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分數(shù)Black-Scholes模型下美式亞式期權的近似定價法

2017-07-31 16:39林漢燕
關鍵詞:幾何平均布朗運動歐式

林漢燕,袁 媛

(桂林航天工業(yè)學院理學部,廣西 桂林,541004)

分數(shù)Black-Scholes模型下美式亞式期權的近似定價法

林漢燕,袁 媛

(桂林航天工業(yè)學院理學部,廣西 桂林,541004)

在分數(shù)Black-Scholes模型下,首先應用偏微分方程法簡要推導具有固定敲定價格的歐式幾何平均亞式期權的定價公式,然后將標準Black-Scholes模型下美式期權定價的二次近似法推廣到美式亞式期權,得到具有固定敲定價格的美式幾何平均亞式期權價格的近似解析式.

分數(shù)Black-Scholes模型;美式亞式期權;幾何平均;二次近似法

0引言

亞式期權是期權在到期日的收益依賴于整個有效期內(nèi)標的資產(chǎn)價格平均值的合約.由于亞式期權是一種強路徑依賴型期權,所以可以避免投機者通過操縱標的資產(chǎn)價格獲得暴利;另一方面,由于亞式期權比標準期權便宜,而且隨著時間增大,期權價格呈下降趨勢,所以對于某些公司亞式期權比標準期權更有吸引力.目前亞式期權在國際貿(mào)易、基金公司、保險公司等金融領域應用廣泛,很多學者對它的定價進行了研究[1-4],但這些成果都是針對標準Black-Scholes模型下的歐式亞式期權,美式亞式期權的研究很少.美式亞式期權是場內(nèi)外交易的重要期權之一,由于它具有美式期權的特點,可以在到期日前提前實施,但何時實施獲利最多未知,不能得到價格解的顯示表達式;同時又具有亞式期權的特點,所以定價顯得更復雜.目前美式亞式期權的研究成果有Ben-Ameur等用動態(tài)規(guī)劃法研究美式亞式期權價格[5];Hanse等在標準Black-Scholes模型下研究具有浮動價格的算術平均和幾何平均的美式亞式期權價格的定價[6];王旭等先利用Monte-Carlo模擬Black-Scholes模型下標的資產(chǎn)的價格路徑,然后應用偏最小二乘回歸法計算美式亞式期權價格[7];孔文濤等在標的資產(chǎn)價格服從跳躍-擴散模型、利率遵循短期隨機利率模型的基礎上,應用總體最小二乘擬蒙特卡羅方法為美式亞式期權定價[8]等.分數(shù)Black-Scholes模型[9]是比標準Black-Scholes模型更接近股票運動特征的模型.在分數(shù)Black-Scholes模型下,文獻[10]用擬條件期望法得到了浮動價格的平均歐式亞式期權的定價公式;文獻[11]給出了基于可靠性思想的期權定價方法;文獻[12]應用保險精算法推導具有固定敲定價格的幾何平均歐式亞式期權的定價公式;文獻[13]應用隨機分析理論討論亞式期權的定價;文獻[14]應用偏微分方程法研究亞式期權的定價.本文在分數(shù)Black-Scholes模型下,對連續(xù)情形下具有固定敲定價格的幾何平均美式亞式期權的價格進行研究.為下文敘述方便,首先用偏微分方程方法[14]簡要推導歐式幾何平均亞式期權的定價公式.在這基礎上,將標準Black-Scholes模型下美式期權定價的二次近似法[15]應用到美式亞式期權,得到期權價格的近似解析式.

1 基本模型

定義1設(Ω,F(xiàn),R)是一個完備的概率空間,H∈(0,1),稱連續(xù)的高斯過程BH={B(Ht);t≥0}是Hurst參數(shù)為H的分數(shù)布朗運動,如果它滿足:

這里E表示關于概率測度P的期望.

分數(shù)布朗運動的另一個重要性質(zhì)是具有自相似性,即對任意的H∈(0,1)和α>0,B(Hαt)與αHB(Ht)有相同的有限維概率分布.本文討論Hurst參數(shù)1/2<H<1時的情形.

現(xiàn)假設金融市場僅有兩種資產(chǎn),資產(chǎn)交易的額度和時間連續(xù),交易時間為[0,T],可以買空賣空,不存在交易稅收和費用,借款和存款的利率相同.設第一種資產(chǎn)是連續(xù)支付紅利的風險資產(chǎn),其價格S=S(t)滿足分數(shù)布朗運動:

第二種資產(chǎn)是無風險證券,其價格A(t)滿足:

其中r(t)表示無風險利率,q(t)表示紅利率,σ≠0表示股價瞬時波動率(常數(shù)),μ(t)表示股價期望回報率,B(Ht)表示分數(shù)布朗運動,“◇”表示W(wǎng)ick積分.模型(1)、(2)稱為分數(shù)Black-Scholes模型,并且是無套利的完全市場模型.

文獻[14]證明了分數(shù)Black-Scholes模型下連續(xù)情形的具有固定敲定價格的歐式幾何平均亞式期權的價格F(t,J,S)滿足:

2 歐式具有固定敲定價格的幾何平均亞式期權的定價

定理1分數(shù)Black-Scholes模型下無風險率為r,紅利率為q,波動率為σ(r、q、σ均為常數(shù)),到期時間為T,執(zhí)行價格為K的具有固定敲定價格幾何平均亞式看漲期權在時刻t的價格c(t,J,S)為

類似得

定理2分數(shù)Black-Scholes模型下無風險率為r,紅利率為q,波動率為σ(r、q、σ均為常數(shù)),到期時間為T,執(zhí)行價格為K的具有固定敲定價格幾何平均亞式看跌期權在時刻t的價格p(t,J,S)為

3 美式具有固定敲定價格的幾何平均亞式期權的近似定價

設e(ξ,t)=e(t,J,S)(ξ同前)為t時刻美式亞式看漲期權價格的提前實施溢價,則e(ξ,t)=U(ξ,t)-u(ξ,t),其中U(ξ,t)=C(t,J,S)、u(ξ,t)=c(t,J,S)分別為t時刻美式亞式看漲期權和歐式亞式看漲期權價格.U(ξ,t)適合定解問題

其中0<ξ<ξ*,0<t<T,ξ*表示美式亞式看漲期權的最佳實施邊界.顯然e(ξ,t)滿足方程

令e(ξ,t)=h(φ)g(ξ,h(φ)),其中h=h(φ)、φ=φ(t)待定,且φ(t)滿足φ(T)=0,上式可化為

由此得

定理3分數(shù)Black-Scholes模型下無風險率為r,紅利率為q,波動率為σ(r、q、σ均為常數(shù)),到期時間為T,執(zhí)行價格為K的具有固定敲定價格幾何平均美式亞式看漲期權在t時刻價格C(t,J,S)為

類似得

定理4分數(shù)Black-Scholes模型下無風險率為r,紅利率為q,波動率為σ(r、q、σ均為常數(shù)),到期時間為T,執(zhí)行價格為K的具有固定敲定價格幾何平均美式亞式看跌期權在t時刻價格P(t,J,S)為

4 結論

本文在分數(shù)Black-Scholes模型下用二次近似法推導了連續(xù)情形的具有固定敲定價格美式亞式期權定價的近似公式.公式形式與Black-Scholes模型下標準美式期權定價的近似公式相似.

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American-Style Asian Option Pricing in the Fractional Black-Scholes Model

LIN Hanyan,YUAN Yuan
(Guilin Universityof Aerospace Technology,Facultyof Science,Guilin 541004,Guangxi,China)

The formulas of the European-style geometric average Asian option with fix strike price by partial differential equation method in the fractional Black-Scholes model are derived. Based on the formulas,the classical quadratic approximation in the standard Black-Scholes model is applied to the pricing of American-style Asian option.The approximate formulas of American-style geometric average Asian option with fix strike price are obtained.

fractional Black-Scholes model;American-style Asian option;geometric average; quadratic approximation

O211.6;F830.9

A

1001-4217(2017)03-0015-07

2016-09-02

林漢燕(1973—),女,漢族,廣西貴港人,碩士,副教授,研究方向:金融數(shù)學. E-mail:linhanyan2006@163.com

廣西教育廳科研項目(YB2014436).

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