■李忠余 王慧

可轉換債券因嵌入許多期權，條款設計復雜，一般對估值模型的計算很難得到解析解，而常用數(shù)值方法來模擬。二叉樹方法對相關條款的處理比較靈活，可以較好地處理嵌入可轉換債券中的各種期權。作者結合可轉換債券的各種條款對二叉樹方法進行了分析，并利用該模型對滬、深兩市的可轉換債券進行估值模擬。

一、影響可轉換債券價值的主要條款

可轉換債券（以下簡稱“可轉債”）是一種混合型的金融衍生產品，其條款設計既體現(xiàn)了普通債券的特征，也體現(xiàn)了期權衍生品的特征。這些條款會直接影響可轉債的價值，它們對可轉債價值的影響既可能是獨立的，也可能是交織在一起的。

（一）利率條款

我國可轉債利率條款主要包括票面利率和補償利率。票面利率主要有固定利率和浮動利率兩種，目前滬、深上市的可轉債都采用浮動利率，并且其利率呈逐年上升趨勢，我國可轉債的票面利率一般不超過銀行同期存款利率水平。補償利率主要指投資者持有至到期后會獲得額外的利息作為未轉股的補償，該條款可減弱投資者轉股欲望，避免轉股對標的股價產生重大影響，從而保護原有股東的權益。

（二）轉股條款

該條款主要包括轉股價格、轉股比例、轉股價格調整條款和轉股期。轉股價格是指將可轉債轉換成標的股票的每股價格，一般在可轉債發(fā)行時就已確定。轉股比例是指每張債券所能轉換成標的股票的份數(shù)，轉股比例=債券面值／轉股價格。轉股價格調整條款是指由于標的股票價格變化達到一定程度或公司股份、股東權益發(fā)生變化，為了保護公司和原有股東權益而對轉股價格進行調整。一般分為向上調整條款和向下調整條款。轉股期是指允許投資者將可轉債轉換為標的股票的期限，轉股期可以與債券的期限相同，也可以短于債券的期限。

（三）贖回條款

該條款主要包括贖回期、贖回條件和贖回價格。贖回期指可轉債允許贖回的期限，一般短于債券的整個壽命期。贖回條件一般分為無條件贖回和有條件贖回兩種，后者指可轉債發(fā)行人在符合約定的條件下能以預先規(guī)定的價格從投資者手中提前贖回全部或部分未轉股的可轉債，當公司股價或某一段時間平均股價高于轉股價達到規(guī)定幅度并持續(xù)一定時間后，發(fā)行人有權贖回未轉股的可轉債。國外通常把股票價格在持續(xù)30個交易日達到或超過轉股價格的100～150%作為贖回條件。我國可轉債的贖回條件一般設定為在可轉債轉股期內，如果公司股票在任意連續(xù)30個交易日中至少有15或20個交易日的收盤價不低于當期轉股價格的130%。贖回價格指可轉債贖回時的價格，我國可轉債贖回價格一般為其面值的102～106%，我國滬、深上市的可轉債贖回價格一般包含當期利息。贖回條款的存在會使可轉債的投資價值降低。

（四）回售條款

該條款主要包括回售期、回售條件和回售價格。回售期指可轉債允許回售的期限，一般短于債券的整個壽命期?；厥蹢l件一般分為無條件回售和有條件回售，后者指在可轉債有效期內公司股價或平均股價低于轉股價的某一下限幅度時，投資者有權向發(fā)行公司以一定的價格回售全部或部分未轉股的可轉債。通常是當標的股票價格在規(guī)定的一段時間內連續(xù)低于轉股價格達到某一幅度時，投資者可以高于面值的某個價格將可轉債回售給發(fā)行公司。我國可轉債回售條件一般設定為如果收盤價連續(xù)30個交易日低于當期轉股價格的70%時，可轉債持有人有權將其持有的可轉債全部或部分按面值的一定倍數(shù)回售給發(fā)行人。按回售方式的不同還可以分為硬回售（Hard put）和軟回售（Soft put），硬回售是指債券發(fā)行人必須以現(xiàn)金方式買回，軟回售指發(fā)行人可以選擇買回方式。回售價格指回售可轉債時的價格，我國可轉債的回售價格一般為其面值的102～105%，我國滬、深上市的可轉債回售價格一般包含當期利息。該條款是投資者的一項保護條款，它實質上是投資者的一項看跌期權，由于投資者是該項期權的多頭方，因此該條款的設立使得可轉債的投資價值升高。我國可轉債的實際運作表明由于轉股價格調整條款的存在，可轉債回售條件很難達到。

二、二叉樹方法在評估可轉債時的應用

（一）可轉債的價值方程

本文主要參考Tsiveriotis和Fernandes對可轉債估值的模型，結合中國可轉債的具體特點和條款利用二叉樹方法進行估值模擬。Tsiveriotis和Fernandes的研究表明利率的隨機波動對可轉債的價值影響很小，可以忽略，并且認為信用風險是不變的，所以該模型可以認為是單因素模型。Tsiveriotis和Fernandes將可轉債的價值分解成兩部分，一是現(xiàn)金部分(“cash-only part of the convertible bond”(COCB))，二是股權部分。這兩部分有不同的風險，股權部分需用無風險利率貼現(xiàn)，現(xiàn)金部分要用無風險利率與信用風險利差之和貼現(xiàn)，它們的價值方程如下：

1. 可轉債價值U的偏微分方程為:

上式中，U為可轉債價值，q為股息率，r為無風險利率，rc為信用風險利差，V為可轉債中現(xiàn)金部分的價值。

2. 現(xiàn)金部分價值V的偏微分方程為:

這兩個方程要聯(lián)立求解。本文利用二叉樹方法來求解上述方程組。

（二）二叉樹的應用

1. 二叉樹原理

二叉樹方法是用離散的隨機游走模擬資產價格連續(xù)變動的可能路徑，假設標的資產價格的運動是由大量的小幅度二值運動構成，在每個小的時間間隔內資產的價格只有兩種運動的可能：上升或者下降。將期權的有效期平均分為M個相等的時間段，根據(jù)風險中性假設，歐式看漲期權二叉樹模型可表示為：

式中：

Ui,j：iΔT時刻節(jié)點（i，j）處的期權值；

r：無風險概率；

p：上升風險中性概率，

u：下降風險中性概率；

Ui+1,j+1：(i+1）ΔT時刻節(jié)點（i+1，j+1）期權值；

Ui+1,j：(i+1）ΔT時刻節(jié)點（i+1，j）期權值；

ΔT：均分的時間段。

0≤j≤i≤M–1，j指在某一時刻對二叉樹節(jié)點從下至上進行排序的序號。

同樣，可以得到美式看漲期權的二叉樹模型：

美式看跌期權的二叉樹模型：

式中：

Sujdi-j：iΔT時刻節(jié)點（i，j）處的股票價格；

K：期權執(zhí)行價格。

在利用二叉樹進行倒推計算時，要在每個節(jié)點綜合考慮轉換權、贖回權和回售權等期權，同時要判斷各項權利的執(zhí)行情況，最后要從發(fā)行者和投資者角度選擇最優(yōu)策略，確定每個節(jié)點的值。

2. 可轉債的終端條件

在二叉樹的終端節(jié)點上，投資者可以選擇轉股也可以選擇得到債券本金和利息，其最優(yōu)策略為：

式中：k為轉股比例，S為初始股價，F(xiàn)為到期時債券面值和應計利息之和，M為二叉樹步數(shù)。

3. 在只能持有期內，二叉樹節(jié)點的判斷條件

在可轉債只能持有期內，即可轉債既不可被贖回，也不可被回售，還不能被轉股。此時二叉樹節(jié)點上可轉債的價值為：

4. 在只可轉股期限內，二叉樹節(jié)點的判斷條件

可轉債在只可轉股期限內，在二叉樹節(jié)點（i，j）上，投資者可以轉股，也可以繼續(xù)持有，其最優(yōu)策略為：

可轉債的價值：

如果Ui,j≤kSuidi-j，則Ui,j= kSuidi-j，Vi,j=0。其中Vi,j為節(jié)點（i，j）處的現(xiàn)金部分價值。

5. 在贖回期內，二叉樹節(jié)點的判斷條件

在贖回期內，當股價增大觸發(fā)贖回條件時，發(fā)行公司可執(zhí)行贖回權，投資者的最優(yōu)選擇是得到轉換價和贖回價的最大者。如果在此期限內可轉債又可回售，投資者還要將回售價與轉股價和贖回價進行比較。目前滬、深上市的可轉債其股價觸發(fā)條件為當期轉股價格的130%，而贖回價一般為債券面值的102～106%，回售價一般為債券面值的102～105%，因此投資者通常會選擇轉股。此時可轉債的價值為：

式中，Up為回售價格，Uc為贖回價格，當Ui,j≥Max(Uc，kSuidi-j)，Ui,j=kSuidi-j，Vi,j=0。此時節(jié)點（i，j）股價不小于債券面值的130%。

6. 在回售期內，二叉樹節(jié)點的判斷條件

當股價下跌到一定程度，觸發(fā)回售條件時，投資者將在持有價值、回售價、轉股價中選擇最大值，目前滬、深上市的可轉債其股價觸發(fā)條件為當期轉股價格的70%?？赊D債的價值為：

當Ui,j≤Max(Up，kSuidi-j)時，Ui,j= Vi,j= Up。

三、應用二叉樹對滬、深兩市可轉債進行估值

通過Wind查詢，目前滬、深上市的可轉債一共有22只，筆者以2013年7月26日為基準日對該日在Wind能查到市值的19只可轉債利用二叉樹方法進行了估值計算，具體參數(shù)確定如下：

（一）可轉債基本條款參數(shù)

通過Wind金融數(shù)據(jù)端，可以查到19只可轉債的募集說明書及基本條款，具體參數(shù)見表1。

表1

接上表

表2

接上表

表3

接上表

（二）無風險利率

無風險利率是指不存在違約風險的收益率，一般有以下幾種選擇：一是選取短期國債利率或者短期存款利率；二是利用利率期限結構中的遠期利率估計無風險利率；三是即期的長期國債利率作為無風險利率。本文選取2013年7月26日一年期銀行定存利率3%作為無風險利率。

（三）波動率

本文對波動率的估計采用基準日前一年的歷史數(shù)據(jù)進行波動率計算，具體數(shù)據(jù)可通過Wind金融數(shù)據(jù)端查詢得到，見表2。

（四）信用風險利差

我國對于普通債券和可轉債發(fā)行公司的要求都非常高，從公司財務、經(jīng)營等多方面作出了嚴格的限制，所以可以認為期限相同的普通企業(yè)債券和可轉債處于相同的信用等級水平。本文通過Wind查詢到與每只可轉債剩余期限相同的上市企業(yè)債券收益率作為該只可轉債的貼現(xiàn)率，該貼現(xiàn)率與無風險利率之差即為信用風險利差，見表3。

（五）計算結果

本文通過MATLAB R2013a軟件對上述可轉債二叉樹模型進行編程，將二叉樹步數(shù)設定為6000步進行估值模擬，評估結果見表4，圖1。

表4

圖1 二叉樹評估值與市值的柱形對比圖

通過對2013年7月26日滬、深上市的19只可轉債的估值模擬，可以看出利用二叉樹可以較好地對中國滬、深上市的可轉債進行估值模擬，這19只可轉債的二叉樹評估值與市值的算術平均偏差率為-0.05%，絕對值算術平均偏差率為1.78%，絕對值標準差為1.46%。

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