張持良，王吉有，郭子豪，張 兵

(北京工業(yè)大學(xué)，北京 100124)

三線擺作為測(cè)量物體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的有效工具常被應(yīng)用于實(shí)驗(yàn)測(cè)量［1-3］，目前多數(shù)大學(xué)開(kāi)設(shè)此類(lèi)實(shí)驗(yàn)［4-6］。在小角度(一般小于5度)擺動(dòng)情況下，擺動(dòng)近似于簡(jiǎn)諧振動(dòng)，利用三線擺相關(guān)儀器測(cè)出參數(shù)及周期，可計(jì)算出轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的大小。實(shí)驗(yàn)時(shí)學(xué)生控制擺動(dòng)角度范圍不準(zhǔn)、擺動(dòng)圓盤(pán)偏心和空氣阻力等均會(huì)導(dǎo)致實(shí)驗(yàn)誤差。本文利用自己設(shè)計(jì)可以測(cè)量擺動(dòng)角度的三線擺儀器，測(cè)量了10度到60度擺角擺動(dòng)周期，對(duì)實(shí)驗(yàn)測(cè)量周期與理論周期進(jìn)行了對(duì)比分析。

1 實(shí)驗(yàn)原理

在無(wú)阻尼情況下，在擺盤(pán)啟動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)一定角度θ(t)后，可以推導(dǎo)出擺動(dòng)周期的理論公式［2］:

其中:T0為小角度下(近似簡(jiǎn)諧振動(dòng)時(shí))的擺動(dòng)周期，θ0是擺動(dòng)角。T0=4π2H/(Im0gRr)，H 是上下盤(pán)之間的垂直距離，r是上盤(pán)圓心到懸點(diǎn)半徑，R為底盤(pán)圓心到懸點(diǎn)半徑，g是重力加速度，m0是底盤(pán)的質(zhì)量，I是底盤(pán)沿中心軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。

圖1 三線擺幾何分析圖

2 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)和分析

2．1 擺動(dòng)周期的理論值與實(shí)驗(yàn)值的對(duì)比研究

我們對(duì)上海天欣科教儀器有限公司生產(chǎn)的FD-IM-II型新型轉(zhuǎn)動(dòng)慣量測(cè)定儀進(jìn)行了改進(jìn)，制作增加了有機(jī)玻璃角度儀，以測(cè)量不同擺動(dòng)角度下的周期，使用matlab軟件計(jì)算了公式(1)在不同角度下的理論擺動(dòng)周期值，利用計(jì)算和測(cè)量數(shù)據(jù)繪制了圖2。其中T為理論周期，T1為實(shí)驗(yàn)測(cè)量周期。實(shí)驗(yàn)中三線擺的參數(shù)為:底盤(pán)的直徑D=16．84 cm，上下盤(pán)之間的垂直距離H=49．9 cm，上盤(pán)圓心到懸點(diǎn)半徑r=3．03 cm，底盤(pán)圓心到懸點(diǎn)半徑R=8．03 cm，底盤(pán)的質(zhì)量m0=601．78 g 。帶入計(jì)算得到T0=4π2H/(Im0gRr)，理論值T0=1．693 s。

圖2 三線擺擺動(dòng)理論周期T、實(shí)測(cè)周期T1與角度的關(guān)系

從圖2可以看出，隨著擺動(dòng)角度的增加，擺動(dòng)周期變大，這主要是擺動(dòng)運(yùn)動(dòng)已經(jīng)不是周期不變的簡(jiǎn)諧振動(dòng)。隨著擺動(dòng)角度的增大，擺動(dòng)的理論周期與實(shí)測(cè)周期誤差也不斷增加，當(dāng)擺動(dòng)角度在35°以內(nèi)時(shí)，擺動(dòng)的理論周期與實(shí)測(cè)周期的相對(duì)誤差小于千分之五，見(jiàn)圖3。

圖3 實(shí)驗(yàn)周期對(duì)理論周期的相對(duì)誤差與擺角的關(guān)系

2．2 擺動(dòng)過(guò)程中的平動(dòng)分析

采用上文相同裝置，先把擺盤(pán)扭到某個(gè)固定角度，然后釋放，并開(kāi)始計(jì)時(shí)。由于計(jì)時(shí)器顯示的是整周期完成時(shí)的時(shí)間，而不是連續(xù)變化的時(shí)間，所以我們采用對(duì)計(jì)時(shí)器錄像的方式進(jìn)行數(shù)據(jù)記錄，通過(guò)分析計(jì)時(shí)器的計(jì)時(shí)錄像，記錄出31個(gè)相鄰而且連續(xù)增加的完整擺動(dòng)周期。我們測(cè)出擺盤(pán)轉(zhuǎn)動(dòng)角度分別為 10°，15°，20°，25°，30°，35°，40°，45°，50°，55°，60°擺盤(pán)擺動(dòng)2n次時(shí)對(duì)應(yīng)的Tn(第n次擺盤(pán)的擺動(dòng)周期)，通過(guò)畫(huà)圖分析，都發(fā)現(xiàn)隨著擺動(dòng)時(shí)間的變化，三線擺的擺動(dòng)周期在縮小，擺動(dòng)角在減小。此外，還發(fā)現(xiàn)擺動(dòng)周期并不是連續(xù)的變小，而是呈周期性的變化并減小。

圖4是擺盤(pán)釋放起始角為60°時(shí)的周期數(shù)據(jù)，觀察圖像可以看出單個(gè)擺動(dòng)周期值與周期序數(shù)關(guān)系圖呈衰減波形，從實(shí)驗(yàn)上可以觀察到這是由擺盤(pán)的平動(dòng)引起的，由于擺盤(pán)平動(dòng)，使得觸發(fā)時(shí)間計(jì)數(shù)的擺線也平動(dòng)，導(dǎo)致測(cè)量周期的變化。平動(dòng)周期可用相鄰波峰間的橫軸距離表示。用同樣的方法，我們 又 記 錄 了 10°，15°，20°，25°，30°，35°，40°，45°，50°，55°(由于周期的衰減，9°以下的數(shù)據(jù)將不能完整精確測(cè)出，故最小測(cè)量角度定為10°)的周期值與周期序數(shù)關(guān)系。

圖4 60度擺角起始時(shí)擺動(dòng)周期與周期數(shù)的關(guān)系

為減小阻尼對(duì)實(shí)驗(yàn)的影響，在平動(dòng)周期的數(shù)據(jù)分析中我們均取第一個(gè)完整平動(dòng)周期(統(tǒng)一設(shè)定“波峰—波谷—波峰”為一周期)數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算。由圖4可以看出，三線擺一個(gè)平動(dòng)周期由若干個(gè)擺動(dòng)周期組成，平動(dòng)周期值即為第一個(gè)完整平動(dòng)周期曲線對(duì)周期序數(shù)n的積分，用這種算法，我們可以近似計(jì)算出不同角度下的擺盤(pán)平動(dòng)周期。保持實(shí)驗(yàn)裝置其他參數(shù)不變，由實(shí)驗(yàn)得不同角度下平動(dòng)周期值，見(jiàn)表1(用Tp表示平動(dòng)周期值)。

我們發(fā)現(xiàn)三線擺的擺動(dòng)周期和平動(dòng)周期都與擺盤(pán)的擺動(dòng)起始角有關(guān)，所以我們假設(shè)一個(gè)平動(dòng)周期與擺動(dòng)周期的比值參數(shù)，用ρ表示ρ=Tp/T，從表1看到，不同擺動(dòng)起始角的時(shí)ρ值比較相近，計(jì)算得ρ的平均值為5．011，故可得在我們實(shí)驗(yàn)條件下，三線擺近似平動(dòng)周期公式Tp=5．011×T(T為三線擺轉(zhuǎn)動(dòng)周期)。

表1 三線擺平動(dòng)周期與角度的關(guān)系

由于實(shí)驗(yàn)中的平動(dòng)不可避免，所以學(xué)生在進(jìn)行三線擺測(cè)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量時(shí)，擺動(dòng)周期的測(cè)量次數(shù)至少要包括一個(gè)平動(dòng)周期，最好是2個(gè)平動(dòng)周期，即測(cè)量10個(gè)擺動(dòng)周期的平均值。

2．3 有阻尼情況下轉(zhuǎn)動(dòng)周期修改近似公式

利用上述三線擺阻尼分析實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，容易看出圖4中的波形遞減是由阻尼引起的。為方便觀察阻尼大小，我們列出了不同擺動(dòng)起始角的每條阻尼曲線在完整平動(dòng)周期內(nèi)的擺動(dòng)周期平均值(T1表示第一個(gè)平動(dòng)周期內(nèi)的轉(zhuǎn)動(dòng)周期平均值，T2、T3、T4、T5、T6類(lèi)推)，見(jiàn)表 2。

表2 因阻尼影響不同角度下擺動(dòng)周期

將每一角度下的擺動(dòng)周期TN進(jìn)行直線擬合，從線性相關(guān)系數(shù)分析得出:大角度下，線性度很好，擺動(dòng)周期隨著擺動(dòng)次數(shù)而線性減小，擺動(dòng)起始角越小，阻尼現(xiàn)象越弱。

3 結(jié) 論

通過(guò)拉格朗日方程得出了大角度下三線擺周期與擺動(dòng)角度的關(guān)系公式，并進(jìn)行實(shí)驗(yàn)測(cè)量分析，發(fā)現(xiàn)擺角越大，相對(duì)誤差越大。在實(shí)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)了無(wú)法避免的擺盤(pán)的平動(dòng)，計(jì)算得平動(dòng)周期約為擺動(dòng)周期的5倍。研究了阻尼對(duì)擺動(dòng)周期的影響，發(fā)現(xiàn)擺動(dòng)周期隨著擺動(dòng)次數(shù)而線性減小，擺動(dòng)起始角越小，阻尼現(xiàn)象越弱。由于實(shí)驗(yàn)中的平動(dòng)不可避免，所以建議:學(xué)生在利用三線擺測(cè)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量時(shí)，擺動(dòng)周期的測(cè)量次數(shù)至少要包括一個(gè)平動(dòng)周期，最好是2個(gè)平動(dòng)周期，即測(cè)量10個(gè)擺動(dòng)周期的平均值。

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