姜愛平，郝慧娟

（1.寧夏大學(xué)數(shù)學(xué)計算機學(xué)院，寧夏銀川750021；20寧夏大學(xué)民族預(yù)科學(xué)院，寧夏銀川750021

Logistic模型參數(shù)估計研究

姜愛平1，郝慧娟2

（1.寧夏大學(xué)數(shù)學(xué)計算機學(xué)院，寧夏銀川750021；20寧夏大學(xué)民族預(yù)科學(xué)院，寧夏銀川750021

logistic模型的應(yīng)用非常廣泛.其模型參數(shù)是影響精度的重要因素之一，文章在現(xiàn)有文獻基礎(chǔ)上，提出一種新的改進方法，即牛頓插值法和最優(yōu)權(quán)重法對模型參數(shù)進行估計.實例分析表明，該方法在一定程度上提高了模型相關(guān)系數(shù)，降低了模型偏差，且具有較為理想的預(yù)測效果.

logistic模型；參數(shù)估計；牛頓插值

Logistic模型又稱阻滯增長模型，不僅可以描述生物增長規(guī)律[1-3]，也適用于描述耐用消費品擁有量增長規(guī)律[4]，而模型參數(shù)是影響模型精度的重要因素之一.關(guān)于參數(shù)a和r，大多采用最小二乘法，即RSS準則進行估計[5-8].對于飽和值的K估計，一般要求數(shù)據(jù)為等間距時間序列，顯然很多實驗數(shù)據(jù)不能滿足此要求.即使數(shù)據(jù)為等間距序列，在選取中間數(shù)據(jù)時，由于存在人為因素，模型誤差波動性較大.文獻[6]在對飽和值K進行估計時，采用幾何平均法進行取值，該方法簡單易懂但較為粗糙.文獻[7-8]采用交替迭代法對未知參數(shù)進行估計，雖模型精度理想，但計算量大且公式復(fù)雜.文獻[5]采用差商近似導(dǎo)數(shù)方法和數(shù)據(jù)擬合的思想，對未知參數(shù)a和r進行估計時，對向前差分本文采用牛頓插值法和最優(yōu)權(quán)重法對模型未知參數(shù)進行估計，研究表明該建模方法預(yù)測效果理想，同時也為參數(shù)估計研究提供參考.

1 logistic模型理論介紹

Logistic模型由比利時數(shù)學(xué)家Verhulst于1840年在malthus模型基礎(chǔ)上提出，其形式為

2 模型參數(shù)估計

2.1 值的估計

當原始數(shù)據(jù)為非等間距序列時，由于三點法要求數(shù)據(jù)滿足t1+t3=2t2，這在實際數(shù)據(jù)中常常不能實現(xiàn)，故這里采用插值法求出中間數(shù)據(jù)來解決此問題.根據(jù)logistic曲線函數(shù)性質(zhì)可知，在拐點處，有，即，因此，只要知道曲線的拐點以及的值，便可根據(jù)上式求出參數(shù)K的估計值.這里采用牛頓插值法計算擬合曲線的拐點t*及定義稱為函數(shù)f（x）關(guān)于點x0，xk的一階均差.

稱為函數(shù)f（x）的二階均差.

為函數(shù)f（x）的k-1階均差.

為函數(shù)f（x）的k階均差.

假設(shè)x是[a，b]上一點，由Newton插值公式可得

只需把后式代入前式，便得

Newton均差插值多項式為

把（t，Δx（t）/Δt）作為插值節(jié)點，求出插值曲線拐點t*，利用插值公式求出的值，從而求得的估計值為x（t*）.

具體步驟如下：

3 算例分析

算例1引用文獻[6]中例子，即薊馬產(chǎn)卵實驗數(shù)據(jù)進行分析，計算結(jié)果詳見表1，表2.

表1 薊馬產(chǎn)卵實驗數(shù)據(jù)Tab.1Experimental data of thrips laying eggs

表2 模型結(jié)果比較Tab.2Comparison and analysis of model

由上述結(jié)果可知，由于三點法所選數(shù)據(jù)滿足t1+ t3=2t2，這里選取x（10），x（20）作為始點和終點，運用牛頓插值法求出當t=15時，x（15）的值.利用公式求出環(huán)境最大容量K值.比較上述三種方法發(fā)現(xiàn)，運用插值法，直接求出模型拐點這種方法，具有最小均方誤差和最大相關(guān)系數(shù)的優(yōu)點.

算例2引用文獻[5]的例子，即城鎮(zhèn)居民家庭彩色電視機平均每百戶擁有量數(shù)據(jù)進行分析對比研究，根據(jù)RSS準則求出最優(yōu)權(quán)重ω=0.38，計算結(jié)果詳見表3，表4.

表3 模型預(yù)測結(jié)果Tab.3The prediction result of model

表4 模型結(jié)果比較Tab.4Comparison and analysis of model

由上述結(jié)果可知，在差商近似導(dǎo)數(shù)方面，對于向前差商和向后差商，采用不同權(quán)重在一定程度上提高了模型相關(guān)系數(shù)，同時降低模型偏差.對于文獻[5]中的例子，采用牛頓插值拐點法分析發(fā)現(xiàn)，城鎮(zhèn)居民百戶電視機擁有量增長變化率在1992年—1993年達到最大，此后變化率逐漸減少.根據(jù)logistic曲線幾何性質(zhì)可知，該擬合曲線的飽和，通過模型擬合驗證了其合理性，同時完善了文獻[5]中的相關(guān)結(jié)論.

4 結(jié)論

關(guān)于logistic模型參數(shù)K的估計，本文采用牛頓插值拐點法，求出曲線的拐點，結(jié)合模型相關(guān)系數(shù)，對估計值進行修正.實例表明，該方法在一定程度上提高了模型相關(guān)系數(shù)R值，同時具有較小的模型偏差.對于參數(shù)a和r的估計，針對向前差商和向后差商，通過賦予不同的權(quán)重來提高模型的相關(guān)系數(shù)，降低模型偏差，使得模型具有較高精度.但與線性回歸法相比，誤差較大.其主要原因在于差商近似導(dǎo)數(shù)時存在系統(tǒng)誤差，即或者成立的前提是Δti→ 0，事實上，這是一個很苛刻的條件，因為實際問題中常常不能滿足此要求.

[1]黃潤龍,帥友良.人口增長的logistic模型及其應(yīng)用研究[J].南京人口管理干部學(xué)院學(xué)報,2000,16(3):24-27.

[2]郭石磊,王云鵬.改進的logistic模型預(yù)測人口數(shù)量[J].寧波職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報,2010,14(2):44-45.

[3]王勇.logistic人口模型的求解問題[J].哈爾濱商業(yè)大學(xué)學(xué)報,2006,22(5):58-59.

[4]何文章,張憲彬.利用logistic模型預(yù)測耐用消費品社會擁有量[J].數(shù)理統(tǒng)計與管理,1994,13(1):21-25.

[5]范國兵.一種估計logistic模型參數(shù)的方法及其應(yīng)用實例[J].經(jīng)濟數(shù)學(xué),2010,27(1):105-110.

[6]殷祚云.logistic曲線擬合方法研究[J].數(shù)理統(tǒng)計與管理, 2002,21(1):41-46.

[7]楊昭軍,師一民.logistic模型參數(shù)估計及預(yù)測實例[J].數(shù)理統(tǒng)計與管理,1997,16(3):13-15.

[8]苑延華.關(guān)于logistic模型參數(shù)估計的比較[J].黑龍江科技學(xué)院學(xué)報,2008,18(6):474-477.

責(zé)任編輯：畢和平

Research on Parametric Estimation of Logistic Model

JIANG Aiping1，HAO Huijuan2
（1.School of Mathematics and Computer Science，Ningxia University，Yinchuan 750021，China；2.School of Ethnic Preparatory Education，Ningxia University，Yinchuan 750021，China）

The logistic model is also called block growth model,its application is very wide.The model parameters is one of the important factors affecting accuracy.In this paper,based on the existing literature,a new method was put forward, namely the Newton interpolation method and the optimal weighting method for model parameter estimation.The analysis shows that it can improve the correlation coefficient,reduce the error,and has satisfactory forecast results.

logistic model；parametric estimation；Newton interpolation

C924.2

A

1674-4942（2014）04-0360-03

2014-09-02

寧夏大學(xué)科學(xué)研究基金（ZR1332）