xué)建模教學(xué)中如何提高大學(xué)生的創(chuàng)新實(shí)踐能力等問(wèn)題.

關(guān)鍵詞： 數(shù)學(xué)建模教學(xué) 創(chuàng)新能力 實(shí)踐能力

創(chuàng)新是一個(gè)民族進(jìn)步的靈魂，培養(yǎng)大學(xué)生的創(chuàng)新實(shí)踐能力是高等學(xué)校教育的重要內(nèi)涵.數(shù)學(xué)建模課程是高等教育中一門(mén)重要課程，它主要研究通過(guò)合理的假設(shè)，運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具建立數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問(wèn)題的方法，內(nèi)容涉及工程技術(shù)、經(jīng)濟(jì)管理、社會(huì)生活等各個(gè)領(lǐng)域，是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新實(shí)踐能力的很好載體[1].數(shù)學(xué)建模教學(xué)的過(guò)程應(yīng)該是一個(gè)培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力和實(shí)踐能力的過(guò)程.數(shù)學(xué)建模教學(xué)要求教學(xué)方法的創(chuàng)新、改革[2].在目前的環(huán)境下，改進(jìn)數(shù)學(xué)建模的教學(xué)方法，提高學(xué)生的創(chuàng)新實(shí)踐能力顯得尤為重要.

一、創(chuàng)設(shè)情境，激發(fā)學(xué)生探索欲望

在數(shù)學(xué)建模教學(xué)中，教師要主動(dòng)采取措施，鼓勵(lì)并推動(dòng)學(xué)生解決一些理論或?qū)嶋H的問(wèn)題.讓學(xué)生親口嘗一嘗梨子的滋味，親身體驗(yàn)數(shù)學(xué)的創(chuàng)造過(guò)程，取得在課堂里和書(shū)本上無(wú)法代替的寶貴經(jīng)驗(yàn)[3].在理論課教學(xué)中可以適度開(kāi)放教學(xué)內(nèi)容，創(chuàng)設(shè)情境，激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和探索欲望，并給學(xué)生留有一定的思考和創(chuàng)新的空間.例如，某些問(wèn)題可以通過(guò)案例進(jìn)行教學(xué)，可將問(wèn)題提給學(xué)生.

頻道分配問(wèn)題：某地區(qū)有n家電視發(fā)射臺(tái)T ，T ，…，T ，主管部門(mén)給每家電視臺(tái)分配一個(gè)發(fā)射頻道.為排除同頻干擾，使用相同頻道的發(fā)射臺(tái)之間相距必須大于一定的距離d，問(wèn)：你認(rèn)為該地區(qū)至少需要多少個(gè)頻道？如何分配？

這個(gè)問(wèn)題與現(xiàn)實(shí)生活聯(lián)系十分緊密，有深厚的實(shí)際背景.對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)，這個(gè)問(wèn)題有一定的難度，但是學(xué)生很感興趣，都有躍躍欲試的沖動(dòng).問(wèn)題提出來(lái)后，老師并不給出方法，將發(fā)揮的空間留給學(xué)生，讓他們討論和查找書(shū)籍資料完成.

二、進(jìn)行研究性學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力

學(xué)生帶著疑問(wèn)和求知的渴望，對(duì)上面的問(wèn)題進(jìn)行分析和考慮后發(fā)現(xiàn)這樣的規(guī)律，它屬于限制某兩個(gè)有特殊關(guān)系的對(duì)象（電視臺(tái)）禁止有相同的屬性（頻道）的安排問(wèn)題.這類(lèi)問(wèn)題適合轉(zhuǎn)化為圖論模型進(jìn)行分析.

通過(guò)查詢(xún)組合數(shù)學(xué)和圖論[4]相關(guān)書(shū)籍，將n家電視發(fā)射臺(tái)對(duì)應(yīng)n個(gè)頂點(diǎn)，兩個(gè)頂點(diǎn)鄰接當(dāng)且僅當(dāng)它們代表的電視發(fā)射臺(tái)相距大于距離d，這樣得到一個(gè)圖G.圖G的色數(shù)x（G）就是所需頻道的最少數(shù)目，所以這個(gè)問(wèn)題歸結(jié)到圖的色數(shù)問(wèn)題.學(xué)生在這個(gè)過(guò)程中是自己重新發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的模型，老師并不參與，這樣有利于培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維，提高學(xué)生的創(chuàng)新能力.

如何求解色數(shù)問(wèn)題呢？同學(xué)們查詢(xún)書(shū)籍知道色數(shù)的確定目前沒(méi)有好的算法，怎樣根據(jù)自己所學(xué)的知識(shí)求解是學(xué)生面臨的又一次考驗(yàn).有的學(xué)生注意到色數(shù)問(wèn)題實(shí)際上是一個(gè)帶約束的安排問(wèn)題，想到了采用整數(shù)規(guī)劃方法.當(dāng)圖的規(guī)模不是很大時(shí)，給出一個(gè)整數(shù)規(guī)劃解法求解圖色數(shù)問(wèn)題是很有意義的.

通過(guò)查閱組合數(shù)學(xué)和圖論[4]中染色理論的相關(guān)資料可以知道，對(duì)一個(gè)連通圖G=（V，E），如果不是奇圈和完全圖，則f（G）≤△.對(duì)除了奇圈和完全圖之外的圖G，可以選一個(gè)顏色集合{1，2，…，△}給G頂點(diǎn)著色，我們的目標(biāo)是相鄰點(diǎn)不同色，且使用顏色最少.

用顏色1，2，…，k（k≤△）給點(diǎn)v （i=1，2，…n）著色，引入0-1變量x ，y ，使得：

x =1，點(diǎn)v 著k色0，其他，y =1，使用顏色k0，其他

圖G的鄰接矩陣為A=（a ） ，

目標(biāo)函數(shù)：MinZ= y ，

約束條件為：

（1）每個(gè)頂點(diǎn)只能著一種顏色，所以有：

x =1，i=1，2，…，n；

（2）兩頂點(diǎn)有邊相連則不能使用同色，則：

a ·x ·x =0，k=1，1，…，△；

（3）當(dāng)給頂點(diǎn)v 著k色，意味著一定使用了k色，有x ≤y ；

（4）由于染色方案是給出用最少的顏色的方案，因此應(yīng)該避免出現(xiàn)k色未使用而用到k+1色，即有：y ≥y ，k=1，2，…，△-1.

minz= y ，s.t.

綜上所述，色數(shù)問(wèn)題可以轉(zhuǎn)換成如下0-1規(guī)劃：

x =1，i=1，2，…，n；k=1，2，…，△；a ·x ·x =0，i，j=1，2，…，n；k=1，2，…，△；x ≤y ，i=1，2，…，n；k=1，2，…，△；y ≥y ，k=1，2，…△-1；x ∈{0，1}；y ∈{0，1}.

可以說(shuō)學(xué)生從建立圖色數(shù)模型到給出圖色數(shù)的整數(shù)規(guī)劃解法都是在進(jìn)行一次自主研究性學(xué)習(xí)和探索.在探索過(guò)程中，更注重的是方法和思路，而不要太強(qiáng)調(diào)理論證明.在這個(gè)過(guò)程中，學(xué)生是認(rèn)知的主體，教師主要起到適當(dāng)引導(dǎo)和答疑的作用.這樣開(kāi)拓學(xué)生的思路，使他們有自我成就感，同時(shí)也感受到學(xué)習(xí)的樂(lè)趣.

三、編寫(xiě)程序，強(qiáng)化學(xué)生實(shí)踐技能

實(shí)踐環(huán)節(jié)對(duì)培養(yǎng)學(xué)生掌握知識(shí)技能、科研方法，提高創(chuàng)新能力具有重要的作用.在數(shù)學(xué)建模教學(xué)中，學(xué)生掌握基本數(shù)學(xué)模型、編程語(yǔ)言，如Matlab，LINGO等工具軟件后，應(yīng)該利用軟件編寫(xiě)程序?qū)⒛Ｐ蛢?nèi)容進(jìn)行數(shù)值求解.這是一個(gè)很重要的過(guò)程.通過(guò)軟件編程進(jìn)行實(shí)現(xiàn)不僅可以驗(yàn)證建立模型的正確性，而且可以得到一般性的解決方案.值得指出的是，在程序的編寫(xiě)過(guò)程中，往往不是一蹴而就的，學(xué)生都會(huì)在編寫(xiě)過(guò)程中調(diào)試修改，甚至是改變解決方案.在這一環(huán)節(jié)中，學(xué)生不斷調(diào)整思路，突破知識(shí)瓶頸，最終解決問(wèn)題，使得他們分析和解決問(wèn)題的能力得到提高.

四、結(jié)語(yǔ)

在數(shù)學(xué)建模教學(xué)過(guò)程中，學(xué)生是主體.學(xué)生通過(guò)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)建模課程，獲取新知識(shí)和新經(jīng)驗(yàn)，同時(shí)也體會(huì)到應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的重要性.教師在數(shù)學(xué)建模教學(xué)中激發(fā)學(xué)生興趣，引導(dǎo)學(xué)生研究性學(xué)習(xí)，輔導(dǎo)學(xué)生編程實(shí)踐，通過(guò)一整套流程培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神，增強(qiáng)學(xué)生的動(dòng)手意識(shí)，這對(duì)學(xué)生的洞察能力、發(fā)散思維能力、創(chuàng)新實(shí)踐能力的提高大有裨益.

參考文獻(xiàn)：

[1]姜啟源，謝金星，葉俊.數(shù)學(xué)模型[M].高等教育出版社，2011.

[2]姜禮平，李衛(wèi)軍，戴明強(qiáng).數(shù)模競(jìng)賽與創(chuàng)新教育[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)，2001（5）：633-634.

[3]李大潛.數(shù)學(xué)建模與素質(zhì)教育[J].中國(guó)大學(xué)教學(xué)，2002（10）：41-43.

[4]徐俊明.圖論及其應(yīng)用[M].中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社，2010.

基金項(xiàng)目：長(zhǎng)江大學(xué)教研項(xiàng)目（JY2012003，JY2012004）。endprint

摘 要： 培養(yǎng)大學(xué)生創(chuàng)新實(shí)踐能力是高等教育的重要內(nèi)涵.本文以整數(shù)規(guī)劃求解圖色數(shù)問(wèn)題為例， 探討在數(shù)學(xué)建模教學(xué)中如何提高大學(xué)生的創(chuàng)新實(shí)踐能力等問(wèn)題.

關(guān)鍵詞： 數(shù)學(xué)建模教學(xué) 創(chuàng)新能力 實(shí)踐能力

創(chuàng)新是一個(gè)民族進(jìn)步的靈魂，培養(yǎng)大學(xué)生的創(chuàng)新實(shí)踐能力是高等學(xué)校教育的重要內(nèi)涵.數(shù)學(xué)建模課程是高等教育中一門(mén)重要課程，它主要研究通過(guò)合理的假設(shè)，運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具建立數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問(wèn)題的方法，內(nèi)容涉及工程技術(shù)、經(jīng)濟(jì)管理、社會(huì)生活等各個(gè)領(lǐng)域，是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新實(shí)踐能力的很好載體[1].數(shù)學(xué)建模教學(xué)的過(guò)程應(yīng)該是一個(gè)培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力和實(shí)踐能力的過(guò)程.數(shù)學(xué)建模教學(xué)要求教學(xué)方法的創(chuàng)新、改革[2].在目前的環(huán)境下，改進(jìn)數(shù)學(xué)建模的教學(xué)方法，提高學(xué)生的創(chuàng)新實(shí)踐能力顯得尤為重要.

一、創(chuàng)設(shè)情境，激發(fā)學(xué)生探索欲望

在數(shù)學(xué)建模教學(xué)中，教師要主動(dòng)采取措施，鼓勵(lì)并推動(dòng)學(xué)生解決一些理論或?qū)嶋H的問(wèn)題.讓學(xué)生親口嘗一嘗梨子的滋味，親身體驗(yàn)數(shù)學(xué)的創(chuàng)造過(guò)程，取得在課堂里和書(shū)本上無(wú)法代替的寶貴經(jīng)驗(yàn)[3].在理論課教學(xué)中可以適度開(kāi)放教學(xué)內(nèi)容，創(chuàng)設(shè)情境，激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和探索欲望，并給學(xué)生留有一定的思考和創(chuàng)新的空間.例如，某些問(wèn)題可以通過(guò)案例進(jìn)行教學(xué)，可將問(wèn)題提給學(xué)生.

頻道分配問(wèn)題：某地區(qū)有n家電視發(fā)射臺(tái)T ，T ，…，T ，主管部門(mén)給每家電視臺(tái)分配一個(gè)發(fā)射頻道.為排除同頻干擾，使用相同頻道的發(fā)射臺(tái)之間相距必須大于一定的距離d，問(wèn)：你認(rèn)為該地區(qū)至少需要多少個(gè)頻道？如何分配？

這個(gè)問(wèn)題與現(xiàn)實(shí)生活聯(lián)系十分緊密，有深厚的實(shí)際背景.對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)，這個(gè)問(wèn)題有一定的難度，但是學(xué)生很感興趣，都有躍躍欲試的沖動(dòng).問(wèn)題提出來(lái)后，老師并不給出方法，將發(fā)揮的空間留給學(xué)生，讓他們討論和查找書(shū)籍資料完成.

二、進(jìn)行研究性學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力

學(xué)生帶著疑問(wèn)和求知的渴望，對(duì)上面的問(wèn)題進(jìn)行分析和考慮后發(fā)現(xiàn)這樣的規(guī)律，它屬于限制某兩個(gè)有特殊關(guān)系的對(duì)象（電視臺(tái)）禁止有相同的屬性（頻道）的安排問(wèn)題.這類(lèi)問(wèn)題適合轉(zhuǎn)化為圖論模型進(jìn)行分析.

通過(guò)查詢(xún)組合數(shù)學(xué)和圖論[4]相關(guān)書(shū)籍，將n家電視發(fā)射臺(tái)對(duì)應(yīng)n個(gè)頂點(diǎn)，兩個(gè)頂點(diǎn)鄰接當(dāng)且僅當(dāng)它們代表的電視發(fā)射臺(tái)相距大于距離d，這樣得到一個(gè)圖G.圖G的色數(shù)x（G）就是所需頻道的最少數(shù)目，所以這個(gè)問(wèn)題歸結(jié)到圖的色數(shù)問(wèn)題.學(xué)生在這個(gè)過(guò)程中是自己重新發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的模型，老師并不參與，這樣有利于培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維，提高學(xué)生的創(chuàng)新能力.

如何求解色數(shù)問(wèn)題呢？同學(xué)們查詢(xún)書(shū)籍知道色數(shù)的確定目前沒(méi)有好的算法，怎樣根據(jù)自己所學(xué)的知識(shí)求解是學(xué)生面臨的又一次考驗(yàn).有的學(xué)生注意到色數(shù)問(wèn)題實(shí)際上是一個(gè)帶約束的安排問(wèn)題，想到了采用整數(shù)規(guī)劃方法.當(dāng)圖的規(guī)模不是很大時(shí)，給出一個(gè)整數(shù)規(guī)劃解法求解圖色數(shù)問(wèn)題是很有意義的.

通過(guò)查閱組合數(shù)學(xué)和圖論[4]中染色理論的相關(guān)資料可以知道，對(duì)一個(gè)連通圖G=（V，E），如果不是奇圈和完全圖，則f（G）≤△.對(duì)除了奇圈和完全圖之外的圖G，可以選一個(gè)顏色集合{1，2，…，△}給G頂點(diǎn)著色，我們的目標(biāo)是相鄰點(diǎn)不同色，且使用顏色最少.

用顏色1，2，…，k（k≤△）給點(diǎn)v （i=1，2，…n）著色，引入0-1變量x ，y ，使得：

x =1，點(diǎn)v 著k色0，其他，y =1，使用顏色k0，其他

圖G的鄰接矩陣為A=（a ） ，

目標(biāo)函數(shù)：MinZ= y ，

約束條件為：

（1）每個(gè)頂點(diǎn)只能著一種顏色，所以有：

x =1，i=1，2，…，n；

（2）兩頂點(diǎn)有邊相連則不能使用同色，則：

a ·x ·x =0，k=1，1，…，△；

（3）當(dāng)給頂點(diǎn)v 著k色，意味著一定使用了k色，有x ≤y ；

（4）由于染色方案是給出用最少的顏色的方案，因此應(yīng)該避免出現(xiàn)k色未使用而用到k+1色，即有：y ≥y ，k=1，2，…，△-1.

minz= y ，s.t.

綜上所述，色數(shù)問(wèn)題可以轉(zhuǎn)換成如下0-1規(guī)劃：

x =1，i=1，2，…，n；k=1，2，…，△；a ·x ·x =0，i，j=1，2，…，n；k=1，2，…，△；x ≤y ，i=1，2，…，n；k=1，2，…，△；y ≥y ，k=1，2，…△-1；x ∈{0，1}；y ∈{0，1}.

可以說(shuō)學(xué)生從建立圖色數(shù)模型到給出圖色數(shù)的整數(shù)規(guī)劃解法都是在進(jìn)行一次自主研究性學(xué)習(xí)和探索.在探索過(guò)程中，更注重的是方法和思路，而不要太強(qiáng)調(diào)理論證明.在這個(gè)過(guò)程中，學(xué)生是認(rèn)知的主體，教師主要起到適當(dāng)引導(dǎo)和答疑的作用.這樣開(kāi)拓學(xué)生的思路，使他們有自我成就感，同時(shí)也感受到學(xué)習(xí)的樂(lè)趣.

三、編寫(xiě)程序，強(qiáng)化學(xué)生實(shí)踐技能

實(shí)踐環(huán)節(jié)對(duì)培養(yǎng)學(xué)生掌握知識(shí)技能、科研方法，提高創(chuàng)新能力具有重要的作用.在數(shù)學(xué)建模教學(xué)中，學(xué)生掌握基本數(shù)學(xué)模型、編程語(yǔ)言，如Matlab，LINGO等工具軟件后，應(yīng)該利用軟件編寫(xiě)程序?qū)⒛Ｐ蛢?nèi)容進(jìn)行數(shù)值求解.這是一個(gè)很重要的過(guò)程.通過(guò)軟件編程進(jìn)行實(shí)現(xiàn)不僅可以驗(yàn)證建立模型的正確性，而且可以得到一般性的解決方案.值得指出的是，在程序的編寫(xiě)過(guò)程中，往往不是一蹴而就的，學(xué)生都會(huì)在編寫(xiě)過(guò)程中調(diào)試修改，甚至是改變解決方案.在這一環(huán)節(jié)中，學(xué)生不斷調(diào)整思路，突破知識(shí)瓶頸，最終解決問(wèn)題，使得他們分析和解決問(wèn)題的能力得到提高.

四、結(jié)語(yǔ)

在數(shù)學(xué)建模教學(xué)過(guò)程中，學(xué)生是主體.學(xué)生通過(guò)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)建模課程，獲取新知識(shí)和新經(jīng)驗(yàn)，同時(shí)也體會(huì)到應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的重要性.教師在數(shù)學(xué)建模教學(xué)中激發(fā)學(xué)生興趣，引導(dǎo)學(xué)生研究性學(xué)習(xí)，輔導(dǎo)學(xué)生編程實(shí)踐，通過(guò)一整套流程培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神，增強(qiáng)學(xué)生的動(dòng)手意識(shí)，這對(duì)學(xué)生的洞察能力、發(fā)散思維能力、創(chuàng)新實(shí)踐能力的提高大有裨益.

參考文獻(xiàn)：

[1]姜啟源，謝金星，葉俊.數(shù)學(xué)模型[M].高等教育出版社，2011.

[2]姜禮平，李衛(wèi)軍，戴明強(qiáng).數(shù)模競(jìng)賽與創(chuàng)新教育[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)，2001（5）：633-634.

[3]李大潛.數(shù)學(xué)建模與素質(zhì)教育[J].中國(guó)大學(xué)教學(xué)，2002（10）：41-43.

[4]徐俊明.圖論及其應(yīng)用[M].中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社，2010.

基金項(xiàng)目：長(zhǎng)江大學(xué)教研項(xiàng)目（JY2012003，JY2012004）。endprint

摘 要： 培養(yǎng)大學(xué)生創(chuàng)新實(shí)踐能力是高等教育的重要內(nèi)涵.本文以整數(shù)規(guī)劃求解圖色數(shù)問(wèn)題為例， 探討在數(shù)學(xué)建模教學(xué)中如何提高大學(xué)生的創(chuàng)新實(shí)踐能力等問(wèn)題.

關(guān)鍵詞： 數(shù)學(xué)建模教學(xué) 創(chuàng)新能力 實(shí)踐能力

創(chuàng)新是一個(gè)民族進(jìn)步的靈魂，培養(yǎng)大學(xué)生的創(chuàng)新實(shí)踐能力是高等學(xué)校教育的重要內(nèi)涵.數(shù)學(xué)建模課程是高等教育中一門(mén)重要課程，它主要研究通過(guò)合理的假設(shè)，運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具建立數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問(wèn)題的方法，內(nèi)容涉及工程技術(shù)、經(jīng)濟(jì)管理、社會(huì)生活等各個(gè)領(lǐng)域，是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新實(shí)踐能力的很好載體[1].數(shù)學(xué)建模教學(xué)的過(guò)程應(yīng)該是一個(gè)培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力和實(shí)踐能力的過(guò)程.數(shù)學(xué)建模教學(xué)要求教學(xué)方法的創(chuàng)新、改革[2].在目前的環(huán)境下，改進(jìn)數(shù)學(xué)建模的教學(xué)方法，提高學(xué)生的創(chuàng)新實(shí)踐能力顯得尤為重要.

一、創(chuàng)設(shè)情境，激發(fā)學(xué)生探索欲望

在數(shù)學(xué)建模教學(xué)中，教師要主動(dòng)采取措施，鼓勵(lì)并推動(dòng)學(xué)生解決一些理論或?qū)嶋H的問(wèn)題.讓學(xué)生親口嘗一嘗梨子的滋味，親身體驗(yàn)數(shù)學(xué)的創(chuàng)造過(guò)程，取得在課堂里和書(shū)本上無(wú)法代替的寶貴經(jīng)驗(yàn)[3].在理論課教學(xué)中可以適度開(kāi)放教學(xué)內(nèi)容，創(chuàng)設(shè)情境，激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和探索欲望，并給學(xué)生留有一定的思考和創(chuàng)新的空間.例如，某些問(wèn)題可以通過(guò)案例進(jìn)行教學(xué)，可將問(wèn)題提給學(xué)生.

頻道分配問(wèn)題：某地區(qū)有n家電視發(fā)射臺(tái)T ，T ，…，T ，主管部門(mén)給每家電視臺(tái)分配一個(gè)發(fā)射頻道.為排除同頻干擾，使用相同頻道的發(fā)射臺(tái)之間相距必須大于一定的距離d，問(wèn)：你認(rèn)為該地區(qū)至少需要多少個(gè)頻道？如何分配？

這個(gè)問(wèn)題與現(xiàn)實(shí)生活聯(lián)系十分緊密，有深厚的實(shí)際背景.對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)，這個(gè)問(wèn)題有一定的難度，但是學(xué)生很感興趣，都有躍躍欲試的沖動(dòng).問(wèn)題提出來(lái)后，老師并不給出方法，將發(fā)揮的空間留給學(xué)生，讓他們討論和查找書(shū)籍資料完成.

二、進(jìn)行研究性學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力

學(xué)生帶著疑問(wèn)和求知的渴望，對(duì)上面的問(wèn)題進(jìn)行分析和考慮后發(fā)現(xiàn)這樣的規(guī)律，它屬于限制某兩個(gè)有特殊關(guān)系的對(duì)象（電視臺(tái)）禁止有相同的屬性（頻道）的安排問(wèn)題.這類(lèi)問(wèn)題適合轉(zhuǎn)化為圖論模型進(jìn)行分析.

通過(guò)查詢(xún)組合數(shù)學(xué)和圖論[4]相關(guān)書(shū)籍，將n家電視發(fā)射臺(tái)對(duì)應(yīng)n個(gè)頂點(diǎn)，兩個(gè)頂點(diǎn)鄰接當(dāng)且僅當(dāng)它們代表的電視發(fā)射臺(tái)相距大于距離d，這樣得到一個(gè)圖G.圖G的色數(shù)x（G）就是所需頻道的最少數(shù)目，所以這個(gè)問(wèn)題歸結(jié)到圖的色數(shù)問(wèn)題.學(xué)生在這個(gè)過(guò)程中是自己重新發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的模型，老師并不參與，這樣有利于培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維，提高學(xué)生的創(chuàng)新能力.

如何求解色數(shù)問(wèn)題呢？同學(xué)們查詢(xún)書(shū)籍知道色數(shù)的確定目前沒(méi)有好的算法，怎樣根據(jù)自己所學(xué)的知識(shí)求解是學(xué)生面臨的又一次考驗(yàn).有的學(xué)生注意到色數(shù)問(wèn)題實(shí)際上是一個(gè)帶約束的安排問(wèn)題，想到了采用整數(shù)規(guī)劃方法.當(dāng)圖的規(guī)模不是很大時(shí)，給出一個(gè)整數(shù)規(guī)劃解法求解圖色數(shù)問(wèn)題是很有意義的.

通過(guò)查閱組合數(shù)學(xué)和圖論[4]中染色理論的相關(guān)資料可以知道，對(duì)一個(gè)連通圖G=（V，E），如果不是奇圈和完全圖，則f（G）≤△.對(duì)除了奇圈和完全圖之外的圖G，可以選一個(gè)顏色集合{1，2，…，△}給G頂點(diǎn)著色，我們的目標(biāo)是相鄰點(diǎn)不同色，且使用顏色最少.

用顏色1，2，…，k（k≤△）給點(diǎn)v （i=1，2，…n）著色，引入0-1變量x ，y ，使得：

x =1，點(diǎn)v 著k色0，其他，y =1，使用顏色k0，其他

圖G的鄰接矩陣為A=（a ） ，

目標(biāo)函數(shù)：MinZ= y ，

約束條件為：

（1）每個(gè)頂點(diǎn)只能著一種顏色，所以有：

x =1，i=1，2，…，n；

（2）兩頂點(diǎn)有邊相連則不能使用同色，則：

a ·x ·x =0，k=1，1，…，△；

（3）當(dāng)給頂點(diǎn)v 著k色，意味著一定使用了k色，有x ≤y ；

（4）由于染色方案是給出用最少的顏色的方案，因此應(yīng)該避免出現(xiàn)k色未使用而用到k+1色，即有：y ≥y ，k=1，2，…，△-1.

minz= y ，s.t.

綜上所述，色數(shù)問(wèn)題可以轉(zhuǎn)換成如下0-1規(guī)劃：

x =1，i=1，2，…，n；k=1，2，…，△；a ·x ·x =0，i，j=1，2，…，n；k=1，2，…，△；x ≤y ，i=1，2，…，n；k=1，2，…，△；y ≥y ，k=1，2，…△-1；x ∈{0，1}；y ∈{0，1}.

可以說(shuō)學(xué)生從建立圖色數(shù)模型到給出圖色數(shù)的整數(shù)規(guī)劃解法都是在進(jìn)行一次自主研究性學(xué)習(xí)和探索.在探索過(guò)程中，更注重的是方法和思路，而不要太強(qiáng)調(diào)理論證明.在這個(gè)過(guò)程中，學(xué)生是認(rèn)知的主體，教師主要起到適當(dāng)引導(dǎo)和答疑的作用.這樣開(kāi)拓學(xué)生的思路，使他們有自我成就感，同時(shí)也感受到學(xué)習(xí)的樂(lè)趣.

三、編寫(xiě)程序，強(qiáng)化學(xué)生實(shí)踐技能

實(shí)踐環(huán)節(jié)對(duì)培養(yǎng)學(xué)生掌握知識(shí)技能、科研方法，提高創(chuàng)新能力具有重要的作用.在數(shù)學(xué)建模教學(xué)中，學(xué)生掌握基本數(shù)學(xué)模型、編程語(yǔ)言，如Matlab，LINGO等工具軟件后，應(yīng)該利用軟件編寫(xiě)程序?qū)⒛Ｐ蛢?nèi)容進(jìn)行數(shù)值求解.這是一個(gè)很重要的過(guò)程.通過(guò)軟件編程進(jìn)行實(shí)現(xiàn)不僅可以驗(yàn)證建立模型的正確性，而且可以得到一般性的解決方案.值得指出的是，在程序的編寫(xiě)過(guò)程中，往往不是一蹴而就的，學(xué)生都會(huì)在編寫(xiě)過(guò)程中調(diào)試修改，甚至是改變解決方案.在這一環(huán)節(jié)中，學(xué)生不斷調(diào)整思路，突破知識(shí)瓶頸，最終解決問(wèn)題，使得他們分析和解決問(wèn)題的能力得到提高.

四、結(jié)語(yǔ)

在數(shù)學(xué)建模教學(xué)過(guò)程中，學(xué)生是主體.學(xué)生通過(guò)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)建模課程，獲取新知識(shí)和新經(jīng)驗(yàn)，同時(shí)也體會(huì)到應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的重要性.教師在數(shù)學(xué)建模教學(xué)中激發(fā)學(xué)生興趣，引導(dǎo)學(xué)生研究性學(xué)習(xí)，輔導(dǎo)學(xué)生編程實(shí)踐，通過(guò)一整套流程培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神，增強(qiáng)學(xué)生的動(dòng)手意識(shí)，這對(duì)學(xué)生的洞察能力、發(fā)散思維能力、創(chuàng)新實(shí)踐能力的提高大有裨益.

參考文獻(xiàn)：

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基金項(xiàng)目：長(zhǎng)江大學(xué)教研項(xiàng)目（JY2012003，JY2012004）。endprint